-
_
第
4
章
不定积分
内容概要
名称
不
定
积
分
计
算
方
法
不
定
积
分
的
概
念
性
质
性质
1
：
主要内容
设
f
(
x
)
，
x
?
I
，若存在函数<
/p>
F
(
x
)
，使得对任意
x
?
I
均有
F
?<
/p>
(
x
)
?
f
(
x
)
或
dF
(
x
)
?
f
< br>(
x
)
dx
，则称
F
(
x
)
为
f
(
x
)
的一个原函数。
f
(
x
)
的全部原函数称为
f
(
x
)
在区间
I
上的不定积
分，记为
?
f
(
x
)
dx
?
F
(
x
)<
/p>
?
C
注：
（
1
）若
f
(
x
)
连续，则必可
积；
（
2
）若
F
(
x
),
G
(
x
)
均为<
/p>
f
(
x
)
的原函数，
则
F
(<
/p>
x
)
?
G
(
x
)
?
C
。故不定积分的表达式不唯一。
d
?
f
(
< br>x
)
dx
?
?
f
(
x
)
dx
；
f
(
x
)
dx<
/p>
?
?
f
(
x
)
或
d
?
?
?
?
?
?
?
dx
< br>性质
2
：
F
?
(
x
)
dx
?
F
(
x
)
?
C
或
dF
(
x
)
?
F
(
x
)
?
C
；
?
?
性质
< br>3
：
[
?
f
(
x
)
?
?
g
(
x
)]
dx
?
?
f
(
x
)
dx
?
?
g
(
x
)
dx
，
?
,
?
< br>为非零常数。
?
?
?
第一换元
积分法
（
凑
微
分
法）
第二类
换元积
分法
分
部
积
分
设
f
(
u
)
的
原函数为
F
(
u
)
，
u
?
?
(
x
)
可导，则有换元公式：
?
f
(
?
(
x
))
?
?
(
x
)
dx
?
?
f
(
?
(
< br>x
))
d
?
(
x
)
?
F
(
?
(
x<
/p>
))
?
C
设
x
?
?
(
t
)
单调、可导且导
数不为零，
f
[
?
(
t
)]
?
?
(
t
)
有
原函数
F
(
t
)
，
则
?<
/p>
f
(
x
)
dx
?
?
f
(
?
(
t
))
?
?
(
t
)
dt
?
< br>F
(
t
)
?
C
?
F
(
?
?
1
(
x
))
?
C
?
u
(
x
)
v
?
(
x
)
dx
< br>?
?
u
(
x
)
dv
(
x
)
?
u
(<
/p>
x
)
v
(
x
)
?
?
v
(
x
)
du
(
x
)
< br>
_
法
有
理
函
数
积分
若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真
分式的处理按情况确定。
本章
在下一章定积分中由微积分基本
公式可知
---
求定积分的问题，实质上是求被积函数
的地
的原函数问题；后继课程无论是二重积分
、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最
位与
终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
作用
从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了
根基的作用，积分的问题会
不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的
好坏。这一点随着学
习的深入，同学们会慢慢体会到！
课后习题全解
习题
4-1
1.
求下列不定积分：
知识点：
直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析
：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直
接求出不定积分！
★
(1)
?
x
dx
2
x
5
2
思路
:
被积函数
1
x
2
x
?
5<
/p>
2
?
x
，由积分
表中的公式（
2
）可解。
3
?
解
：
?
x
?
dx
< br>2
2
?
2
?
?
x
dx
?
?
x
?
C<
/p>
3
x
1
x
)
dx
★
(2)
(
3
x
?
思路
:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
_
3<
/p>
解
：
?
(
x
?
)
dx
?
?
(
x
?
x
)
dx
?
?
x
dx
< br>?
?
x
dx
?
x
3
?
2
x
2
?
C<
/p>
4
x
3
?
?
1
1
3
1
2
1
3
1
2
4
1
★
(3)
（
2
?
x
）
dx
?
x
2
思路
:
根据不定积分的线性性质，将被
积函数分为两项，分别积分。
2
x<
/p>
1
3
（
2
?
x
）
dx
?
?
2
dx
?
?
x
dx
?
?
x
?
< br>C
解
：
?
ln
2
3
x
2
x
2
★<
/p>
(4)
?
x
(<
/p>
x
?
3)
dx<
/p>
思路
:
根据不
定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解
：
?
2
x
(
x
?
3)
dx
?
?
x
dx
?
3
?
x
dx
?
x
< br>2
?
2
x
2
?
C
5
3
2
1
2
5
3
3
x
4
?
3
x
2
?
1
dx
★★
(5)
?
2
x
?
1
< br>3
x
4
?
3
x
2
?
1
1
2
?
3
x
?
思路
:
观察到
后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
x
2
?
1
< br>x
2
?
1
分别积分。
3
x
< br>4
?
3
x
2
?
1
1
2
3
dx
?
3<
/p>
x
dx
?
dx<
/p>
?
x
?
arct
an
x
?
C
解
：
?
2
2
?
?
x
?
1
1
?
x
x
2
dx
★★
(6)
?
1
?
x
2
< br>x
2
x
2
?
1
?
1
1
?
?
1
?
思路
:
注意到
，根
据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
2
2
2
1
?
x
1
?
x
1
?
x
分别积分。
x
2
1
dx
?
dx
?
解
：
?
?
?
1<
/p>
?
x
2
dx
?
x
?
arcta
n
x
?
C
.<
/p>
1
?
x
2
注
：
容易看出
(5)(6)
两题的解题思路是一致的。
一
般地，
如果被积函数为一个有理的假分式，
通常先将其分解为一
个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
_
★
(7)
（
-
?
x
1<
/p>
3
4
+
-
）
dx
2
x
x
3
x
4
思路
:
分项积分。
解
：
（
-
x
1
3
4
1
1
?
3
?
4
+
-
）
dx
?
x
dx
?
dx
?
3
x
dx
?
4
x
dx
?<
/p>
2
x
x
3
x
4
?
?
?
?
2
x
1
3
4
?
x
2
?
ln
|
x
|
?
x
?
2
?
x
?
3
?
C
.
4
2
3
★
(8)
(
?
3
2
?
< br>)
dx
2
1
?
x
2
1
?
x
思路
:
分项积分。
解
：
(
?
3
2
1
1
?
)
dx
?
3
dx
?
2
dx
?
3arctan
x
?
2arcsin
x
?
C
.
2
2
?
?
2
2
1
?
x
1
?<
/p>
x
1
?
x
1
?
x
★★
(9)
?
x
x
x
dx
1
1
1
?
?
2
4
8
思路
< br>:
x
x
x
?
？
看到
x
x
x
?
x
解<
/p>
：
?
x
，直接积
分。
7
8
?
8
x
x
x
dx
?
?
x
dx
?
x
8
?
C
.
15
1
?
x
2
(1
?
x
< br>2
)
dx
7
8
15
★★
(10)
思路
:
裂项分项积分。<
/p>
解
：
1
1
1
1
1
1
dx
?
(
?
)
dx
?
dx
?
dx
?
?
?
arctan
x
?
C
.
?
x
2
(1
?
x
2
)
?
x
2
1
?
x
2
?
x<
/p>
2
?
1
?
x
2
x
e
2
x
?
1
dx
★
(11)
?
x
e
?
1
e
2
x
?
1
(
e
x
?
1)(
e
x
?
1)
dx
?
?
dx
?
?
(
e
x
?
1)
dx
?
e
x
?
x
?
C
.
解
：
?
x
x
< br>e
?
1
e
?
1
★★
(12)
< br>3
e
dx
?
x
x
（
3
e
）
。
<
/p>
思路
:
初中数学中有同底数幂的乘法：<
/p>
指数不变，底数相乘。显然
3
e
?
x
x
x
x
（
3
< br>e
）
（
3
e
）
dx
?
?
C
.
解<
/p>
：
?
3
e
dx
?
?
ln(3<
/p>
e
)
x
x
x
_
★★
(13)
cot
xdx
?
2
思路
:
应用三角恒等式“
cot
x
?
csc
x
?
1
”
。
解
：
cot
2
xdx
?
(csc
2
x
?
1)
dx
?
?
cot
x
?
x
?
C
2
2
?
?
2
?
3
x
?
5
?
2
x
dx
★
★
(14)
?
x
3
2
?
3
x
?
5
?
2
x
2
x
?
2
?
（
5
）
，积分没困难。
思路<
/p>
:
被积函数
3
x
3
2
(
)
x
2
?
3
?
5
?
2
2
x
3
< br>解
：
?
dx
?
（
2
?
（
5
）
）
dx
?
2
x
?
5
?
C
.
x
?
3
3
ln
2
?
ln
3
2
x
< br>★★
(15)
?
cos
dx
2
x
x
思路
:
若被积函数为弦
函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
x
1
?
cos
x
1
1
d
?
dx
?
x
?
sin
x
?
C
.
?
2
?
2
2
2
1
★★
(16)
?
d
x
1
?
co
s
2
x
解
：<
/p>
cos
2
思路
:
应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
< br>1
1
1
1
2
dx
?
dx
?
sec
xdx
?
< br>tan
x
?
C
< br>.
?
1
?
cos
2
x
?
2cos
2
x
2
?
2
cos
2
x
★
(17)
< br>?
dx
cos
x
?
sin
x
解
：
思路
:
< br>不难，关键知道“
cos
2
x<
/p>
?
cos
x
?<
/p>
sin
x
?
(c
os
x
?
sin
x
)(cos
x
?
< br>sin
x
)
”
< br>。
2
2
cos
2
x
?
cos
x
?
sin
< br>x
dx
?
?
(cos
x
?
sin
x
)
dx
?
sin
x
?
cos
x
?
C
.
cos
2
x
★
(18)
?
dx
cos
2
x
?
sin
2
x
解
：
思路
:
同上题方法，应用“
cos
2
x
?
cos
x
?
sin
x
”
，分项积分。
2
2
cos
2
x
cos
2
x
?
sin
2
x
1
1
dx
?
dx
?
dx
?
x
< br>解
：
?
2
2
2
2
2
2
?
?
?
cos
x
?
sin
x
cos
x
?
s
in
x
sin
x
cos
x
?
?
csc
2
xdx
?
< br>?
sec
2
xdx
?
?
cot
x
?
tan
x
?
C
.
★★
(19)
(
?
1
?
x
1
?
< br>x
?
)
dx
1
?
x
1
?
x
_
思路
:
注意到被积函数
1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x<
/p>
2
，
应用公式
(
5)
即可。
?
?
?
?
2
2
2
1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x
< br>解
：
(
?
1
?
x
1
?
x
1
?
)
dx
?
2
?
dx
?
2arcsin
x
?
C
.
2
1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
cos
2
x
dx
★★
(20)
?
1
?
cos
2
x
1
?
cos
2
x
1
?
cos
2
x
1
1
2
?
?
sec
x
?
思路
:
注意到被积函数
，则积分易得。
1
< br>?
cos
2
x
< br>2
2
2cos
2
x
1
?
cos
2
x
1
1
tan
x
?
x
dx
?
?
sec
< br>2
xdx
?
?
< br>dx
?
?
C
.
解
：
?
1
?
cos
2
x
2
2
2<
/p>
★
2
、设
xf<
/p>
(
x
)
dx
?
arccos
x
?
C
，求
f
(
x
)
。
?
知识点：
考查不定积分（原函数）与被积
函数的关系。
思路分析
：直接利用不
定积分的性质
1
：
解
< br>：等式两边对
x
求导数得：
<
/p>
d
[
f
(
x
)
dx
]
?
f
(
x
)
即可。
dx
?
xf
(
x
)
?
?
1
< br>1
?
x
2
,
?
f
(
x
)
?
?
1
x
1
?
x
2
★
3
、设
f
(
x
)
的导函数为
sin
x
，求
f
(
x
)
的原函数全体。
知
识点：
仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析
：连续两次求不定积分即可。
解
：由题意可知，
f
< br>(
x
)
?
sin
xdx
?
?
< br>cos
x
?
C
< br>1
?
所以
f
(
x
)
的原函数全体为：
（
?
cos
x
?
C
1
）
dx
?
?
sin
x
?
C
1
x
?
C
2
。
?
e
x
1
2
x<
/p>
x
x
★
4
、证明函数
e
,
e<
/p>
shx
和
e
ch
x
都是
的原函数
chx
-
s
hx
< br>2
知识点：
考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析
：只需验证即可。
_
解
：<
/p>
e
x
d
1
d
d
?
e
2
x
，而
[
(
e
2
x
< br>)
]
?
[
e
x
shx
]
?
[
e
x
c
hx
]
?
e
2
x
chx
?
shx
dx
2
dx
dx
2
★
5
、一曲线通过点
(
e
,3)
，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此
曲线的方程。
知识点：
属于第
12
章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍
为考查原函数（不定
积分）与被积函数的关系。
思路分析
：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程
即可。
解
：设曲线方程为
y
?
f
(
x
)
，由题意可知：
2
d
1
[
f
(
x
)]
?
，
?
f
(
< br>x
)
?
ln
|
x
|
?
C
；
dx
x
2
又点
(
e<
/p>
,3)
在曲线上，适合方程，有
3
?
ln(
e
)
?
C
,
?
C
?
1
，
所以曲线的方程为
f
(
x
)
?
ln
|
x
|
?
1.
★★
6
、一物体由静止开始运动，经
t
秒后的速度是
3
t
(
m
/
s
)
，问：
2
（
1
）
在
3
< br>秒后物体离开出发点的距离是多少？
（
2
）
物体走完
360
米需要多少时间？
知识点：
属于最简单的一阶线性微分方程的初
值问题，实质仍为考查原函数
（不定积分）与
被积函数的关系。
思路分析
：求得物体的位移方程的一
般式，然后将条件带入方程即可。
解
：设物体的位移方程为：
y
?
f
(
t
)
，
则由速度和位移的关系可得：
d
[
f
(
t
)]
?
3
t
2
?
f
(
t
)
?
t
3
?
C
，
dt
3
又因为物体是由静止开始运动的，
?
f
(0)
?
0,
?
C
?
0,
?
f
(
t
)
?
t
。
(1)
3
秒后物体离开出发点的距离为
:
f
< br>(3)
?
3
?
< br>27
米；
3
< br>(2)
令
t
?
< br>360
?
t
?
< br>习题
4-2
3
3
360
秒。
★
1
、填空是下列等式成立。
_
知识点：
练习简单的凑微分。
思路分析
：根据微分运算凑齐系数即可。
<
/p>
解
：
(1)
dx
?
1
1
1
d
(7
x
?
3);(2)
xdx
?
?
d
(1
?
x
2
);(3)
x
3
dx
?
d
(3
x
4
?
2);
7
2
12
1
dx
1
dx
1
d
(
e
2
x
);(5)
?
d
(5ln
|
x
|);(6)
?
?
d
(3
?
5ln
|
x
|);
2
x
5
x
5
1
dx
1
< br>dx
1
(7)
dt
?
2
d
(
< br>t
);(8)
?
d
(tan
2
x
);(9)<
/p>
?
d
(arctan
3
x
).
2
2
3
cos
2
x
2
1
?
9
x
t
(4)
e
2
x
dx
?<
/p>
2
、求下列不定积分。
知识点：
（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析
：
审题看看是否需要凑微分。直白的
讲，
凑微分其实就是看看积分表达式中，
有没
< br>有成块的形式作为一个整体变量，
这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本
公式的熟
练掌握。
此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目
也非常有效，
这在课外例题中专门介
绍！
★
（
1
）
e
dt
思路
:
凑微分。
解
：
e
dt
?
?
3
t
?
3
t
1
3
t
1
3
t
e
d
(3
t
)
?
e
?
C
3
?
3
3
★
(2)
(3
?
5
x
)
dx
?
思路
:
凑微分。
3
1
1
解
：<
/p>
?
(3
?
5
x
)
dx
?
?
?
(3
?
5
x
)
d
(3
?
5
x
)
?
?
(3
< br>?
5
x
)
4
?
C
5
20
1
dx
★
(3)
?
3
?
2
x
3
思路
:
凑微分。
解
：
★
(4)
1
1
1
1
dx
?
?
d
(3
?
2
x
)
?
?
ln
|
3
?
2
x
|
?
C
.
?
3
?
2
x
2
?<
/p>
3
?
2
x
2
?
1
3
5
?
3
x
dx
_
思路
:
凑微分。
1
2
?
1
1
1
1
1
dx
?
?
?
3
d
(5
?
3
x
)
?
?<
/p>
?
(5
?
3
x
)
3
d
(5
?
3
x
)
?
?
(5
?
3
x
)
< br>3
?
C
.
解
：
?
3
3
5
?
3
x
3
2
5
?
3
x
★
(5)
(sin
ax
?
e
)
dx
?
x
b
思路
:
凑微分。
1
x
1
解
：
?
(sin
ax
?
e
)
dx
?
?
sin
axd
(
ax
)
?
b
?
e
b
d
(
)
?
?
cos
ax
?
be
b
?
C
a
b
a
★★
< br>(6)
x
b
x
< br>x
?
cos
t
< br>t
dt
1
2
t
思路
:
如果你能看到
d
(
t
)
?
d
t
，凑出
d
(
t
)
易解。
解
：
?
cos
t
t
10
dt
?
2
?
cos
td
< br>(
t
)
?
2sin
t
?
C
2
★
(7)
tan
x
sec
xdx
?
思路
:
凑微分。
解
：
tan
?
10
x
sec
2
xdx
?
?
tan
10
xd
(tan
x
)
?
1
tan
11
x
?
C
.
11
★★
(8)
dx
?
x
ln
x
ln
ln
x
思路
:
连续三次应用公式
(3)
凑微分即可。
解
：
dx
d
(
ln
|
x
|)
d
(ln
|
ln
x
|)
?
?
?
x
ln
x
l
n
ln
x
?
l
n
x
ln
ln
x
?
ln
ln
x
?
ln
|
l
n
ln
x
|
?
C
★★
(9
)
tan
1
?
x
?
2
xdx
1
?
x
2
<
/p>
思路
:
本题关键是能够看到
xdx
1
?
x
2
是什么，是什么呢？就是
d
1
?
x
2
！这有一定难度！
解
：
tan
1
?
x
?
2
xdx
1
?
x
2
?
?
tan
1
?
x
2
d
1
?
x
2
?<
/p>
?
ln
|
cos
1
?
x
2
|
?
C
★★
(10)
dx
?<
/p>
sin
x
cos
x
_
思
路
:
凑微分。
解
：
方法一
：
倍角公式
sin
2
< br>x
?
2sin
x
cos
x
。
dx
2
dx
?
?
sin
x
cos
x
?
sin
2
x
?
?
csc
2
xd
2
x
?
ln
|
csc
2
x
?
cot
2
x
|
?
C
方法二：
将被积函数凑出
tan
x
的函数和
tan
x
的导数。
dx
cos
x
1
1
2
?
dx
?
sec
xdx
?
?
sin
x
cos
x
?
sin
x
cos
2
x
?
tan
x
?
tan
x
d
tan
x
?
ln
|
ta
n
x
|
?
C<
/p>
方法三：
三
角公式
sin
x
?
cos
x
?
1
，然后凑微分。
2
2
dx
sin
2
x
?
cos
2
x
sin
x
cos
x
d
cos
x
d
sin
x
?
dx<
/p>
?
dx
?
dx<
/p>
?
?
?
?
sin
x
cos
x<
/p>
?
sin
x
co
s
x
?
cos
x
?
sin
x
?
cos
x
?
sin
x
?
?
ln
|<
/p>
cos
x
|
?<
/p>
ln
|
sin
x
|
?
C
?
ln
|
tan
x<
/p>
|
?
C
★★
(11)
dx
?
e
x
?
e
?
x
dx
e
x
dx
de
x
de
x
思路
:
凑微分：
x
。
?
2
x
?
?
?
x
2
x
x
2
< br>e
?
e
e
?
1
1
?
e
1
?
(
e
)
dx
e
x
dx
de
x
解
：
?
x
?
?
2
x
?
?
?
arctan
e
x
?
C
?
x
x
2
< br>e
?
e
e
?
1
1
?
(
e
)
★
(12
)
x
cos(
x
)
dx
思路
:
凑微分。
解
：
x
cos(
x
< br>)
dx
?
?
2
?
2
1
1
2
2
2
co
s
x
dx
?
s
in
x
?
C
?
2
2
★★<
/p>
(13)
?
xdx
2
?
3
x
2
1
dx
2<
/p>
1
d
(2
?
3
x
2
)
思路
:
由
凑微分易解。
?
?
?
2
2
2
2
2
?
3
x
6
2
?
3
< br>x
2
?
3
x
xdx
解
：
?
1
?
1
d
(2
?
3
x<
/p>
2
)
1
1
2
2
?
?
?
?
?
?
(2
?
3
x
< br>)
d
(2
?
3
x
2
)
?
?
2
?
3<
/p>
x
2
?
C
6
6
3
2
?
3
x
2
2
?
3
x
2
xdx
★★
< br>(14)
cos
(
?
t
)sin(
?
t
)
dt
?
2
_ <
/p>
思路
:
凑微分。
解
：
cos
(
?
t
)sin(
?
t
)
dt
?
?
2
1
?<
/p>
2
cos
?
(<
/p>
?
t
)sin(
?
t
)
d
?<
/p>
t
?
?
1
?
2
cos
?
(
?
t
)
d
cos(
?
t
)
?
?
1
cos
3
(
?
t
)
?
< br>C
.
3
?
3
x
3
d
x
★★
(15)
?
4
1
?
x
思路
:
凑微分。
3
x
3
3
4
x
3
3<
/p>
1
3
1
3
4
4
4
dx
?
dx
?
dx
?
?
d
(1
?
x
)
?
?
ln
|1
?
x
|
?
C
.
解
：
4
4
4
?
1<
/p>
?
x
4
?
?
?
4
1
?
x
4
1
?
x
4
1
?
x
4
★
(16)
sin
x
?
< br>cos
3
x
dx
思路
:
凑微分。
解
：
sin
x
1
1
1
dx
?
?
d
< br>cos
x
?
?
< br>C
.
2
?
cos
3
x
?
cos
3
x
2
cos
x
★★
(17)
?
x
9
< br>2
?
x
20
dx
思路
:
经过两步凑微分即可。
解
：
?
1
1
1
dx
?
?
dx
10
?
?
10
2
?
x
20
10
2
?
x
20
x
9
1
1
?
(
x
10
2
)
2
1
x
10
d
?
arcsin(
)
?
C
2
10
< br>2
x
10
★★
< br>(18)
?
1
?
x
9
?
4
x
2
dx
思路
:
分项后分别凑微分即可。<
/p>
解
：
?
1
?
x
9
?
4
x
2
dx
?
?
1
< br>9
?
4
x
2
dx
?
?
x
9
?
4
x<
/p>
2
dx
_
1
2
x<
/p>
1
1
d
?
?
d
4
x
2
2
2
x
2
3
8
9
?
4
x
1
?
（
）
3
1<
/p>
1
2
x
1
1
?
?
d
?
?
d
（
9
?
4
x
2
）
2
2
2
x
2
3<
/p>
8
9
?
4
x
1
?
（
）
3
1
2
x
1
?
arcsin(
)
?
9
?
4
x
2
?
C
.
2
3
4
?
★★
(19)
1
2
?
dx
?
2
x
2
?
1
思
路
:
裂项分项后分别凑微分即可。
<
/p>
解
：
dx
dx<
/p>
1
1
1
?
?
(
?
?
2
x
2
?
1
?
(
2
x
?
1)(
2
x
?
1)
2
?
2
x
?
1
2
x
?
1
)
dx
?
?
1
2
2
1
?
(
1
1
?
)
d
2
x
2
x
?
1
2
x
?<
/p>
1
1
1
1
1
d
(
2
x
?
1)
?
d
(
2
x
< br>?
1)
?
ln
< br>?
2
x
?
1
2
2
2
x
?
1
2
2
2
x
?
1
?
C
.
2
x
?
1
< br>2
2
?
★
(20)
xdx
?
(4
?
5
x
)
< br>2
思路
:
分项后分别凑微分即可。
解
：<
/p>
xdx
1
4
?<
/p>
5
x
?
4
1
1
1
?
?
（
）
dx
?
（
?
4
< br>）
d
(4
?
5
x
)
2
?
(4
?
5
x
)
2
?
5
(4
?
5
x
)
2
?
25
4
?
5
x
(4
?
5
x
)
1
1
4
1
1
4
1
d
(4
?
5
x
)
?
d
(4
?
5
x
)
?
ln
|
4
?
5
x
|
?
?
C
< br>.
25
?
4
?
5
x
25
?
(4
?
5
x
)
2
25
25
4
?
5<
/p>
x
?
x
2
dx
★
(21)
?<
/p>
100
(
x<
/p>
?
1)
思路
:<
/p>
分项后分别凑微分即可。
x
2
dx
(
x
?
1
?
1)
2
dx
(
x
< br>?
1)
2
(
x
?
1)
1
?
?
(
?
2
?
解
：
?
?
(
x
?
1)
100
(
x
?
1)
100
(
x
?
1)
100<
/p>
)
dx
(
x
?
1)
100<
/p>
?
(
x
?
1)
100
?
?
(
1
1
1
?
2
?
)
d
(
x
?
< br>1)
98
99
100
(
x
?
1)
(
x
?
< br>1)
(
x
?
1)
_
?
?
1
1
1
1
1
1
?
?<
/p>
?
C
.
97
98
99
97<
/p>
(
x
?
1)
49
(
x
?
1)
99
(
x
?
1)
★★
(22)
xdx
?
x
8
?
1
思路<
/p>
:
裂项分项后分别凑微分即可。
解
：
xdx
xdx<
/p>
1
1
1
1
1
1
2
?
?
(
?
)
xdx
?
(
?
)
dx
?
< br>x
8
?
1
?
(
x
4
?
1)(
x
4
?
1)
?
2
x<
/p>
4
?
1
x
4
?
1
4
?
x
4
?
1
x
4
?
1
1
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
2
2
2
[
(
?
)
?
]
dx
?
[
d
(
x
?
< br>1)
?
d
(
x
?
1)]
2
2
4
2
2
?
?
?
4
2<
/p>
x
?
1
x
?
1
x
?
1
8
x
?
1
x
?
1
2
1
1
1
x
?
1
1<
/p>
?
?
2
2
dx
2
?
ln
|
2
|
?
arctan
x
2
?
C
.
4
(
x
)
?
1
8
x
?
1
< br>4
?
★
(23)
cos
xdx
?
3
思路
:
凑微分。
cos
xdx
?
d<
/p>
sin
x
。
<
/p>
解
：
cos
3<
/p>
xdx
?
cos
2
x
?
cos
xdx
?
cos
2
xd
sin
x
?
< br>(1
?
sin
2
x
)
d
sin
x
?
?
?
?
1
?
sin
x
?
sin
3
x
?
C
3
★★
(24)
cos
2
(
?
t
?
?
)
d
t
?
思路
:
降幂后分项凑微分。
解
：
cos
(
?
t
?
?
)
< br>dt
?
?
2
1
?
cos
2(
< br>?
t
?
?
)
1
1
dt
?
dt
?
?
?
2
4
?
?
cos
2(
?
t<
/p>
?
?
)
d
2(
?
t
?
?
)
2
1
1
?
t
< br>?
sin
2(
?
t
?
?
)
?
C
2
4
?
★★★
(25)
< br>sin
2
x
cos3
xdx
?
思路
:
积化和差后分项凑微分。
< br>解
：
sin
2
< br>x
cos3
xdx
?
?
1
1
1
(sin
5
x
?
sin
x
)
dx
?
sin
5
xd
5
x
?
sin
xdx
?
2
?
?
10
2
?
?
1
1
cos5
x
?
cos
x
?
C
10
2
★★★
(26)
sin5
x
sin
7
xdx
?
思路
:
积化和差后分项凑微分。
_
解
：<
/p>
sin
5
x
si
n
7
xdx
?
?
1
1
1
(c
os
2
x
?
c
os12
x
)
dx
?
cos
2
xd
< br>2
x
?
cos12
xd
(12
x
)
?
2
4
?
24
?
1
< br>1
?
sin
2
< br>x
?
sin12
x
?
C
.
< br>4
24
★★★
(27)
tan
x
sec
xdx
?
3
思路<
/p>
:
凑微分
tan
x
sec
xdx
?
d
sec
x
。
解
：
tan
3
x
sec
xdx
?
tan
2
x
?
tan
x
sec
xdx
?
tan
2
xd
sec
x
?
(sec
2
x
?<
/p>
1)
d
sec
x
?
?
?
?
1
?
?
sec
2
xd
sec<
/p>
x
?
?
d
sec
x
?
sec<
/p>
3
x
?
sec<
/p>
x
?
C
3
★★
(28)
?<
/p>
10
arccos
x
1
?
x
2
dx
思路
:
凑微分
1
1
?
x
2
dx
?
d
(
?
arccos
x
)
。
解
：
?
10
a
rccos
x
1
?
x
2
dx
?
?
?
10
arccos
x
10
arccos
x
d
arccos
x
?
?
?
C
.<
/p>
ln10
★★
(29)
?
(arcsin
x
)
1
1
?
x
2
dx
2
1
?
x
2
思路
:
凑微分
< br>dx
?
d
(arcsin
x
)
。
解
：
?
(arcsin<
/p>
x
)
?
dx
2
1
?
x
2
?
?
d
arcsin
x
1
?
?
?
C
arcsin
x
(arcsin
< br>x
)
2
★★★★
(30)
arctan
x
x<
/p>
(1
?
x
)
dx
2arctan
x
1
?
(
x
)
2
思路
:
凑微分
arctan
x
x
(1
?
x
< br>)
dx
?
d
x
?
2arctan
xd
(arctan
x
)
。
解
：
?
arctan
x
x
(1
?
x
)
d
x
?
?
2arctan
x
1
?
(
x
)
2
d
x
?
?
2arctan
xd
(arctan
x
)
?
(arctan
x
)
2
?
C
★★★★
(31)
< br>ln
tan
x
?
cos
x
sin
x
dx
2
思路
:
被积函数中间变量为
tan
x
，故须在微分中凑出
tan
x<
/p>
，即被积函数中凑出
sec
x
，
_
ln
tan
x
ln
tan
x
ln
tan<
/p>
x
2
ln
tan
x
dx
?
dx
?
sec
xdx
?
d
tan
x
cos
x
sin
< br>x
tan
x
tan
x
cos
2
x
tan
x
1
?
ln
tan
xd
(ln
tan
x
)
?
d
(
(ln
tan
x
)
2
)
2
ln
tan<
/p>
x
ln
tan
x
ln
tan
x
解
：
?
dx
?
?
dx
?
d<
/p>
tan
x
?
?<
/p>
ln
tan
xd
(ln
tan
x
)
2
?
cos
x
sin
x
tan
x
cos
x
tan
x
1
?
(ln
tan
x
)
2
?
C
2
★★★★
(32)
1
?
ln
x
?
(
x
ln
x
)
2
dx
思路
:
d
(
x
ln
x
)
?
< br>(1
?
ln
x
< br>)
dx
解
：
1
?
ln
x
1
1
dx
?
d
(
x
ln
x
)
?
?
?
C
?
(
x
ln
x
)
2
?
(
x
ln
x
)
< br>2
x
ln
x
★★★★
(33)
dx
?
1
?
e
x
解
：
方法一：
思路
:
将被积函数的分子分母同时除以
e
，则凑微分易得。
x
dx
e
?
< br>x
1
1
?
x
?
x
?
x
?
dx
?
?<
/p>
d
(
e
)
?
?
?
1
?
e
x
?
e
?
x
?
1
?
e
?
x
?
1
?
e<
/p>
?
x
?
1
d
(
e
?
1)
?
?
ln
|
e
?
1|
?
C
方法二：
思路
:
分项后凑微分
dx
1
?
e
x
< br>?
e
x
e
x
1
x
?
d
x
?
1
dx
?
dx
?
x
?<
/p>
?
1
?
e
x
?
1
?
e
x
?
?
1
?
e
x
?
1
?
e
x
d
(1
?
e
)
?
x
?
ln
|1
?
e
|
?
C
?
x
?
ln(
e
|
e
x
x
?
x
?
1|)
?
C
?
x
?
(ln
e
?
ln
|
e
x
?
x
?
1|)
?
C
?
?
ln
|
e
?
x
?
1|
?
C
方法三：
思路
:
将被积函数的分子分母同时乘以
e
，裂项后凑微分。
x
dx
e
x
< br>dx
de
x
1
< br>?
x
1
?
1
x
?
?
?
?
de
?
ln
e
?
d
(1<
/p>
?
e
x
)
?
x
x
x
x
x
x
x
?
x
?
?
?
?
?
1
?
e
e<
/p>
(1
?
e
)
e
(1
?
e
)
1
?
e
?
e
1
?
e
?
?
x
?
ln
|1
?
e
|
?
C
?
?
ln
|
e
x
?
x
?
1|
?
C
_
★★★★
(34)
dx
?
x
< br>(
x
6
?
4)
解
：
方法一
:
思路：
分项后凑积分。
dx
1
4
dx
1
x
6
?
< br>4
?
x
6
dx
1
?
1
x
5
?
?
6<
/p>
?
dx
?
x
(
x
6
?
4)
?
4
?
x
(
x
6
?
4)
?
< br>4
?
x
(
x
6
?
4)
?
4
?
?
?<
/p>
x
x
?
4
?
1
1
d
(
x
6
?
4)
1
1
6
< br>?
ln
|
x
|
?
ln
|
x
?
4
|
?
C
?
ln
|<
/p>
x
|
?
6
?
4
24
x
?
4
4
24
方法二
：
思路
:
利用第二类换元法的倒代换。
令
x
?
，则
dx
?
?
1
t
< br>1
dt
。
2
t
dx
t
1
1
d
(4
t
6
)
1
d<
/p>
(4
t
6
?
1)
?
?
?
?
(
?
2
)
dt
?
?
?
?
?
?
< br>24
1
?
4
t
6
24
1
?
4
t
6
x
(
x
6
?
4)
?
1
t
?
4
t
6
1
1
4
?
?
ln(1
?
4
t
6
)
< br>?
C
?
?
ln(1
?
6
)
?
C
.
24
24
x
★★★★
(35)
dx
?
x
8
(1
?
x
2
)
解
：
方法一
:
思路：
分项后凑积分。
dx
1
?
x
8
?
x
8
(1
?
x
2
)(1
?
x
2
)(1
?
x
4
)
dx
?
dx
?
dx
?
?
x
8
(1
?
x
2
)
?
x
8
(1
?
x
2
)
?
?
1
?
x
2
x
8
(1
< br>?
x
2
)
1
?
x
2
?
x
4
?
x
6
dx
dx
?
?
?
?
(1
?
x
)(1
?
x
)
x
8
?
(
?
1
1
1
1
1
?
?
?
)
dx
?
dx
8
6
4
< br>2
2
?
x
x
x
x
1
?
x
?
?
1
1
1
1
1
1
?
x
?
?
?
< br>?
ln
?
C
7
x
7
5
x
5
3
x<
/p>
3
x
2
1
?
x
方法二：
思路
:
利用第二类换元法的倒代换。
_
令
x
?<
/p>
1
1
，则
dx<
/p>
?
?
2
dt
。
t
t
dx
t
8
1
t
8
1
6
4
2
?
?
8
?
?
(
?
dt
)
?
?
dt
?
?
(<
/p>
t
?
t
?
t
?
1
?
)
dt
?
t
2
?
1
< br>?
1
x
(1
?
x
2
)
?
t
2
t
2<
/p>
?
1
1
?
2
t
1
1
1
1
6
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2
)
dt
?
< br>?
(
t
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t
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t
?
1
)
dt
?
(
?
)
dt
2
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/p>
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2
t
?
1
t
?
1
t
?
1
1
1
1
1
t
?
1
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
1
?
x
?
?
t
7
?
t
5
?
t
3
?
t
?
ln
|
|
?
C
?
?
?
?
?
?
ln<
/p>
|
|
?
C
7
5
3
2
t
?
1
7
x
7
5
x
5
3
x
3
x
2
1
?
x<
/p>
?
?
?
(
t
6
?
t
4
?
t
2
?
1)
dt
?
?
(
3
、求下列不定积分。<
/p>
知识点：
（真正的换元，主要是三角换
元）第二种换元积分法的练习。
思路分析
：题目特征是
----
被积函数中有二次根式，如何化无理
式为有理式？三角函数中，
下列二恒等式起到了重要的作用。
sin
2
x
?
cos
2
x
?
1;
sec
2
x
?
tan
2
x
?
1.
为
保证替换函数的单调性，
通常将交的范围加以限制，
以确保函数
单调。
不妨将角的范围统
统限制在锐角范围内，得出新变量的表
达式，再形式化地换回原变量即可。
★★★
< br>(1)
?
1
?
< br>dx
1
?
x
2
思路
:
令
x
?
sin
t
,
t
?
解
：令
x
?
si
n
t
,
t
?<
/p>
?
2
，先进行三角换元，分项后，再用三
角函数的升降幂公式。
，则
dx
?
cos
tdt
。
?
2
dx<
/p>
cos
tdt
dt
dt
t
t
?
?
?
?
?
?<
/p>
dt
?
?
?
t
?
?
?
t
?
?
sec
2
d
t
1
?
cos
t
1
?
cos
t
2
2
1
?
< br>1
?
x
2
2cos
2
2
1
?
1
?
x
2
t
x
?
C<
/p>
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?
t
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tan
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C
?
arcsin
x
?
?
C
.
（或<
/p>
?
arcsin
x
?
2
x
2
1
?
1
?
x
（万能公式
tan
t
sin
t
1
?
cos
t
?
?
，又
sin
t
?
x
时，
cos
t
< br>?
1
?
x
2
）
2
1
?
cos
t
s
in
t
★★★
(2)
< br>?
x
2
?
9
dx
x
_
思路
:
令
x
?
3sec
t
,
t
?
(0
,
解
：令
x
?
3sec
t
,
t
?
(0,
?
2
2
)
，三角换元。
< br>
?
)
，则
dx
?
3sec
t
tan
tdt
。
x
2
?
9
3tan
t
?
?
dx
?
?
3sec
t
tan
tdt
?
3
?
tan
2
tdt
?
3
?
(sec
2
t
?<
/p>
1)
dt
x
3s
ec
t
3
?
3tan
t
?
3
t
?
C
?<
/p>
x
2
?
9
?
3arccos
?
C
.
|
x
|<
/p>
3
（
x
?
3sec
x
时，
cos
x
?<
/p>
,sin
x
?
x
★★★
(3)
x
2
?
9
,
t
an
x
?
x
x
2
?
9
）
3
?
dx
(
x
?
1)
2
3
思路
:
令
x
?
tan
t
,
t
?
解
：令
< br>x
?
tan
t
< br>,
t
?
?
2
，三角换元。
，则
dx
?
sec
tdt
。
2
?
2
?
?
sec
2
tdt
dt
x
?
?
?
?
cos
tdt
?
sin
t
?
C
?
?
C
3
?
?
2
3
< br>2
sec
t
sec
t
(
x
?
< br>1)
1
?
x
dx
★★★
(4)
?
dx
(
x
?
a
)
2
2
3
思路
:
令
x
?
a
t
an
t
,
t
?
解
：令
x
?<
/p>
a
tan
t
,<
/p>
t
?
?
2
，三角换元。
，则
dx
?
a
sec
tdt
。
2
?
?
?
?
2
dx
a
sec
2
tdt
dt
1
1
?
?
3
3
?
?
2
?
2
?
cos
tdt
?
2
s
in<
/p>
t
?
C
a
sec
t
a
sec<
/p>
t
a
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(
x
2
?
a
2
)
3
x
a
2
a
?
x
2
2
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C
.
dx
★★★★
(5)
?
x
x
2
?
1
x
?
1
2<
/p>
4
思路
:
先令<
/p>
u
?
x
，进行第
一次换元；然后令
u
?
tan
t
,
t
?
?
2
，进行第二次换元。
1
x
2
?
1
解
：
?
dx
?
?
dx
2
，令
u
?
x
2
得：
2
x
2
x
< br>4
?
1
x
x
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?
1
x
2
?
1
?
1
u
?
1
2
du
?
sec
tdt
，
u
?
tan
t
,
t
?
，令
，则
dx
?
du
?
x
x
4
?
1
2
?
u
u
2
?
1
2
x
2
?
1
_
?
?
1
u
?
1
1
tan
t
?
1
1
tan
t
?
1
2
du
?
sec
tdt
?<
/p>
sec
tdt
?
?
?
4
2
2<
/p>
2
tan
t
?<
/p>
sec
t
2
ta
n
t
x
x
?<
/p>
1
u
u
?
1
1
1
1
?
?
(csc
t
?
sec
t
)
dt
?
ln
sec
t
?
tan
t
?
ln
csc
t<
/p>
?
cot
t
?<
/p>
C
2
2
2
dx
?
1
1
?
ln
u
2
?
1
?
u
?
ln
2
2
< br>u
2
?
1
1
1
?
?
C
?
ln
u
u<
/p>
2
1
x
?
1
?
x
?
ln
2
4
2
x
2
?
1
< br>
x
4
?
1
?
1
?
C
.
x
2
（与课
本后答案不同）
★★★
(6)
?
5
?
4
x
?
x
2
dx
思路
:
三角换元
，
关键配方要正确。
解
：
5
?
4
x
?
x
2
?
9
?
(
x
?
2)
2
，令
x
?
< br>2
?
3sin
t
,
t
?
?
2
，则
dx
?
3cos
tdt
。
?
?
5
?
< br>4
x
?
x
2
dx
?
?
9cos
2
tdt
?
< br>9
?
1
?
cos
2
t
t
1
dt
?
9(
?
sin
2
t
)
?
C
2
2
4
9
x
?
2
x
?
2
?
arcsin
?
5<
/p>
?
4
x
?
x
2
?
C
.
2
3
2
★★
4
、求一个函数
f
(
x
)
,
满足
f
(
x
)
?
'
< br>1
1
?
x
，且
f
(0)
?
1
。
思路
:
求出
1
1
?
x
1
1
?<
/p>
x
的不定积分，由条件
f
(0)
?
1
确定出常数
C
的值即可。
<
/p>
解
：
?
dx
?
?
1
1
?
x
d
(
x
?
1)
?
2
1
?
x
?
C
.
令
f
(
x
)<
/p>
?
2
1
?
x
?
C
，又
f
(0)
?
1
，可知
C
?
?
1
，
?
f
(
x
)
< br>=
2
1
?
x
?
1.
★★★
5
、设
I
n
?
tan
xdx
< br>,
，求证：
I
n
?
?
n
1
tan
n
?
1
x
?
I
n
-2
，并求
?
tan
< br>5
xdx
。
< br>n
?
1
n
n
?
2
思路
:
由目标式子可以看出应将被积函数
tan
x
分开成
tan
x
tan
2
x
，进而写成：
tan
n
?
2
x
(sec<
/p>
2
x
?
1)
?
tan
n
?
2
x
sec
2
x
?
tan
n
?
2
x
，分项积分
即可。
证明
：
I
n
?
tan
xdx
?
(tan
?
n
?
n
?
2
x
sec
2
x
?
tan
n
?
2
x
)
dx
?
?
tan
n
?
2
x
s
ec
2
xdx
?
?
tan
n
?
2
xdx
_
?
?
ta
n
n
?
2
xd
tan
x
?
I
n
?
2
?
1
tan
n
?
1
x
?
I
n
?
2
.
n
?
1
1
< br>1
1
n
?
5
时，
I
5
?
?
tan
5
xdx
?
tan
4
x
?
I
3
?
tan
4
x
?
tan
2
x
?
I
1
4<
/p>
4
2
1
1
1
1
?
tan
4
x
?
tan
2
x
?
?
tan
xdx
?
tan<
/p>
4
x
?
tan<
/p>
2
x
?
ln
cos
x
?
C
.
4
2
4
2
习题
4-3
1
、
求下列不定积分：
知识点：
基本的分部积分法的练习。
思路分析
：严格按照“
‘反、对、幂、
三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微
分。
”的原
则进行分部积分的练习。
★
（
1
）
arcsin
xdx
?
思
路
:
被积函数的形式看作
x
arcsin
x
，按照“反、对、幂、三、指”顺
序，幂函数
x
优先
纳入到微分号下，凑
微分后仍为
dx
。
< br>解
：
arcsin
xdx
?
x
arcsin
x
?
x
0
0
?
?
1
1
?
x
2
dx
?
x
arcsin
x
?
1
1
d
(1
?
x
2
)
?
2
1
?
x
2
?
x
arcsin
x
?
1
?
x
< br>2
?
C
.
★★
（
2
）
ln(1
?
x
)
dx
思路
：同上题。
?
2
2
x
2
x
2
2
dx
?
x
ln(1
?
x
)
?
?<
/p>
dx
解
：
?
ln(1
?
x<
/p>
)
dx
?
x
ln(1
?
x
)<
/p>
?
?
x
2
2
1
?
x
1
?
x
2
2
2(
x
2
< br>?
1)
?
2
dx
2
?
x
ln(1
?
x
)
?
?
dx
?
x
ln(1
?
x
)
?
2
dx
?
2
?
?
1
?
x
2
1
?
x
2
?
x
ln(1
?
x
2
)
?
2
x
?
2arctan<
/p>
x
?
C
.
2
★
（
3
）
arctan
xdx
?
思路
：同上题。
_
dx
1
d
(1
?
x
2
)
?
x
arctan
x
?
?
解
：
?
arctan
xdx
?
x
arctan
x
?
?
x
1
?
x
2
2
1
?
x
2
1
?
x
arctan
x
?
ln(1
?
x
2
)
?
C
2
x
?
2
x
★★
(4)
< br>?
e
sin
dx
2
思路
：严格按照“反、对
、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
x
x
1
?<
/p>
2
x
1
?
2
x
x
1
?
2
x
1
x
?
2
x
e
sin
dx
?
< br>sin
d
(
?
< br>e
)
?
?
e
sin
?
e
cos
dx
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
1
x
1
x
1
?
?
e
?
2
x
sin
?
?
cos
d
(
?
e
?
2
x
)
2
2
4
2
2
1
x
1
1<
/p>
x
1
x
?
?
e
?
2
x
sin
?
(
?
e
?
2
x
cos
?
?
e
?
2
x
sin
dx
)
2
< br>2
4
2
2
4
2
1
x
1
x
1
x
?
?
e
?
2
x
sin
?
e
?
2
x
cos
?
?
e
?
2
x
sin
dx
2
2
8
2
16
2
x
< br>2
e
?
2
x
x
x
?
2
x
?
?
e
sin
dx
?
?<
/p>
(4sin
?
cos
)
?
C
.
2
17
2
2
★
★
(5)
x
arctan
xdx
?
2
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
< br>
x
3
1
3
1
3
1
d
x
解
：
?<
/p>
x
arctan
xdx
< br>?
?
arctan
xd
(
)
?
x
arctan
x
?
?
x
2
3
3
3
1
?
x
2
1
3
1
x
3
?
x
?
x
1
3
1<
/p>
x
dx
?
x
arctan
x
?
?
?
x
arctan
< br>x
?
(
x
?
)
dx
3
3
1
?
x<
/p>
2
3
3
?
1
?
x
2
1
1
1
x
1
3
1
2
1
1
2
?
x
3
arctan
x
< br>?
?
xdx
?
< br>?
dx
?
x
arctan
x
?
x
?
d
(1
?
x
)
2
2
3
3
3
1
?
x
3
6
6<
/p>
?
1
?
x
1
3
1
2
1
?
x
arctan
x
?
x
?
ln(1
?
x
2
)
?
C
.
3
6
6
★
(6)
x
cos
dx
?
x
2
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微
分即可。
解
：
x
cos
dx
?
2
xd
sin
?
< br>x
2
?
x
x
x
x
x
x
?
2
x
sin
?
2
?
sin
dx
?
2
x<
/p>
sin
?
4
?<
/p>
sin
d
2<
/p>
2
2
2
2
2
?
2
x
sin
x
x
?
4cos
?<
/p>
C
.
2
2
★★
(7)
x
tan
xdx
?
2
_ <
/p>
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
x
tan
2
xdx
?
x
(sec
2
x
?
1)
dx
?
(
x
sec
2
x
?
x
)
dx
?
x
sec
2
xdx
?
x
d
x
?
?
?
?
?
1
1
?
?
xd
(tan
x
)
?
?
xdx
?
x
tan
x
?
?
tan
xdx
?
x
2
?
x
tan
x
?
ln
cos
x
?
x
2
?
C
.
< br>
2
2
★★
(8)
ln
2
xdx
?
思路
：严格按照“反、
对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
ln
xdx
?
x
ln
x
?
x
?
2ln
x
?
dx
?
x
ln
x
?
2
l
n
xdx
?
x
ln
x
?
2
x
ln
x
?
2<
/p>
x
?
dx
?
2
2
?
1
x
2
?
2
?
1
x
< br>?
x
ln
2
x
?
2
x
ln
x
?
2
?
dx
?
x
ln
2
x
?
2
x
ln
x
?
2
x
?
C
.
★★
(9)
x
ln(
x
?
1)
dx
?
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
x
2
1
< br>2
1
x
2
?
x
ln(
x
?
1)
?
?
dx
解
：
?
x
ln(
x
?
1)
dx
?
?
ln(
x
?
1
)
d
2
2
2<
/p>
x
?
1
1
2
1
x
2
?
1
?
1
1
1
1
dx
< br>?
x
2
ln(
< br>x
?
1)
?
?
(
x
?
1
?
?
x
ln(
x
?
1)
?<
/p>
?
)
dx
2
2
x
?
1
2
2
x
?
1
?
1
< br>2
1
1
1
x
ln(
x
?
1)
?
x
2
?
x
?
ln(
x
?
1)
?
C
2
4
2
2
ln
2
x
★★
(10)
?
2<
/p>
dx
x
思路<
/p>
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
ln
2
x
1
1
2
1
1
1
2
ln
x
< br>2
解
：
?
2
dx
?
?
ln
xd
(
?
)
?
?
ln
x
?
?
2ln
x
?
dx
?
?<
/p>
ln
x
?
2
?
2
dx
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
2
1
1
2
2
?
?
ln
2
x
?
2
?
ln
xd
(
?
)
?
?
ln
2
x
?
ln
x
?
2
?
2
dx
?
?
ln
2
x
?
ln
x
?
?
C
x
x
x
x
x
x
x
x
1<
/p>
2
?
?
(ln
x
?
ln
x
?
2)
?
C
x
★★
(11)
cosln
xdx
?
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解<
/p>
：
1
cosln
xdx
?
x
cosln
x
?
x
sin
ln
x
?
dx
?
x
cosln
x
?
?
sin
ln
xdx
?
?
x
_
1
?
x<
/p>
cos
ln
x
?
x
sin
ln
x
?
?
x
co
s
ln
x
?
d
x
?
x
cos
ln
x
?
x
s
in
ln
x
?
?
cos
ln
xdx
< br>x
x
?
?
cos
ln
xdx
?
(cos
ln
x
?
sin
ln
x
)
?
C
.
2
★★
(12)
ln
x
?
x
2
dx
思路
：详见第
(10)
小题解答中间，解答略。
★★
(13)
x
ln
xd
x
?
n
(
n<
/p>
?
?
1)
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
x
n
?
1
1
n
?
< br>1
1
n
?
1
1
?
x
l
n
x
?
?
x<
/p>
?
dx
解
：
?
x
ln
xdx
?
?
ln
xd
n
?
1
n
?
1
n
?
1
x
n
?
1
n
?
1
1
n
1
n
?
1
?
1<
/p>
?
x
ln
x
?
?
x
dx
?
x
?
ln
x
?
?
?
C
.
n
< br>?
1
n
?
1
n
?
1
(
n
?
1)
?<
/p>
?
★★
(14)
x
e
dx
?
2
?
x
思路<
/p>
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
x
2
e
?
x
dx
?
?
x
2
e
?
x
?
e
?
x
2
xd
x
?
?
x
2<
/p>
e
?
x
?
2
xe
?
x
?
2
e
?
x
dx
?
?
?
?
?
x
2
e
?
x
?
2
xe
?
x
?
2
e
?
x
?
C
?
?
e
?
x
(
x
2
< br>?
2
x
?
2)
?
C
★★
(15)
x
(ln
x
)
dx
< br>思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
x
(
ln
x
)
dx
?
(ln
x
)
d
(
x
)
?<
/p>
?
3
2
?
3
2
?
2
1
4
4
1
4
1
1
x
(ln
x
)
2
?
?
x
4
?
2ln
x
?
dx
4
4
x
1
4
1
1
1
x
(ln
x
)
2
?
?
x
3
ln
xdx
?
x
4
(ln
x
)
2
?
?
ln
xdx
4
4
2
4
8
1
1
1
1
< br>1
1
1
?
x
4
(ln
x
)
2
?
x
4
ln
x
?
?<
/p>
x
4
?
dx
?
x
4
(ln
x
)
2
?
x
4
ln
x
?
?
x
3
dx
4
8
< br>8
x
4
8
8
1
1
1
1
1
?
x
4
(ln
x
)
2
?
x
4
ln
x
?
x
4
?
C
?
x
4
(2ln
2
x
?
ln
x
?
)
?
C
.
4
8
32
8
4
?
★★
(16)
< br>ln
ln
x
?
< br>x
dx
ln
< br>ln
x
dx
写成
ln
ln
xd
(ln
x
)
，将
ln
x
看作一个整体变量积分即可。
x
思路
：
将积分表达式
_
< br>解
：
ln
ln
< br>x
1
1
1
dx
?
ln
ln
xd
(ln
x
)
< br>?
ln
x
ln
< br>ln
x
?
ln
< br>x
?
?
dx
?
ln
x
ln
ln
x
?
?
x
?
?
ln
x
x
?
x
dx
?
ln
x<
/p>
ln
ln
x
?<
/p>
ln
x
?
C
?
ln
x
(ln<
/p>
ln
x
?
1)<
/p>
?
C
.
★★★
(17)
?
x
sin
x
cos
xdx
思路
：严格按照“反、对
、幂、三、指”顺序凑微分即可。
1
1
1
1
1
x<
/p>
sin
2
xdx
?
xd
(
?
c
os
2
x
)
?
?
x
cos
2
x
?
cos
2
xdx
?
?
2
?
?
2
2
4
4
1
1
1
1
?
?
x
cos
2
x
?
?
cos
2
xd
2
x
?
?
x
cos
2
x
?
sin
2
x
?
C
.
4
8
4
8
2
2
x<
/p>
★★
(18)
?
x
cos
dx
2
1
?
cos
x
2
x
思路
：先将
cos
降幂得
，然后分项积分；
第二个积分严格按照“反、对、幂、
2
2
解
：
x
sin
x
cos
xdx
?
< br>三、指”顺序凑微分即可。
解
：
x
cos
?
2
2
x
1
1<
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1
1
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x
2
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x
2
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x
)
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x
2
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?
x
2
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2
2
2
2
2
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1
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x
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sin
x
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x
3
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x
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sin
x
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2
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xdx
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x
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x
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sin
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x
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x
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x
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x
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x<
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x
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x<
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sin
x
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C
6
2
★★
(19)
(
x<
/p>
?
1)sin
2
xdx
思路
：分项后对第一个积分分部积分。
解
：
(
x
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1)sin
2
x
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x
sin
2
xdx
?
sin
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xdx
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x
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1
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2<
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x
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x
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2
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x
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2
x
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sin
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xdx
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2
x
2
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2
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x
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2
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x
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2
x
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2
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C
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1
1
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x
2
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2
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x
sin
2
x
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2
x
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(
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2
x
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sin
2
x
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C
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2
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4
2
2
2
★★★
(20)
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dx
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3
x
_
思路
：首先换元，后分部积分。
解
：令
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3
3
x
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x
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t
3
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dx
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3
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2
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x
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3
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2
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2
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3
t
2
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2
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x
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2
3
x
?
2)
?
C
.
3
★★★
(21)
(arcsin
x
)
dx
?
思路
：严格按照“
反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
< br>：
(arcsin
x
)
dx
?
x
(arcsi
n
x
)
?
x<
/p>
?
?
2
2
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1
?
x
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x
(arcsin
x
)
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x
2
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x
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x
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(arcsin
x
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x
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?
x
(arcsin
x
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2
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2
1
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x
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arcsin
x
?
2
x
?
C
.
★★★
(22)
e
x
sin
2
xdx
?
思路
：严格按
照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
方法一：
x
2
2
x
x
2
x
e
sin
xdx
?
sin
xde
?
e
s
in
x
?
e
?
?
?
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x
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xdx
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x
sin
2
x
?
?
e
x
sin
2
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x
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2
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?
?
sin
2
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e
sin
2
x
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e
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2
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e
sin
2
x
?
2
?
cos
2
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x
x
x
x
x
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e
x
sin
< br>2
x
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2
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x
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2
x
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x
sin
2
x
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e
x
(sin
2
x
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2cos
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x
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sin
2
xdx
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C
5
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x
x
2
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sin
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(
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2
x
?
sin
2
x
?
2cos
2
x
)
?
C
5
x
方法二：
x
2
x
e
sin
xdx
?
e
?
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1
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2
x
1
1
1
1
dx
?
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x
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e
x
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2
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e
x
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?
e
x
cos
2
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2
2
2
2
2
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?
e
x
cos
2
xdx
?
?
cos
2
xde
x
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e
x
cos
2
x
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?
e
x
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2
xdx
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e
x
cos
2
x
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2
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sin
2
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x
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x
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2
x
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2
e
x
sin
2
x
?
4
?
e
< br>x
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2
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e
x
(cos
2
x
?
2sin
2
x
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?
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2
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C
5
e
x
1
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1
x
2
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e
sin
xdx
?
?
e
sin
2
x
?
e
x
cos
2
x
?
C
2
5
10
x
★★★
(23)
?
ln(1
?
x
)
x
dx
< br>
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即
可。
解
：
l
n(1
?
x
)
2
x
dx
?
l
n(1
?
x
)
d
(2
x
)
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2
x
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?
x
)
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?
x
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x
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dx
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x
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t
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1
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1
?
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1
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x
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C
所以原积分
?
ln(1
?
x
)
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2
x
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?
x
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?
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x
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4arctan
x
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C
。
ln(1
?
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x
)
dx
★★★
(24)
?
x
e
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
ln(1
?
e
x
)
e
x
x
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x
?
x
x
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x
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解
：
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1
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x
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e
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x
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C
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?
x
x
1
。
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1
?
e
x
dx
的其他计算方法可参照习题
4-2
，
2
（
33
）
1
?
x
dx
★★★
(25)
?
x
ln
1
?
x
注
：该题中
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
_
解
< br>：
x
ln
?
1
?
x
1
?
x
1
2
1<
/p>
2
1
?
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1
2
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x
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?
x
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1
?
x
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x
)
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x
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x
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?
x
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1
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?
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x
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2
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?
x
1
?
x
ln
?
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?
x
ln
?
dx
?
dx
2
2
?
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2
1
?
x
1
?
x
2
1
?
x
1<
/p>
?
x
1
2
1
?
x
1
1
1
1
2
1
?
x
1
?
x
ln
?
x
?
?
(
?
)
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/p>
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?
x
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?
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/p>
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?
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1
?
x
2
1
?
x
1
?
x
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1
?
x
2
1
2
1
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x
1
1
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x
1
1
?
x
x
ln
?
x
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ln
?
C
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x
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?
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x
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C
2
1
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x
2
1
?
x
2<
/p>
1
?
x
1
?
x
注
：
该题也可以化为
?<
/p>
x
ln
dx
?<
/p>
?
x
[ln(1
?
x
)
?
ln
(1
?
x
)]
dx
再利用分部积分法计算。
1
?
x
?
1
?
x
x
2
?
x
ln
1
?
x
dx
?
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x
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x
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x
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[ln(1
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x
)
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?
x
)]
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2
x
2
1
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x
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2
1
1
x
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1
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x
x
2
ln
?
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[
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]
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/p>
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ln
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/p>
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2
1
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x
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x
1
?
x
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1
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x
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1
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x<
/p>
2
x
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1
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x
1
?
x
2
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1
x
2
1
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x
1
1
1
ln
?
?
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?
ln
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[
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]
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2
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1
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x
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1
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1
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x
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2
1
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x
1
1
?
x
ln
?
x
?
ln
?
C
?
2
1
?
x
2
1
?
x
★★★
(26)<
/p>
dx
?
sin
2
x
cos
x
dx
sec
2
xdx
d
tan
x
dx
?
?
思路
：
将被积表达式
写成
，
然后分部积分
2
2si
n
x
2sin
x
2sin
x
cos
x
sin
2
x
cos
x
即可。
dx
dx
sec
2
xdx<
/p>
d
tan
x
?<
/p>
?
?
?
解
：
?
2
?
?
sin
2
x
cos
x
2sin
x
2sin
x
2s
in
x
cos
x
tan
x
1
tan
< br>x
1
?
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tan
x
(
?
csc
x
cot
x
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dx
?
?
?
csc
xdx
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x
2
2sin
x
2
1
?
(sec
x
?
ln
csc
x
?
cot<
/p>
x
)
?
C
.
2
?
2
、
用列表法求下列不定积分。
知识点：
仍是分部积分法的练习。
<
/p>
思路分析
：
审题看看是否需要分项，
是否需要分部积分，
是否需要凑微分。
按照
各种方法完
_
成。我们仍然用一般方法解出，不用列表法。
★
(1)
xe
3
x
dx
?
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
xe
dx
?
xd
(
e
)
?
?
3
x
?
1
3
3
x
1
3
x
1
3
x
1
1
1
1
< br>xe
?
?
e
dx
?
xe
3
x
?
?
e
3
x
d
3
x<
/p>
?
(
x
?
)
e
3
x
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C
.
3
3
3
9
3
3
★
(2)
(
x
?
1)
e
dx
?
x
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。<
/p>
解
：
(
x
?
1)
e
x
dx
?
(
x
?
1)
de
x
?
(
x
?
1)
e
x
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e
x
dx
?
xe
x
?
C
。
?
?
?
★
(3)
x
cos
xdx
?
2
思路
：严格按照“反、对、幂、
三、指”顺序凑微分即可。
解
：
x
2
cos
xdx
?
x
2
d
sin
x
?
x
2
sin
x
?
2
x
sin
xdx
?
x
2
sin
x
?
2
xd<
/p>
cos
x
?<
/p>
?
?
?
?
x
2
sin
x
?
2
x
cos
x
?
2
?
cos
xdx
?
x
2
sin
x
?
2
x
cos
x
?
2sin
x
?
C
★
(4)
(
x
?
1)
e
dx
?
2
?
x
思路
：分项后分部积分即可。
解
：
(
x
2
?
1)
e
?
x
dx
?
x
2<
/p>
e
?
x
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x
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x
2
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x
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2
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2
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e
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x
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e
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x
x
2
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2
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(
?
e
?
x
)
?
?
e
?
x
dx
?
?
e
x
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2
xe
?
x
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?
x
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2
?
e
dx
?
?
e
dx
?
?
e
x
?
2
xe
?
x
?
x
?
x
2
?
x
?
3
?
e
dx
< br>?
x
?
?
e
?
x
(
x
2
?
2
x
?
3)
?
C
.
★
(5)
x
ln(
x
?
1)
dx
?
思路
：严格按照“反、对、幂、三、指”顺
序凑微分即可。
1
2
1
2
1
x
2
dx
解
：
?
x
ln(
x
?
1)
dx
?
?
ln(
x
?
1)
d
(
x
)
?
x
ln
(
x
?
1)
-
?
2
2
2
x
?
1
?
1
2
1
1
1
1
1
1
< br>x
ln(
x
?
< br>1)
?
?
(
x
?
1
?
)
dx
?
x
2
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x
?
1
)
?
x
2
?<
/p>
x
?
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x<
/p>
?
1)
?
C
.
2
2
x
?
1
2
4
2
2
★
< br>(6)
e
?
?
< br>x
cos
xdx
_
思路
：
严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解
：
?
x
?
x
?
x
?
x
e
cos
xdx
?
cos
xd
(
?
e
)
?
?
e
cos
x
?
e
?
?
< br>?
sin
xdx
?
?
e
?
< br>x
cos
x
?
< br>?
sin
xd
(
?
e
?
x
)
?
?
e
?
x
cos
x
?
e
?
x
si
n
x
?
?
e<
/p>
?
x
cos
xd
x
e
?
x
?<
/p>
?
e
cos
xd
x
?
(sin
x
?
cos
x
)
?
C
.
2
s
in
x
★
3
、
已知
是
f
(
x
)
的原函数，求
?
xf
?
(
x
)
dx
。
x
?
x
知识点：
考察原函数的定义及分部积分法的练习。
< br>
思路分析
：积分
你
?
xf
?
(
x
)
dx
中出现了
f
?
(
x
)
，应马上知道积分应使用分部积分，
条件告诉
sin
x
sin
x
是
f
(
x
)
的原函数，
应该知道
?
f
(
x
)
dx
?
?
C
.
x<
/p>
x
解
：
又
?
xf
?
(
x
)
dx
?
?
x
d(
f
(
x
)
)=
xf
(
x
)
< br>?
?
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
?
sin
x
x
cos
x
?
s
in
x
x
cos
x
?
sin
x
?
C
,
?
f
(
x
)
?
,
?
xf
(
x
)
?
;
2
?
x
x
x
x
cos
x
?
sin
x
sin
x
2
?
?
xf
?
(
< br>x
)
dx
?
?
?
C
?
cos
x
?
sin
x
?
C
x
x
x
e
x<
/p>
★★
4
、已知
f
(
x
)
=
，求
?
xf
??<
/p>
(
x
)
dx
。
x
知识点：<
/p>
仍然是分部积分法的练习。
思路分析<
/p>
：积分
xf
??
(
x
)
dx
中
出现了
f
??
(
x
)
，应马上知道积分应使用分部积分。
?
解
：
?
xf
??
(
x
)
dx
?
?
xd
(
f<
/p>
?
(
x
))
?
xf
?
(
x
)
?
?
f
?
(
x
)
dx
?
xf
?
(
x
)
?
f
(
x
)
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C
.
<
/p>
e
x
xe
x
?
e
x
e
x
(
x
?
1)
e
x
(
x
?
1)
f
< br>(
x
)=
,
?
f
?
(
x
)
=
?
,<
/p>
?
xf
?
(
x
)
=
;
2
2
x
x
x
x
又
< br>e
x
(
x
?
1)
e
x
e
x
(
x
?<
/p>
2)
?
?
xf<
/p>
??
(
x
)
dx
?
?
?
C
?
?
C
.
x
x
x
★★★★
5
、设
I
n
?
dx
1
cos
x
n
?
2
(
n
< br>?
2)
I
?
?
?
?
I
n
?
2
。
<
/p>
，
；证明：
n
n
?
1
?
sin
n
x
n
?
1
sin
x
n
?
1
知识点：
仍然
是分部积分法的练习。
思路分析
：要
证明的目标表达式中出现了
I
n
，
cos
x
和
I
n
?
2
提示我们如何在被积函数的
n
?
1
sin
x
_
表达式
1
cos
x
1
中变出
和
呢？这里涉及到三角函数中
1
的变形应用，初等
sin
n
x
sin
n
?
1
x
sin
n
?
2
x
2
2
数学中有过专门的介绍，这里
1
可变为
sin
x
?
cos
x
。
证明：
1=
sin
x
?
cos
x
2
2
dx
sin
2
x
?
cos
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cos
2
x
1
?
I
n
?
?
n
?
?
dx
?
dx
?
dx
?
dx
?
dx
n
n
< br>n
n
n
?
2
?
?
?
?
sin
x
sin
x
sin
x
sin
< br>x
sin
x
sin
x
cos
2
x
cos
x
?
?
dx
?
I
?
n
?
2
?
sin
n
x
d
sin
x
?
I
n
?
2
sin
n
x
cos
x
?
sin
x
?
sin
n
x
?
n
sin
n
?
1
x
cos
2
x
?
sin
x
?
?
sin
x
?
dx
?
I
n
?
2
sin
n
x
sin
2
n
x
cos
x
cos
2
x
cos
< br>x
1
?
sin
< br>2
x
?
?
I
n
?
2
?
n
?
dx
?<
/p>
I
n
?
2
?
?
I
n
?
2
?
n
?
dx
?
I
< br>n
?
2
n
-1
n
n
?
1
n
sin
x
sin
x
sin
x
sin
x
cos
x
cos
x
?
?
I
?
nI
?
< br>nI
?
I
?
?
nI
n
?
(
n
?
2)
I
n
?
2
n<
/p>
?
2
n
n
?
2
n
?
2
n
?
1
n
?
1
sin
x
sin
x
1
cos
x
n
?
2
?
I
n
?
?
?
n
?
1
?
I
n<
/p>
?
2
.
n
?
1
sin
x
n
?
1
★★★★
6
、设
f
(
x
)
为单调连续函数，
f
(
x
)
为
其反函数，且
-1
?
f
(
x
)
dx
< br>?
F
(
x
)
?
C
，
求：
?<
/p>
f
?
1
(
x
)d
x
。
知识点：
本题考察了一对互为反函数的函数间
的关系，还有就是分部积分法的练习。
思路分析
：要明白
x
?
f
(
f
解
：
又
?
1
(
x
))
这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。
?
f
-1
(
x
)d
x
=
x
f
-1
(
x
)-
?
< br>x
d(
f
-1
< br>(
x
))
x
?
f
(
f
?
1
(
x<
/p>
))
?
?
f
?
1
(
x
)
dx
?
f
?
1
(
x
)
?
?
xd
(
f
?
1
(
x
))
?
f
?
1
(<
/p>
x
)
?
?
f
(
f
?
1
(
x
))
d
(
f
?
< br>1
(
x
))
又
?
f
(
x
)
dx
?
F
(
x
)
?
C
?
?
f
?
1
(
x
)
dx
?
f
?
1
(
x
)
?
?
f
(
f
?<
/p>
1
(
x
))
d
(
f
?
1
(
x
))
?
f
?
1
(
x
)
?
F
(
f
?
1
(
x
))
?
C
.
习题
4-4
1
、
求下列不定积分
知识点：
有理函数积分法的练习。
_
思路分析
：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，
若是
假分式，
通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，
然后再具体问题具体
分析。
x
3
dx
<
/p>
★
(1)
?
x<
/p>
?
3
思路
：
被积函数为假分式，
先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的
形式，
然后分项
积分。
解
：
x
3
< br>x
3
?
27
?
27
27
?
?
x
2
?
3
x
?
9
?<
/p>
x
?
3
x
?
3
x
?
3
x
3
27
27
?
?
dx
?
?
(
< br>x
2
?
3
x
?
9
?
)
dx
?
?
(<
/p>
x
2
?
3
x
?
9)
dx
?
?
dx
x
?
3
x
?
3
x
?
3
< br>
1
3
?
x
3
?
x
2
?
9
x
?
27
ln
x
?
3
?
C.
3
2
x
5
?
x
4
?
8
dx
★★★
(2)
?
x
3
?
x
思路
：
被积函数为假分式，
先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，
然后分项
积分。
解
：
3
x
5
?
x
4
?
8
(
x
5
?
x
3
)
?
(<
/p>
x
4
?
x
2
)
?
(
x
3
?
x
)
?
x
2
?
x
?
8
x
2
?
x
?<
/p>
8
2
?
?
x
?
x
?
1
?
3
,
x
3
?
x
x
3
?
x
x
?
x
而<
/p>
x
?
x
?
x
(
x
?
1)(
x
?
1),
x
2
?
x
?
8
A
B
C
?
?
?
令
，等式右边通分后比较两边分子
x
的同次项的系数得：
x
3
?
x
x
x
?
1
x
< br>?
1
?
A
?
B
?
C
?
1
?
A
?
8
?
?
C
?
B
?
1
解此方程组得：
?
?
B
?
?
4
?
?
C
?
?
3
A
?
< br>8
?
?
_
x
5
?<
/p>
x
4
?
8
8
4
3
2
?
?
x
?
x
?
1
?
?
?
x
x
?
1
x
?
1<
/p>
x
3
?
x
x
5
?
x
4
?
8
8
4
3
2
?
?
dx
?
(
x
?
x
?
1
?
?
?
)
dx
3
?
x
x
?
1
x
?
1
x
?
x
1
1
?
x
3
?
x
2
?
x
?<
/p>
8ln
x
?
4l
n
x
?
1
?<
/p>
3ln
x
?
1<
/p>
?
C
3
2
★★★
(3)
3
?<
/p>
x
3
?
1
dx
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
解
：
x
3
?
1
?
(
x
?
1)(
x
2
?
x
?
1)
，
令
3
A
Bx
?
C
< br>等式右边通分后比较两边
?
?
3
2
x
?
1
x
?
1
x
?
x
?
1
分子
x
的同次项的系数得：
?
A+B=0
?
A
?
1
?
?
B+C-A=0
解此方程组得：
?
?
B
?
?
1
?
A+C=3
?
C
?
2
?
?
1
3
(2
x
?
1)
?
3
1
?
< br>x
?
2
1
2
?
3
?
?
2
?
?
2
x
?
1
x
?
1
x
?
x
?
1
< br>x
?
1
1
3
(
x
?
)
2
?
(
)
2
2
2
1
(2
x
?
1)
1
3
1
2
?
?
?
x
< br>?
1
(
x
?
1
)
2
?
3
2
1
3
(
x
?
)
2
?
(
)
2
2
4
2
< br>2
1
(2
x
?
1)
3
1
3
1
?
?
3
dx
?
?
dx
?
?
2
dx<
/p>
?
?
dx
1
2
3
x
?
1
x
?
1
2
1
3
(
< br>x
?
)
?
(
x
?
)
2
?
(
)
2
2
4
2
2
1
x
?
1
1
1
3
1
< br>2
)
?
ln
x
?
1
?
?
d
((
x
?
)
2
?
)
?
3
?
d
(
1
2
(
x
?
1
)
< br>2
?
3
2
4
3
x
?
2
4
2
)
2
?
1
2
(
3
2
1
2
x
?
1
?
< br>ln
x
?
1
?
ln(
x
2
?
x
?
1)
?
3
arctan(
)
?
C
.
2
< br>3
★★★
(4)
x
?
1
?
< br>(
x
?
1)
3
dx
_
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
解
：令
x
?<
/p>
1
A
B
C
?
?
?
，等式右边通
分后比较两边分子
x
的同次项
(
x
?
1)
3
x
?
1
(
x
?
1)
2
(
x
?
1)
< br>3
的系数得：
A
?
0,
B
?
2
A
?
1,
< br>A
?
B
?
C
?
1
，
解
此方程组得：
A
?
0,
B
?
1,
C
< br>?
2
。
x
?
1
1
2
?
?
(
x
?
1)
3
(
x
?
1)
2
(
x
?
1)
3
x
?
1
1
2
1
1
x
?
?
dx
?
?
dx
?
?
dx
?
?
?
?
C
?
?
?
C
3
2
3
2
2
x
?
1
(
< br>x
?
1)
(
x
?
1)
(
x
?
1)
(
x
?
1)
(
x
?
1)
?
★★
★
(5)
3
x
?
2
?
x
(<
/p>
x
?
1)
3
dx
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
解
：
3
x
?
2
3
2
2
A
B
C
D
?
?
?
< br>?
?
?
，
令
3
3
3
3
2
3
x
x
?
1
(
x
?
1)
x
(
x
?
1)
(
x
?
1)
x
(
x
?
1)
x
(
x
?
1)
(
x
?
1)
等式右边通分后比较两边分子
x
的同次项的系数得：
A
?
B
?
0
< br>?
?
A
?
2
?
3
A
?
2
B
?
C
?
0
?
B
?
?
2
?
?
解此方程组得：
?
。
?
3
A
?
B
?
C
?
D
?
0
< br>C
?
?
2
?
?
?
?
A
?
2
?
?
D
?
?
2
?
2
2
2
2
2
?
?
< br>?
?
x
(
x
?
1)
3
x
x
?
1<
/p>
(
x
?
1)
2
(
x
?
1)
3
3
x
?
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
x
(
x
?
1)
3
(
x
?
1)
3
x
x
?
1
(
x
?
1)
2
(
x
?
1)
3
(
x
?
1)
3
x
x
?
1
(
x
?
1)
2
3
x
?
2
1
2
2
2
?
?
dx
< br>?
dx
?
dx
< br>?
dx
?
dx
< br>3
3
2
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?
?
x
(
x
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1)
(<
/p>
x
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1)
(
x
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1)
x
?
1
x
1
1
2
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?
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?
2ln
x
?
1
?
2ln
x
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C
2
2
(
x
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1)
x
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1
?
?
2ln
★
★★
(6)
x
4
x
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3
?
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C
.
x
?
1
2(
x
?
1)
2
xdx
?
(
x
?
2)(
x
?
3)
2
_
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
解
：
x
x
?
2
?
2
x
?
2
2
?
?
?
< br>(
x
?
2)(
< br>x
?
3)
2
(
x
?
2)(
x
?
3)
2
(
x
?
2)(
x
?
3)
2
(
x
?
2)(
x
?
3)
2
?
1
2
2
A
B
C
?
?
?
?
；
令
，
等式右边
2
2
2
2
(
x
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x
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x
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x
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x
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3)
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x
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3
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x
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3)
通分后比较两边分子
x
的同次项的系数得：
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?
A
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B
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/p>
0
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6
A
?
5
B
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C
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0
解
此
方
程
组
得
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9
A
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6
B
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2
C
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2
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A
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B
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ln
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x
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3
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C
.
★★★
(7)
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3<
/p>
x
x
3
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1
dx
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
解
：
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x
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x
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3
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A
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x
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1
，等式右边通分后比较两边分子
x
的同次项的系数得：
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A
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B
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A
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1
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A
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B
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C
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0
解此方程组得：
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B
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1
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A
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2
★★★
(8)
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2
dx
2
(
x
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1)
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
1
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x
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x
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1
x
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解
：
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又由分部积分法可知：
2
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x
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2
x
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1
★★★
(9)<
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x<
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x
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2)(
x
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3)
思路
：将被积函数裂项后分项积分。
解
：
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x
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1
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x
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3
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等式右边通分后比较两边分子
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的同次项的系数得：
3
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A
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3
3
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A
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B
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C
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/p>
0
2
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3
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5
A
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4
B
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3
C
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0
解之得：
B
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1<
/p>
★★★
(10)
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(
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1)
思路
：
将被积函数裂项后分项积分。
解
：<
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令
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A
B
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等式右边通分后比较两边分子
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的同次项的系
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(
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数得：
A<
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B
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A
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C
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A
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B
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C
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2
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解之得：
A
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C
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1)
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x
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1)
x
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1
x
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1<
/p>
(
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1)
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2
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1
dx
1
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dx
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dx
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1)
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x
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1)
2
x
?
1
2
x
?
1
(
x
?
1)
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