-
摘要：
总结不定积分基本定义，
性质和公式，<
/p>
求不定积分的几种基本方法和技巧，
列举个别
典型例子，运用技巧解题。
一．不定积分的概念与性质
定义
1
如
果
F
（
x
）是
区间
I
上的可导函数，并且对任意的
x
?
I
，有
<
/p>
F
’
(x)=f(x)dx
则称
F
（
x
）是
f(x)
在区间
I
上的一个
原函数
。
定理
1
（原函数存在定理）
如果函数
f(x)
在区间
I
上连续，那么
f(x)
在区间
I
上一定有
原函数，即存在可导函数
F
（
x
）
，使得
F
（
x
）
=f(x)
（
x
?
I
）
简单的说就是，
连续函数一定有原函数
定理
2
设
F
（
x
）是<
/p>
f(x)
在区间
I
上的一个原函数，则
（
1
）
F
（
x
）
+C
也是
f(x)
在区
间
I
上的原函数，其中
C
是任意函数；
（
2
）
f(x)
在
I
上的
任意两个原函数之间只相差一个常数。
定义
2
<
/p>
设
F
（
x
）是
f(x)
在区间
I
上的一个原函数，那么
f(x)
的全
体原函数
F
（
x
）
+C
称
为
f(x)
在区间
I
上的
不定积分
，记为
其中记号
?<
/p>
f(x)d(x),
即
?
f(x)d(x)=F(x)+C
?
称为
积分号
，
f(x)
称为
被积函数
，
f(
x)d(x)
称为
被积表达式
，
x
称为积分
变量
，<
/p>
C
称为
积分
常数
。
性
质
1
设
函
数
f(x)
和
g(x)
存
在
原
函
数
，
则
?
[f(
x)
?
g(x)]dx=
?
f(x)dx
?
?
g(x
)dx.
性质
2
<
/p>
设函数
f(x)
存在原函数，
k
为非零常数，则
?
kf
(x)dx=k
?
f(x)dx.
二．换元积分法的定理
如果不定积分
?
g(x)dx
不容易直接求出，但被
积函数可分解为
g(x)=f[
?
(x
)]
?
’
(x).
做变量代换
u=
?
(x),
并注意到
?
‘
（
x
）
dx=d
?
(x),
则可将变量
x
的积分转化成变量
u
的积
分，于是有
如果
?
g(x
)dx=
?
f[
?
(x)]
?
’
(x)dx=
?
f(u)du.
?
f(u)du
可以积出，则不定积分
?
g(x)dx
的计算问题就解决了，这就是
第一类换
元法
。第一类换元法就是将复合函数的微分法
反过来用来求不定积分。
定理
1
设
F(u)
是
f(u)
的一个原函数，
u=
?
(x)
可导，则有换元公式
?
f[
?
< br>(x)]
?
’
(x)dx=<
/p>
?
f(u)du=F(u)+C=F[
?
(x)]+C.
第一类换元法是通过
变量代换
u=
?
(x),
将积分
?
f[
?
(x)
?
’
(x)dx
化为
?
f(u)du.
但
有些积分需要用到形如
x=
?
(t)
的变量代换，
将积分
在求出后一积分之后，再以
x=
?
(t)
的反函数
t=
?
即
?
f(x)dx
化为
?
f[
?
(t)]
?
< br>’
(t).
?
1
(X)
带回去，这就是
第二类换元法
< br>。
?
f(x)dx={
?
f[
?
(t)]
?
’
(t)dt}
t
?
?
?
1
(
X
)
.
<
/p>
?
1
为了保证上式成立，除被积函数应存
在原函数之外，还应有原函数
t=
?
件
，给出下面的定理。
（
x
）存在的条
定理
2
<
/p>
设
x=
?
(t)
是单调，可导的函数，并且
?
‘
（
t
）
?
0.
又设
f[
?
(t)]
?
’
(t)
具
有原函数
F
（
t
）
,
则<
/p>
其中
?
?
1
?
f(x)dx=
< br>?
f[
?
(t)]
?
’
(t)dt=F(t)+C=F[
?
?
1
(x)]+C
（
x
）是
x=
?
（
t
）的反函数。
三．常用积分公式
1
基本积分公式
（
1
）
?
?
kdx=kx+C(k
是常数
)
；
（
2
）
?
x
u
?
1
x
dx=
+C(u
?
-1);
u
?
1
u
（
3
）
dx
dx
=ln
x
+C
；
（
4
）
?
=a
rctanx+C;
x
1
?
x
2
dx
1
?
x
2
< br> (5)
?
?
?
?
?
?
?
< br>=arcsinx+C; (6)
?
?
?
?
?
?
cosxdx=sinx+C;
(7)
(9)
sinxdx=-cosx+C (8) <
/p>
dx
2
=
?
sec
xdx=tanx+C;
2
cos
x
dx
2
=
?
csc
xdx=-cotx+C; (10)
?
secxtanxdx=secx+C;
2
sin
x
cscxcotxdx=-cscx
+C; (12)
a
dx=
e
+C; (14)
chxdx=shx+C. (16)
cotxdx=ln
sinx
+C;
(18)
x
x
(11)
(13)
(15)
(17)
e
dx=
e
+C;
shxdx=chx+C;
tanx
dx=-ln
cosx
+C;
secxdx=ln
secx
?
tanx
+C;
x
x
(19)cscxdx=ln<
/p>
cscx
?
cot
x
+C; (20)
?
1
x
?
a
dx
=
+C;
ln
2
2
a
?
x
a
x
< br>?
a
dx
a
2
?
x
2
=ln(x+
x
2
?
< br>a
2
+C;
(21)
?
?
dx
a
2
?
x
2
dx
x
2
?
a
2
=a
rcsin
x
+C; (22)
?
a
(23)
=ln
x
?
x
2
?
a
2
+C.
2.
凑微分基本类型
四．解不定积分的基本方法
四．求不定积分的方法及技巧小汇总
~
1.
利用基本公式。
（这就不多说了
~
）
2.
第一类换元法。
（凑微分）
设
f(
μ
)
具有原函数
F(
μ
)
。则
?
f
[
?
(
x
)]
?
?
< br>'
(
x
)
dx
?
?
f
[
?
(
x
)]
d
?
(
x
)
?
F
[
?
(
x
)]
?
C
其中
?
(
x
)
< br>可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被
积函数，寻找导数项内容，
同时为下一步积分做准备。
当实在看
不清楚被积函数特点时，
不妨从被积函数中
拿出部分算式求导、
尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例
1
、例
2
：
例
1
：
?
ln(
x
?
1
)
?
ln
x
dx
x
(
x
?
1
)
1
1
1
?
?
?
x
?
1
< br>x
x
(
x
?
1
)
【解】
(ln(
x
?
1
)
?
ln
x
)'
?
ln(
x
?
1
)
?
ln
x
1
2
d
x
?
?
(ln(
x
?
1
)
?
ln
x
)
d<
/p>
(ln(
x
?
1
)
?
ln
x<
/p>
)
?
?
(ln(
x
?
1
)
?
ln
x
)
?
C
?
x
(
x
?
1
)
?
2
例
2
：
?
1
?
ln
x
dx
(
x
ln
x<
/p>
)
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：最新电影api 支持按关键字检索影片信息
下一篇：不定积分例题及答案解析