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单元节点和积分节点的联系和区别
有限元方法的实质：
通过变分原理极
小值转化为矩阵的极小值（
(
变分原理
)
→
(
最小势能原理
)
(
虚功原理
)
变分原理：
把一个物理学问题
（或其他学科的问题）
用变分法化为求泛函极
值（或驻值）的问题，就称为该物理问题
（或其他学科的问题）的变分原理。
如果建立
了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条
件，
就称为该问题的广义变分原理；
如果解除了所有的约束条件，
< br>就称为无条件
广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964
年，钱伟长教授明确提出了
引进拉格朗日乘子
（
Lagrange multiplier
）
把有约束条件的变分原理化为较少
（或
没有）约束条件的变分原理的方法。
最小势能原理：
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，
系统会处于
稳定平衡状态。
举个例子来说，
一个小球在曲面上
运动，
当到达曲面的最低点位
置时，
系
统就会趋向于稳定平衡。
势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。
宇
宙万物，
如果其势能未达到
“<
/p>
最小
”
（局部概念）
，
它总要设法变化到其
“
相对
”
最小
的势能位置。
举个例子：
一个物体置于高山上，
它相对于地面来说有正的势
能
（非
最小）
，因而它总有向地面运动
的
“
能力
”
（
向地面
“
跃迁
”
）
（其力学本质是其处于
一种不稳平衡状态）
。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个
相对平稳的状态。<
/p>
?
最小势能原理是势能驻值原理在线弹
性范围里的特殊情况。
对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为
零）
，在线弹
性问题中取最小值。
形象
的说，
当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望
尽早回到
地上，
但其实只要你不动你也是平衡的，
因为驻值也可以是极大
值
（此
时称为随遇平衡）
。而当你在一
百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因
为周围的物体的势能均不比你小，
此时驻值取的是极小值而不是最小值。
在有限
元的理论中，
最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，
满足平衡微分
方程的位移使得势能取得最小值。公式如下：
?
?
?
1
?
?
?
U
?
W
?
?
?
σ
T
< br>ε
?
dV
?
?
?
?
u
T
f
dV
?
?
u
T
f
dS<
/p>
?
?
2
?
?
?
V
?
V
S
?
?
?
?
??
< br>??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
<
/p>
势能：
U
W
：外
力对系统作的功
在江见鲸的有限元就很清晰的介绍
了有限元的原理，再参考汪新老师的
ppt
，理
解就十分透彻。以下是我在网上搜索到的关于有限元的书，很值得一看。另外
c
ook
的书也很好，是陈贡发老师介绍的，很值得一看。
1
《
The Finite
Element Method
》
ewicz
< br>，
著，
第五版，
三卷本，
有中文译本
《有限
元法》
(
英
)
监凯维奇著（第四版中译本
1985
年出版，上下册，尹泽
勇等译，权威著作，有限元研究者必读；第五版译名改成了《有限单元法》
< br>，曾
攀译，
2008
年出版
~~
）
2.
《
Nonlinear
Finite Element for Continua and Structures
< br>》
T
.Belytschko
等
著，有中文译本
《连续体和结构的非线性有限元》
庄
茁译，
清华大学出版社，
固体力学
非线
性有限元的集大成之作
~~
3.
《
Concepts and
Applications of Finite Element
Analysis
》
Cook
R.D.
著，
有中文译本
《有限元分析的概念和应用》程耿东等译，第一版
1981
年出版，第二版
1989
年出版，年代较久远内容很经
典
~~
PS
：国内的有限元书籍中，
比较全面的是王勖成的《有限单元法》
（第三
版）
，
该书的第二版叫做
《有限单元法基本原理和数值方
法》
。
把一个物理学问题
（或其他学科
的问题）用化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理
问题
< br>
（或其他学科的问题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解
除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，
就称为该问题的广义变分
原理；
如
果解除了所有的约束条件，
就
称为无条件广义变分原理，
或称为完全的广义变分
原理。
1964
年，
钱伟长教授明确提出了引进拉格
朗日乘子
（
Lagrange multiplier
）
把有约束条件的变分原理化为较少
（或没有）
约束条件的变分原理的方法。
日本
的鹫
津一郎教授、
中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界
级大师。变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、
最小位能原理、
余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已
成为有限元法的理
论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际
应用中，
通常很少能求出精确的解析解，
因此大多采用近似计算
方法。
近似计算方法主要
有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法
、屈列弗兹法等。
单元节点和积分节点的联系和区别：
在单元内，
采用形函数来表述单元内
变量的分布规律。
而节点值是在节点处的对
应物理量。
以简单矩形单元的温度为例：四个节点
i,j,m,n
的温度分别为
Ti,Tj,Tm,Tn. <
/p>
则以单元内自然坐标
(x,y),(-1,-1),(-1,1)
,(1,-1),(1,1)
分别为四个节点，单元内温
度分布
为：
T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}
Si=1/4(1-x)(1-y)
Sj=1/4(1+x)(1-y)
Sm=1/4(1+x)(1+y)
Sn=1/4(1-x)(1+y)
单元的形函数我们可以从手册中查到，从而我们知道了温度在单元内的分
布
。
我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与<
/p>
x,y
无关，
我们只需要考虑对形函数积
分。
采用
Gauss_Legendre
多项式计算积分时，
我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，
可以查手册，
这些点也叫高斯点、
积分点）
并加以权重就可以。
这就把复杂的积分问题变成了
简单的代
数问题。
因为形函数只有单元有关，
所以积分点也只与单元形状
有关。
3.
应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了
减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。
从理
论上说，形函数已知后，用
Maple
或者
Mathematic
等软件进行符号积
分的话，
是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，
但是这样做的话，
对于工程实
际应用来说并不合适
< br>原因：
1
，
费时；
2
，
Mindlin
中厚板
有剪力锁死问题，
有时候需要采用缩聚积分）
，
所以有些书上会把
2
节点梁单元的刚度阵直接写出来。
个人理解：
e
eT
e<
/p>
eT
e
K
?
?
B
DB
dV
?
t
?
B
DB
d
?
V
e
?
e
1
．
单元刚度矩阵
K
就是一个积分
.
积分
点是高斯积分点，
numberical analasy
关于
gauss
integral
的数值计算方法的，
直线型：一个高斯积分点
,
抛物线型：
两个高斯积分点
二位的话，一般只需
4
个高斯积分点
,
三维的，要
8
个高斯
积
分点
越高阶，积分节点数越多。学
过数值积分的应该知道，有限元中的积分点
指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度
高。
2.
节点作用构造形函数，
节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布
情况，并获取节点上的
位移值
2.
积分点作用是构造规则形状单元与曲边（曲面）
单元的转化的变换函数，
积分点的选取多少和选取的位置直接关系到
这种
“
映射
”
的精确程度，
刚度矩阵、
边界条件的转化都用到了坐标变换的积
分关系，
一般取
高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。
对于
newton-cote
积分点的选取
，
这
种
“
映射
”
看起来，节点和积分点是同一个位置或说是同一点，而对于高
斯积分点
位置与节点是不同的。故有如下结果：
3.
由于高斯积分点的这种变换比较
高，在方程求解结束，
返回积分点上的
应力解比较准确
2.
至于
Mindlin
中厚板有剪力锁死问题，采用缩聚积分，也是应
为这种坐标的变换关系（可见《有限单
元法基本原理和数值方法》
G
W
力的边
界条件只有剪切，
采用缩聚积分可以较大降低剪切力的影响，<
/p>
但是也可能引起刚
度矩阵的奇异，所以对于中厚板的积分点选取不
同一般的方案
Reduced Integration
如二位四边形单元
，
应有
4
个积分点，
< br>为减少计算量，
缩减为一个积分点，
保持有一定的精度，
但现在计算机发达，用得比较少
对数应变
用于塑性变形和大应变。因
为变形太大，我们不能用原来的
L0
，而增量的
方法就很常用。
物体内两质点相距
l0
，
经变形后距离为
ln
，
则相对线应变被称为
工程应变（或叫假象应变、相对应变）
：
因为
l0
是一个固定值，实际变形过程中，长度
l0
需要经过无穷多个中间状
态才逐渐变为
ln
，
总的变形可以近似看作各个阶段相对应变之和：
因为<
/p>
ε
反
应了物体变形的实际情况，故称为自
然应变或对数应变（或称实际应变）
，在塑
性变形中，
只有采用对数应变才能得出合理的结果。
（
1<
/p>
）
工程应变不能表示变形
的实际情况，而
且变形程度越大，误差越大。
对数应变与工程应变之间的关系：
按泰勒级数展开得：
只有当
变形程度很小时（小于
10%
）
，工程
应变才近似等于对数应变，变形
程度越大，
（
< br>2
）工程应变不能迭加，而对数应变可以迭加。
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