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参赛队号
#1020
第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
承
诺
书
我们仔
细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网
上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他公开的
资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参
考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平
性。如有违反竞赛规
则的行为，我们将受到严肃处理。
我们允许数学中国网站
(
)
公布论文，以供网友之间学习交流，数学中
国网站以非商
业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛队号为：
1020
参赛队员
(
签名
)
：
队员
1
：陈
东林
队员
2
：常思迪
队员
3
：王
露珠
参赛队教练员
(
签名
)
：
无
参赛队伍组别：
A
题
< br>
参赛队号
#1020
第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
编
号
专
用
页
参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：
1020
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
参赛队号
#1020
2012
年第五届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
题
目
：
蜘蛛网结构的建模与分析
关
键
词
：
蛛网
捕食效率
蒙特卡洛仿真
捕食投入
灵敏度分析
摘
要
为了找
到最合适的蛛网结构，本文由浅入深建立了两个模型，并对模型做出分析且得出
相关重要
结论。
模型一：
本文以三种结构：<
/p>
圆形结构，
扇形结构，
杂乱型结构为研究
对象，
以蛛网效率，
蛛网投入为评价指标，
建立
蛛网结构评价模型
。
以猎物被
蛛网粘住的概率定为蛛网效率，
以辐射蛛丝与捕食蛛丝的总长度定为捕食投入，并列出各
个指标的方程式。利用
MATLAB
编写蒙特卡洛模拟程序求解
，得出圆形结构的综合适应度值最高，为杂乱型
结构适应值的
1
.6249
倍，扇形结构的适应值为杂乱型结构的
1.6198
倍，杂乱型结构的
适应性值最低。
对指
标权重做灵敏度分析得出圆形与扇形结构的蛛网适应于环境较好的
地区，杂乱型结构适应
于猎物稀少等条件差的地区。通过对捕食蛛丝形状的进一步分析
发现对数螺线的蛛丝的适
应值为阿基米德螺线适应值的
1.7020
倍。
通过分析气候发现气
候因素对不同蛛网结构的适应性影响不大。
模型二：
为了分析捕食蛛
丝间隙与中枢区大小对对蛛网适应性的影响，本文在第一个模
型的基础上建立了
蛛网结构优化模型
。对影响所讨论的两个因素的餐宿利用
MATLAB
编程寻求适当区间范围内的最优解，
得到
中枢区的最适长度为
1.5mm
，
离中
枢区最近的
捕食蛛丝间隙为
0.163mm
，
离中枢区最远的捕食丝间隙为：
11mm
，
平均间隙为
2.68mm
。
通过对权重做灵敏度分析发现蛛丝间隙与中枢区大小不受权重影响。模型是稳定可靠
的。
最后，我
们对模型进行了优缺点分析与评价，并根据所得出的结论给出了相关建议。
参赛队号
#1020
所选题目
A
参赛密码
（由组委会填写）
参赛队号
#1020
英文摘要（选填）
In Order to find the best
structure of the spider web, this paper uses
progressive approach
to the
establishment of the two models, as well as making
analysis of the models and draw
important conclusions.
MODEL
1
：
This
article
researches
in
three
structures
which
are
round,
fan-
shaped
and
disordered
respectively. Using Web efficiency and Web input
as the evaluation indexes, the
web
structure model of evaluation is built. Here, web
efficiency is defined as the probability
that prey is stuck by the web and
preying input is defined as total length of
radiation gossamer
and preying
gossamer. Based on them, equations of the indexes
are listed. Solving the model
with
Monte
carlo
simulation
program
by
MATLAB,
the
conclusion
is
obtained
that
the
comprehensive fitness value of the
round structure is the highest while that of the
disordered
structure is the lowest.
Meanwhile, fitness value of the round structure is
1.6198 times that of
the disordered
structure and fan-shaped is 1.6198 times that of
disordered. Sensitivity analysis
on
weights
of
the
indexes
shows
that
round
and
fan-shaped
cob
web
adapts
to
places
with
better
environment
while
disordered
one
adapts
to
places
where
preys
are
little.
Further
analysis
on
shape
of
preying
web
demonstrates
that
fitness
of
gossamer
with
logarithmic
spiral
is
1.7020
times
that
of
gossamer
with
spiral
of
Archimedes.
Finally,
analysis
on
the
climate manifests that influence of
climate factors on fitness of web s with different
structures
is not that great.
MODEL
2
：
:
In order to
analyze influence of gossamer interval and hub
size on fitness of the
cob web, the Web
structure optimization model is built based on the
first model. Searching
for the optimal
solution of the two factors in appropriate
intervals with MATLAB
programming, the
conclusion is obtained that optimal length of hub
area is 1.5mm and
gossamer interval
nearest to hub area is 0.163mm while furthest from
hub area is 11mm and
the average
interval is 2.68mm. Sensitivity analysis on
weights of the factors shows that web
interval and hub size are not
influenced by the weights, which manifests that
the model is
stable and reliable.
Above all, we make analysis
of advantages and disadvantages as well as
evaluation of
the model, and in
accordance with the conclusions of the relevant
recommendations.
参赛队号
#1020
一、
问题的重述
世界上生存着许多种类的
蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食，通
过分析，找出最合适蜘蛛生存的
蜘蛛网类型和结构。
二、
问题的分析
2.1
问题的背景分析
本题是针对蜘蛛结网
这一自然状态来分析怎么样才能使蜘蛛网对蜘蛛最合适。
由于
本
题没有具体的要求，本文将对蜘蛛结网这个问题模型化，蛛网的适应度将由蛛网捕食
效率
与蛛网投入这两方面来考量。本文通过已有资料分析决定将只对三种蛛网进行评
价：圆形
蛛网、扇形蛛网、杂乱型蛛网
[1]
。
[1]
圆形蛛网
[2]
扇形蛛网
[3]
杂乱型蛛网
2.2
试验过程分析
本文对于蛛网捕食效率
的分析中，将猎物分成了
3
类：
1.
撞到蛛网上却挣脱的猎物
2.
撞到蛛网上却挣脱不掉的
3.
从蜘蛛网间隙中逃脱的猎物
通过计算
机编程对以上几类猎物进行蒙特卡洛仿真求出捕食效率。
同样
，对于捕食投入的分析，要考虑到如何计算捕食投入的问题以及怎样评估捕食
投入的方面
，并且还要将这个过程标准化（
0-1
）
，这是本文要解决的问题之一。
2.3
问题的分解与整合
（
1
）数据收集阶段，通过对于蛛网数据的搜集
为之后的分析打下基础
（
2
）蛛网结构评价模型，通过对蛛网捕食效率以及蛛网投入两方面的分析对几种
蛛网分别做出分析，并对这几种蛛网做出评价
（
3
）根据（
2
）中所得
出的结论，在此结构的基础上，我们继续讨论蛛网面积与蛛
网和蛛网间距对蛛网的性能的
影响
三、
模型假设
1
、猎物在蛛网上只存在上文所说的三种情况，不存在其他发生可能性很小的情况
2
、猎物可抽象为圆形，并且各猎物的密度相同
3
、
修复时我们只考虑猎物对蛛网
的损伤，
且认为只有撞上并逃脱的猎物才会对蛛网
造成损伤
4
、假设昆虫的形状服从
Poisson
分布
5
、假设猎物朝蛛网任意一点飞过来的概率相等
6
、假设一般蛛网的捕食蛛丝为对数螺线
1
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7
、假设猎物挣扎的力与猎物质量成正相关
8
、
不考虑不同材料的蛛丝
9
、
不考虑环境比如风、雨对蜘蛛网的影响
10
、排除人为因素
四、
符号说明
符号
F
F
X
F
T
M
1
M
2
M
3
符号意义
蛛网适应性
蛛网捕食效率
蛛网捕食投入
从蛛网间隙内逃脱的猎物
撞到蛛网上却挣脱的猎物
撞到蛛网上却挣脱不掉的
第
n
圈蛛丝与第
n-1
圈
蛛丝间的
间距
猎物所覆盖的蛛丝的根数
蛛丝的最大载荷
蛛丝的弹性系数
猎物从蛛网间隙中逃脱的概率
猎物的半径
蛛网辐射线的根数
猎物挣扎产生的破坏力
第
n
圈蛛丝在相邻两根辐射线
的长度
标准长度
权系数
单位
/
/
/
/
/
/
mm
根
N
N/m
/
mm
根
N
mm
mm
/
D
?
n
?
N
S
?
G
?
r
?
r
b
T
(
r
)
L
(
n
)
L
base
?
,
?
五、
模型一的建立于求解
5.1
蛛网结构评价模型
本模型只对三种蛛
网结构做评价：圆形蛛网、扇形蛛网（我们只考虑角度为
300
度
的扇形网）
、杂乱型蛛网
蛛网适应性影响蛛网捕食效率与蛛网投入，即：
F
X
?
F
< br>?
?
F
T
其中：
?
,
?
分别表示两个指标的重要程度
5.2
捕食效率的分析
2
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#1020
将猎物分为三种情况：
1
、从蛛网间隙内逃脱的猎物
2
、撞到蛛网上却挣脱的猎物
3
、撞到蛛网上却挣脱不掉的
只有第三种才能被蜘蛛捕食所以：
M
3
M
1
?
M
2
?
M
3
捕食蛛丝是一条对数螺线
< br>[2]
，对数螺线的极坐标方程为：
< br>r
?
ae
k
?
a
,
k
为参数
由于螺线是不封闭的而蛛网是封闭的，我们将对数螺线的沿水平位置划分，相邻两
个圆环在水平线之间的长度即为蛛网的相邻两个圆的间距，即：
D
?
a
?
e
2
kn
?
?
a
?
e
2
k
(
n
?
1)
?
< br>假设可将猎物抽象为圆形，且假设各猎物的密度相同，即质量与面积呈正比，根据
物理知识，能够逃脱的猎物所能满足的条件为：
T
(
r
)
?
2
?
N
?
S
?
sin
?
其中：
N
表示该猎物所覆盖的蛛丝的根数
<
/p>
S
tan
?
?<
/p>
sin
?
?
2<
/p>
?
NL
(
n
)
不同体型的猎物能够从蛛网间隙逃脱
的条
件为：
2
r
?
D
(
n<
/p>
)
?
0
?
G
(
r
)
?
?
D
(
n
)
?
2
r
2
r
?
D
(
n
)
?<
/p>
D
(
n
)
?
F
X
?
其中：
D
(
n
)
代表蛛网间距，<
/p>
r
为猎物的半径
假设猎物朝蛛网任意一点
飞过来的概率相等，则
对于圆形蛛网：
离圆心距离相等的地
方的猎物被捕获的几率相等，
考虑到不同大小的猎物降落在蛛
网
的任意一点的情况，由概率统计知识解得：
F
X
?
(1
?
< br>?
?
i
?
1
n
D
(
i
)
0
P
(
r
)
?
G
(
r
)
dr
)(1
?
?
?
i
?
1
n
??
2
NS
sin
?
P
(
r
)
dr
)
< br>P(r)
表示半径为
r
的猎物的
概率密度
D(i)
为捕食蛛丝的间距
G(i)
为猎物能从蛛网间距逃脱的概率
对于扇形蛛网：
< br>假设扇形的角度为
300
度，且在
0-60
之间有缺失，未缺失部分的考虑情况与圆形
蛛网相同
。假设如果猎物降落在缺失部分就一定可以逃脱，则有：
3
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F
X
?
(1
?
?
?
i
?
1
n
D
(
i
)
0
P<
/p>
(
r
)
?
G
(
r
)
dr
)(1
?
?
?
i
?
1
n
??
M
(
a
)
P
(
r
)
dr
)(1
< br>?
?
/
2
?
)
变量与上述方程的变量相同
对于杂乱型蛛网：
杂乱型蛛网的网间
距是随机的，即他的捕食蛛丝并不是对数曲线，我们构造杂乱型
蛛网的方法如下
:
1
、先打好除捕食蛛丝之外的框架
<
/p>
2
、在每一条半径上随机取
n
个点
3
、连接两相邻半
径间对应的每个点，使之构成一个网状结构
因为结构的构造加
入了随机模拟的成分，可以用计算机做蒙特卡洛仿真求出捕食效率
5.3
捕食投入的分析
蛛网主要由辐射丝和
捕丝组成
[3]
，下面计算不同结构的蛛网投入：
对于圆形蛛网：
将捕食蛛丝看做对数螺线，利用微积分知识可以求出捕食蛛丝的长度；而支架蛛丝
的长度为最外圈螺线到圆形的距离，因此可得：
L
1
?
K
?<
/p>
a
?
e
i
?
1
b
k
(2
?
n
?
2
?
i
)
< br>b
?
?
ds
?
K
?
a
?
e
L
i
?<
/p>
1
b
k
(2
?
n
?
2
?
i
)
b
?
?
r
(
< br>?
)
2
?
r
?
(
?
)
2
d
?
a , k
为参数
< br>r(
θ
)
为对数螺旋线的极坐标
方程
对于扇形蛛网：
在计算扇形蛛网的蛛
丝长度时，考虑扇形蛛网在
0-60
度之间趋势，缺失部分的捕
食蛛丝和支架蛛丝不用计算在总长度内，则有：
L
1
?
?
< br>?
i
?
1
n
2
i
?
?
?
?
5
?
/3
2
i
?
?
?
r
(
?
)
?
r
?
(
?
)
d
?
?
K
?
a
?
e
2<
/p>
2
i
?
1
b
?
1
k
(2
?
n
?
2
?
i
)
< br>b
a , k
为参数
r(
θ
)
为对数螺旋线
的极坐标方程
对于杂乱型蛛网：
<
/p>
根据上面所描述的构造方法，
利用余弦公式可以计算出任意两根支
架之间的捕丝的
长度，再利用上述计算支架蛛丝长度的方法可得到：
L
1
?
?
(
?
x
(<
/p>
j
)
2
?
x
(
j
?
1)
2
?
2
x
(
j
)
< br>x
(
j
?
1)cos(2
?
/
k
))
i
?
1
j
?
1
n
K
?
1
其中：
x
j
(
i
)
表示第
j
根轴线的第
i
个点到圆心的距离
考虑修复时我们只考虑猎物对蛛网的损伤
，
且认为只有撞上并逃脱的猎物才会对蛛
网造成损伤。则需要修
复的长度为：
一张网需要修复的次数
*
每次需要修复的长度
则修复长度为：
4
参赛队号
#1020
2
?
end
1
?
k
2
b
L
< br>2
?
a
?
?
(
e
?
1
)
?
e
?
?<
/p>
2
i
?
k
i
?
begin<
/p>
蜘蛛结一张网的总长度为：
L
?
L
1
?
L
2
5.4
标准化过程
捕食效率的值已经在
0-1
间，为了将捕食投入规约到
0-1<
/p>
间，我们认为各个类型的
蛛网不会受损伤时所需的最小长度定义为
蛛丝的参考长度，
则捕食投入可以标准化为如
下：
L
F
T
< br>?
L
base
L
base
是为标准长度，此处可合理的定义为杂乱型
蜘蛛网的长度。
5.5
模型的求解
5.5.1
数据的收集
蛛丝载荷：
由文献知蛛丝所能承受的强度为
3.34
82g
[4]
EA
< br>可求出弹性系数
[4]
L
对数螺线的参数
a,k
：由于
a
和
k
的值主要决定捕食蛛
丝的起始点和间隙的变化，由实
际的的蛛丝宽度在
20cm
左右，由于
k=0.0256
时，对数曲线
的极经为
124mm
，由于本模
型中只
需要合适的
a,k
值，故可认为
a
的值为
1
，
k
的值为
0.0256
猎物大小的概率密度
：
昆虫的概率分布可以用泊松分布表示
[5]
< br>,
猎物的平均值为
1.9mm
[
6]
5.5.2
算法
5.5.2.1
捕食效率的计算
考虑到杂乱型蛛网涉及到随机性量，为了统一各个蛛网结构，我们用蒙特卡洛仿真
的方法计算各个结构的捕食效率。算法如下：
Step1:
随机产生两个数分别作为极径和极角用来表示猎
物被黏住的位置，再随机
产生一个数作为猎物的半径
Step2:
判断猎物是否可以从蛛丝间距内穿过，如果可以，转
step4
Step3:
判断猎物是否可以挣脱，如果可以，转
step4
，否则计数器加一
Step4:
重复该过程
1000<
/p>
次，检查计数器的数值
该流程可由以下流程图表示：
蛛丝弹
性系数：
由文献知
E
的值为
9.35
?
10
9
pa,
由公式
?
?<
/p>
5
参赛队号
#1020
开始
随机产生三
个数分别作为极径、
极角和半径
输入
I=k=0,n=1000
i=i+1<
/p>
i=i+1
Y
i=i+1 输出 N ?
i
N
猎物可以从蛛丝空隙逃脱
k
Y
结束
K++
猎物可以从蛛网中挣脱
Y
5.5.2.2
捕食投入的计算
直接根据公式利用
MATLAB
做数值计算
，其中杂乱型结构的蛛网仍然用产生随机数
的方式构造。
?
求解结果
为了方便起见我们将捕食效
率与捕食投入的重要程度视为等同，即
?
?
?
1
利用上述算法编写
MATLAB
程序求
解得到的求解结果为：
圆形
扇形
杂乱型
捕食效率
0.8050
0.7025
0.9859
捕食投入（标准化
0.5025
0.4399
1
后）
猎物从蛛网间隙逃
0.1950
0.2963
0.0141
脱概率
猎物被蛛网粘住并
0.0038
0.0035
0.0018
逃脱概率
6
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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