-
第七节
抛
物
线
[
备考方向要明了
]
考
什
么
怎
么
考
1.
抛物
线的定义、
标准方程和几何性质
是高考的重点考查内容，三种题
型均
有可能，难度为中低档，如
2012
年陕
西
T13
等．
< br>
2.
直线与抛物线问题是高考重点考查
内容，多以解答题形式考查，难度中
等偏上
.
1.
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性
质
(
范围、对称性、顶点、离心率等
< br>)
．
2.
了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背
景，
了解抛
物线在刻画现实世界和解决实际问题中的
作用．
3.
理解数形结合的思想
.
[
归纳
·
知识整合
]
1
．
抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)
在平面内；
< br>(2)
动点到定点
F
距离与到定
直线
l
的距离相等；
(3)
定点不在定直线上．
[
探究
]
<
/p>
1.
当定点
F
在
定直线
l
上时，动点的轨迹是什么图形？
提示：
当定点
F
< br>在定直线
l
上时，动点的轨迹是过定点
< br>F
且与直线
l
垂直的直线．
2
．抛物线
y<
/p>
2
＝
2
px
(
p
>0)
上任意
一点
M
(
x
0
，
y
0
)
到焦点
F
的距离与点
M
的横坐标
x
0
有何
关系？若抛物线方程为
x
2<
/p>
＝
2
py
(
p
>0)
，结果如何？
p
p
提示：
由抛物线定义得
|
MF
|
＝
x
0
＋
；若抛物线方程为
x
2
＝<
/p>
2
py
(
y
>0)
，则
|
MF
|
＝
y
0
＋
.
2
2
2
．
抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y
2
＝
2
px
(
p
＞
0)
y
2
＝－
2
px
(
p
< br>＞
0)
x
2
＝
2
py
(
p
>0)
x
2
＝－
2
py
(
p
>0)
p
的几何意义：焦点
F
到准线
l
的距离
本卷第
14
页（共
14
页）
图形
顶点
对称轴
焦点
离心率
准线方程
范围
开口方向
焦半径
(
其中
P
(
x
0
，
y
0
)
p
x
＝－
<
/p>
2
x
≥
0
，
y
∈
R
向右
p
|
PF
|
＝
x
0
＋
2
p
x
＝
2
x
≤
0
，
y
∈
R
向左
p
|
PF
|
＝－
x
0
＋
2
[
自测<
/p>
·
牛刀小试
]
1
．设抛物线的顶点在原点，准线方程为
x
＝－
2
，则抛物线的方程是
(
)
A
．
y
2
＝－
8
x
C
．
y
2
＝
8
x
B
．
y
2
＝－
4
x
D
．
y
2
＝
4
x
p
?
F
?
?
2
，
0
?
y
＝
0
p<
/p>
－
，
0
?
F
?
?
2
?
e
＝
1
p
y
＝－
<
/p>
2
y
≥
0
，
x
∈
R
向上
p
|
PF
|
＝
y
0
＋
2
p
y
＝
2
y
≤
0
，
x
∈
R
向下
p
|
PF
|
＝－
y
0
＋
2
p
0
，
?
F
?
?
2
?
O
(0,0)
x
＝
0
p<
/p>
0
，－
?
F
?
2
?
?
解析：
选
C
由抛物线准线方程为
x
＝－
2
知
p
＝
4
，且开口向右，故抛物线方程为
y
< br>2
＝
8
x
.
2
．已知
d
为抛物线
y
＝
2
< br>px
2
(
p
>0)
的焦点到准线的距离，则
pd
等于
(
)
1
A.
p
2
2
1
C.
2
B
．
p
2
1
D.
4<
/p>
1
1
1
解析：<
/p>
选
D
抛物线方
程可化为
x
2
＝
y
，所以
d
＝
，则
pd
＝
.
2
p
4
p
4
x
2
y
2<
/p>
3
．抛物线的焦点为椭圆
＋
＝
1
的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为<
/p>
9
4
________
< br>．
解析：
由
< br>c
2
＝
9
－
4
＝
5
得
F
(
－
5
，
0)
，
则抛物线方程为
y
2
＝－
4
5
x
.
答案：
y
2
＝
－
4
5
x
<
/p>
4
．若点
(3,1)
是抛物线
y
2
＝
< br>2
px
的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为
2
，则
p
＝
本卷第
14
页（共
1
4
页）
________.
2
?
?
y
1
＝
2
px
1
，
< br>解析：
设弦两端点
P
1
(
x
1
，
y
1
)
，
< br>P
2
(
x
2
，
y
2
)
，则
?
2<
/p>
?
y
2
＝
2
px
2
，
?
y
1
－
y
2
2
< br>p
两式相减得，
＝
＝
2
，
x
1
－
x
2
y
1
＋
y
2
∵
y
1
＋<
/p>
y
1
＝
2
，∴
p
＝
2.
答案：
2
1
1
，
?
，则点
A
到此抛物线的焦点的距离为
________
．
5
．若抛物线
x
2
＝
ay
过点
A
?
?
4
?
1
解析：
由题意可知，点
A
在抛物线
x
2
＝
ay
上，
所以
1
＝
a
，
解得
a
＝
4
，
得
x
2
＝
4<
/p>
y
.
由抛
4
物线的定义可知点
A
到焦点的距离等于点<
/p>
A
到准线的距离，所以点
A
到抛物线的焦点的距
a
1
5
离为
y
A
＋<
/p>
＝
＋
1
＝
.
4
4
4
5
答案：
4
抛物线的定义及应用
[
例
1]
<
/p>
设
P
是抛物线
y
2
＝
4
x
上的一个动点．
(1)
< br>求点
P
到点
A
< br>(
－
1,1)
的距离与点
P
到直线
x
＝－
1
的距离之和的最小值；
(2)
若
B
(3,2)
，求
|
PB
|
＋
|
PF
|
的最小值．
[
自主解答
]
(1)
如图，易知抛物线的焦点为
F<
/p>
(1,0)
，准线是
x
< br>＝－
1.
由抛物线的定义知
：点
P
到直线
x
＝－
1
的距离等于点
P
到焦点
F
的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点
P
，使点
P
到点
A
(<
/p>
－
1,1)
的距离与点
< br>P
到
F
(1,0)
的
距离之和最小．
显然，
连接
AF
交曲线于
P
< br>点，则所求的最小值为
|
AF
|
，即为
5.
本卷第
< br>14
页（共
14
页）
(2)
如图，自点<
/p>
B
作
BQ
垂直准
线于
Q
，交抛物线于点
P
1
，则
|
P
1
Q
|
＝
|
P
1
F
|.
则有
|
PB
|
＋
|
PF
|
≥
|
P
1
B
|
＋
|
P
1
Q
|
＝
|
BQ
|
＝
4.
即
|
PB
|
＋
|
PF
|
的最小值为
4.
若将本例
(
2)
中的
B
点坐标改为
(3,4)
，求
|
PB
|
＋
|
PF
|
的最小值．
解：<
/p>
由题意可知点
(3,4)
在抛物线的外部
．
∵
|
PB
|
＋
|
PF<
/p>
|
的最小值即为
B
，
F
两点间的距离．
∴
|
PB
|
＋
|
PF
|
< br>≥
|
BF
|
＝
—————
————————
——————
抛物线定义中的
“
转化
”
法
利用抛物线的定义解决此类问题，
应灵活地进行抛物线上的点到焦点的
距离与到准线距
离的等价转化．
“看到准线想到焦点，
看到焦点想到准线”，
这是解决抛物线焦点弦有关问
题的有效途径．
1
．
(1)
若点
P
到直线
y
＝－
1
的距离比它到点
(0,3)
的距离小
2
，则点
P
的轨迹方程
是
________
．
(2)
过抛物线
y
2
＝
4
x
的焦点作直线
l
交抛物线于
A
，
B
两点，若线段
AB
中点的横坐标为
3
，则
|<
/p>
AB
|
等于
__
______
．
解析：
(1)
由题意可知点
P
到直
线
y
＝－
3
的
距离等于它到点
(0,3)
的距离，故点
P
的轨迹
是以点
(0,3)
为焦点，以
y
＝－
3<
/p>
为准线的抛物线，且
p
＝
6
，所以其标准方程为
x
2<
/p>
＝
12
y
. <
/p>
(2)
抛物线的准线方程为
x
＝－
1
，
则
AB
中点到准线的距离为
3
－
(
－
1)
＝
4.
由抛物线的定
义得
|
AB
|
＝
< br>8.
答案：
(1)
x
2
＝
12
y
(2)8
本卷第
14
页（共
14
页）
4
2
＋
2
2
＝
16
＋
4
＝
2
5.
抛物线的标准方程与性质
[
例
2]
<
/p>
(1)
抛物线
y
2
＝
24
ax
(
a
>0)
上有一点
< br>M
，它的横坐标是
3
，它到焦点
的距离是
5
，
则抛物线的方程为
(
)
A
．
y
2
＝
8
x
C
．
y
2
＝
16
x
B
．
y
2
＝
12
x
D
．
y
2
＝
20
x
(2)
设抛物线
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
的焦点为<
/p>
F
，
点
A
(0,2)
．
若线段
F
A
的中点
B
在抛物线上，
则
B
到该抛物线准线的距
离为
________
．
1
[
自主解答
]
(1)
由题意知，
3
＋
6
a
＝
5
，
a
＝
，则抛物线方程为
y
2
＝
8
x
.
3
p
?
p
，
0
，线段
F
A
的中点
B
的坐标为
?
，
1
?
，代
入抛物线方
(2)
抛物线的焦点
F
的坐标为
?
?
2<
/p>
?
?
4
?
p
程得
1
＝
2
p
×
，
4
解得
p
＝
2
，
故点
< br>B
的坐标为
?
3
2
[
答案
]
< br>
(1)A
(2)
4
—
————
——————————————
求抛物线的标准方程的方法及注意事项
(1)
方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有
< br>p
，所以，只需一个条
件确定
p
值即可；
(2)
注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再
定
量．
2
．
已知直线
l
过抛物线
C
的焦点，且与
C
的对称轴垂直，
l
与
C
交于
A
，
B
两点，
|
AB
|
＝
1
2
，
P
为
C<
/p>
的准线上一点，则△
ABP
的面积为
(
)
A
．
18
C
．
36
B
．
24
D
．
48
2
2
3
2
2
?
故点
B
到该抛物
线准线的距离为
＋
＝
.
，
1
，
4
< br>2
4
?
4
?
p
?
p
，
0
，将
x
＝<
/p>
代入
y
2
＝
2
px
可
解析：<
/p>
选
C
设抛物线
方程为
y
2
＝
2
px
，则焦点坐标为
?
?
2
?
2
< br>得
y
2
＝
p
2
，
|
A
B
|
＝
12
，
即
2
p
＝
12
，得
p
＝
6.
点
P
在准线上，到
AB
的距离为
p
＝
6
，所以△
P
AB
1
的面积为
×
6
×
12
＝
36.
2
[
例
3]
<
/p>
已知过抛物线
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
的焦点，斜率为
2
2
的直线交抛物线于
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)(
x
1
<
x
1
)
两点，且
|
AB
|
＝
9.
本卷第
14
页（共
14
页）
直线与抛物线的位置关系
(1)
求该抛物线的方程；
(2)
O
为坐标原点，
C
为抛物线上一点，若
OC
＝
OA
＋
λ
OB
，求
λ
的值．
p
x
－
?
，与
y
2
＝
2
px
联立，
[
自主解答
]
(1)
直线
AB
的方程是
y
＝
2
2
?
?
2
?
5
p
从而有
4
x
2
－
5<
/p>
px
＋
p
2
＝
0
，所以
x
1
＋
x
2
＝
.
4
由抛物线定义
得
|
AB
|
＝
x
1
＋
x
2
＋
p
＝
9
，
所以
p
＝
4
，从而抛物线方程
是
y
2
＝
8<
/p>
x
.
(2)
由
p
＝
4,4
x
2
－
5
px<
/p>
＋
p
2
＝
0
可简化为
x
2
－
5
x
＋
4
＝
0
，从而
x
1
＝
1
，
x
2
＝
< br>4
，
y
1
＝－
2
2
，
y
2
＝
4
2<
/p>
，
从而
A
(1
，－
2
2)<
/p>
，
B
(4,4
2
)
．
设
OC
＝
(
x
3
，
y
3
)
＝
(1
，－
2
2)
＋
λ
(4,4
2)
＝
(4
λ
＋
1
，
4
2
λ
－
2
2)
，
2
又
y
2
3
＝
8
x
3
，即
[2
2(2
λ
－
1)]
＝
8(4
λ
＋
1)
，
< br>
即
(2
λ
－
1)
2
＝
4
λ
＋
1
，
解得
λ
＝<
/p>
0
或
λ
＝
2.
—————
——————————————
求解直线与抛物线位置关系问题的方法
在解决直线与抛物线位置关系的问题时，
其方法类似于直线与椭圆的位置关系．
在解决
此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用
数形结合的思想求解．
3
．已知直线
y
＝
k
(
x
＋
2)(
k
>0)
与抛物线
C
：
y
2
＝<
/p>
8
x
相交于
A<
/p>
，
B
两点，
F<
/p>
为
C
的焦点，
若
|
F
A
|
＝
2|
FB
|
，求
k
的值．
<
/p>
?
?
y
＝
k
?
x
＋
2
?
，
解：
设
A
(
x
< br>1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，由
?
2
＝
8
x
，
y
?
?
8
得
k
2
x
2
＋
(4
k
2
－
8)
x
＋
4
k
2<
/p>
＝
0
，所以
x<
/p>
1
＋
x
2
＝
2
－
4
，
k
x
1
x
2
＝
4.
又由抛物线的定义可知
|
F
A
|
＝
x
1
＋
2
，
|
FB
|
＝
x
2
＋
2
，
所以
x
< br>1
＋
2
＝
2(
x
2
＋
2)
，即
x
1
＝
2(
x
2
＋
1)
，代入
x
1
x
2
＝
4
本卷第
14
页（共
14
页）
得
2(
x<
/p>
2
＋
1)
x
2
＝
4
，解得
x
2
＝
1(
x
2
＝－
2
舍去
)
，
8
8
2
2
将
x
2
＝
1
，
x
1
＝
4
代入
x
1
＋
x
1
＝
2
－
4
得
k
2
＝
，由已知
k
>0
，所以
k
＝
.
k
9
3
4
个结论
——
直线
与抛物线相交的四个结论
已知抛物线
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
，
过其焦点的直线交抛物线于
A
，
B
两点，设
A
(
x<
/p>
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，则有以下结论：
2
p
(1)|
AB
|
＝
x
1
＋
x
2
＋
p
或
|
AB
|
＝
2
(
α
为
AB
所在直线的倾斜角<
/p>
)
；
sin<
/p>
α
p
2
(2)<
/p>
x
1
x
2
＝
；
4
(3)
y
1
y
2
＝－
p
2
；
(4)
过抛物线焦点且
与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为
2
p<
/p>
.
3
个注意点
——
抛物线问题的三个注意点
(1)
求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求
p
的值，但首先要判断抛物线是否为
标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置<
/p>
(
或开口方向
)
判断是哪一种标准方程．
(2)
注意
应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．
(3)
直线与抛物线有一个交点，
并不表明直线与抛物线相切，
因为当直线与对称轴平行
(
或
重合
)
时，直线与抛物线也只有一个交点
< br>.
创新交汇
——
圆锥曲线中的实际应用题
1
．随着新课程改革的深入，
一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问
题已经进入教材，并且越来越受
重视，在一些考试中越来越多的体现．
2
．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利
用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．
[
典例
]
<
/p>
(2012·
陕西高考
)
下图是抛物线形拱桥，当水面在
l
时，拱顶离水面
2
米，水面
宽
4<
/p>
米，水位下降
1
米后，水面宽
____________
米．
[
解析
]
<
/p>
以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为
x
2
＝－
2
py
(
p
>0)
，
由题意知抛物线过点
(2
，－
2)
，代入方程得
p
＝
1
，则抛物线的方程为
x
< br>2
＝－
2
y
，当水面下降
本卷第
14
页（共<
/p>
14
页）
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：exosip2协议栈原理分析以及总结
下一篇：建造工艺