-
椭圆
椭圆及其标准方程
◆
知识与技能目标
理解椭圆的概念，<
/p>
掌握椭圆的定义、
会用椭圆的定义解决实际问题；
理解椭圆标准方程
的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
< br>了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方
法
．
◆
过程与方法目标
（
< br>1
）预习与引入过程
当变化的
平面与圆锥轴所成的角在变化时，
观察平面截圆锥的截口曲线
（
截面与圆锥侧
面的交线）
是什么图形？又是怎么样变化的？特别
是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平
行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后
，提出两个问题：第一、你能理解为什么把
圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第
二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当
学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学
生一起探究
P
41
页上的问题（同桌的
两位同学准
备无弹性的细绳子一条（约
10cm
长，两端各结一个套）
，教师准备无弹性细绳子一条（约
60cm
，一端结个套，另一端是活动的）
，图钉两个）
．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画
出的图形是椭圆．启发性提
问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条
件是什么？〖板书〗
2
．
1
．
1
椭圆及其标准方程．
（
2
）新课讲授过程
（
i
）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹
叫做椭圆
（
ellipse
）
．
其中这两个定点叫做椭圆的焦点，
两定点间的距离叫做椭圆的焦
距．
即
当动点设为
M
< br>时，椭圆即为点集
P
?
M
|
MF
1
?
MF
2
?
2
a
．
（
ii
）椭圆标准方程的推导过程
提问：
已知图形，
建立直角坐标系的一般性要求是什么？第
一、
充分利用图形的对称性；
第二、注意图形的特殊性和一般性
关系．
无理方程的化简过程是教学
的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量
b
的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程
；第二、
a
,
b
,
c
的关系有明显的几何意
义．
?
?
y
2
x
2
类比：写出焦点在
y
轴上，中心在原点的椭圆的标准
方程
2
?
2
?
1
?
a
?
b
?
0
?
．
a
b
（
iii
）例题讲解与引申
例
1
已知椭圆两个焦点的坐标分别是
?
?
2,0
?
，
?
2,0
?
，并且经过点
?
标准方程．
分析
：
由椭圆的标准方
程的定义及给出的条件，
容易求出
a
,
b
,
c
．
引导学生用其他方法来解．
?
5
3
?
,
?
?
，求它的
?
2
2
?
x
< br>2
y
2
另
解
：
设
椭
圆
的
标
准
方
程
为
2
?
2
?
1
?
a
?
b
?
< br>0
?
，
因
点
a
b
9
?
25
?
?
1<
/p>
?
5
3
?
2
?
a
?
10
?
?
2
在椭圆上，则
．
,
?
?
4
a
4
b
?
?
?
?
?
2
2
?
?
?
a
2
?
b
2<
/p>
?
4
?
b
?
6
?
例
2
如图，在圆
x
2
?
y
2
?
4
上任取一点
P
，过点
P
作
x
轴的垂
线段
PD
，
D
为垂
足．当点
P
在圆上运动时，线段<
/p>
PD
的中点
M
的
轨迹是什么？
分析：
点
P
在圆
x
2
?
y
2
?
4
上运动，
由点
P
移动引起点
M
的运动，
则称点
M
是点
P
的伴
随点，因点
M
为线段
PD
的中点，则点
M
的坐标可由点
P
来表示，从而能求点
M
的
轨迹方程．
x
2
y
2
?
?
1
上动点，求线段
AP
中点
M
的轨迹方
引申：
设定点
A
?
6,2
?
，
P
是椭圆
25
9
程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设
M
?
x
,
y
?
，
P
?
x
1
,
y
1
?
；②（点与伴随点的关
?
x
1
?
2
x
?
6
系）∵
M
为线段
AP
的中点，∴
?
；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）
，∵
y
?
2
y
?
2
?
1
x<
/p>
?
3
?
y
?
1
?
x
1
2
y
1
2
?
?
1
M
?
?
1
，∴点
的轨迹方程为
?
?
；④伴随轨迹表示的范围．
25
< br>9
25
9
4
例
3
如图，设
A
< br>，
B
的坐标分别为
?
?
5,0
?
，
?
5,0
?
．直线
AM
，
BM
相交于点
M
，
且它们的斜率之积为
?
2
2
4
< br>，求点
M
的轨迹方程．
9
分析：
若设点
M<
/p>
?
x
,
y
?
，
则直线
AM
，
BM
的斜率就可以用含
< br>x
,
y
的式子表示，由于直线<
/p>
AM
，
BM
的斜
率之积是
?
出
x
,
y
之间的关系式，即得到点
M
的轨迹方程．
解法剖析：设点
M
?
x
,
y
?
，则
k
< br>AM
?
代入点
M
的集合有
4
，因此，可以求
9
y
y
?
x
?
?
5
?
，
k
BM
?
?
x
?
5
?
；
x
?
5
x
?
5
y
y
4
?<
/p>
?
?
，化简即可得点
M
的轨迹方程．
x
?
5
x
?
< br>5
9
引
申
：
如
图
，
设
△
ABC
的
两
个
顶
点
A
?
?
a
,0
?
，
B
?
a
,0
?
，
顶
点
C
在
< br>移
动
，
且
k
AC
?
k
BC
?
k
，且
k
?
0
，试求动点
C
的轨迹方程．
引申目的有两点
：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当
k
值在
变化时，线段
AB
的角色也是从椭圆的长轴→圆
的直径→椭圆的短轴．
椭圆
椭圆的简单几何性质
◆
知识与技能目标
了解用方程的方法研
究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、
离心率、顶点的概念；
掌握椭圆的标准方程、
会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解
椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义
．<
/p>
◆
过程与方法目标
（
< br>1
）复习与引入过程
引导学生
复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意
通过对椭圆的
标准方程的讨论，
研究椭圆的几何性质的理解和应用，
而且还注
意对这种研究
方法的培养．
①由椭圆的标准方程和非负实数的概
念能得到椭圆的范围；
②由方程的性质得
到椭圆的对称性；
③先定义圆锥曲线顶点的概念，
容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、
短轴
的概念；④通过
P
48
的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．
〖板书〗§
2
．
1
< br>．
2
椭圆的简单几何性质．
<
/p>
（
2
）新课讲授过程
（
i
）通过复习和预习，知道对
椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和
位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（
ii
）椭圆的简单几何性质
y
2
x
2
①范围：由椭圆的标准方程可得，
2
?
1
?
2
?
0
，进一步得：<
/p>
?
a
?
x
?
a
，同理
b
a
可得：
?
b
?
y
?
b
，即椭圆位于直线
x
?
?
a
和
y
?
?
b
所围成的矩形框图里；
②对称性：由以
?
x
代
x
，以
?
y
代
y
和
?
x
代
x
< br>，且以
?
y
代
< br>y
这三个方面来研究椭
圆的标准方程发生变化没有，从而
得到椭圆是以
x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥
曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点
叫做圆锥曲线的顶点．<
/p>
因此椭圆有四个顶点，
由于椭圆的对称轴有长短之分，
较长的对称轴
叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比
e
?
c
叫做椭
圆的离心率（
0
?
e
< br>?
1
）
，
a
?
当
e
?
1
时
，c
?<
/p>
a
，，b
?
0<
/p>
?
当
e
?
0
时
，c
?
0
，b
?
a
；
?
．
?
?
椭圆图形越扁
?
椭圆越接近于圆
（
iii
）例题讲解与引申、扩展
例
4
求椭圆
16
x
?
25
y
?
400
的长轴和短轴的
长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：
由椭圆的方程化为标准方程，
容易求出
a
< br>,
b
,
c
．
引导学生用
椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义
即可求相关量．
2
2
扩展：已知椭圆
mx
2
?
5
y
2
?
5
m
?
m
?
0
?
的离心率为
e
?
10
，求
m
的值．
5
解法剖析：依题意，
m
?
0,
m
?
5
，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦
点在
x
轴上，即
0
?
m<
/p>
?
5
时，有
a<
/p>
?
5,
b
?
m
,
c
?
5
?
m
，∴
5
?
m
5
?
2
5
，得
< br>m
?
3
；
②
当
焦
点
在
y
轴
上
，
即
m
?
5
时
，
有
a
?
m
,
b
< br>?
5,
c
?
m
?
5
，
∴
m
?
5
m<
/p>
?
1
0
2
5
?
m
?
．
5
3
例
5 <
/p>
，
如图，
一种电影放映灯的反射镜面是旋
转椭圆面的一部分．
过对对称的截口
BAC
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点
F
1
上，片门位于另一个焦点
F
2
上，由椭圆一个
焦点
F
1
F
2
，
1
发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点
F
2
．已知
BC
?
< br>F
F
1
B
?
2.8
cm
，
F
1
F
2
?
4.5
cm
．建立适当的坐标系，求
截口
BAC
所在椭圆的方程．
x
2
y
2
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为
2
?
2
?
1
，算出
a
,
b
,
c
的
a
b
值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于
a
,
b
,
c
的近似值，原则上
在没有注意精确度时，看题中其他量给定的
有效数字来决定．
引申：如图所示，
“神舟”截人飞船发射升空，进入预定
轨道开始巡天飞行，
其轨道是以地球的中心
F
2
为一个焦点的椭
圆，近地点
A
距地面
200
km
，远地点
B
距地面
350
km
，已知
地球的半径
R
?
6371
km
．建立适当的直角坐
标系，求出椭圆
的轨迹方程．
例
6
如图，设
M
?<
/p>
x
,
y
?
与定点
F
?
4,0<
/p>
?
的距离和它到直线
l
< br>：
x
?
25
的距离的比是常数
4
4
，求点
M
的轨迹方程．
5
分析：若设点
M
?
< br>x
,
y
?
，则
MF
?
线
l
：
x
?
?
x
?
4
?
2
?
y
2
，到直
25
25
的距离
d
?
x
?
，
则容易得点
M
的
轨迹方程．
4
4
a
2
x
?
引申：
（
用
《几何画板》
探究）
若点
M
?
x
,
y
?
与定点
F
?
c
,0
?
的距离和它到定直线
l
：
c
的距离比是常数
< br>e
?
c
?
a
?
c
?
0
?
，
则点
M<
/p>
的轨迹方程是椭圆．
其中定点
F
?
c
,0
?
是焦点，
a
a
2
定直线
l
：
x
?
相应于
F
的准线；由
椭圆的对称性，另一焦点
F
?
?
?
c
,0
?
，相应于
F
?
的
c
a
2
准线
l
?
：
x
?
?
．
c
抛物线及标准方程
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等
方面的能力．
过程与方法目标
情感，态度与价值观目标
（
1
）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
< br>
（
2
）培养学生观察，实验，
探究与交流的数学活动能力。
能力目标
：
（
1
）重视基础知识的教学、基本
技能的训练和能力的培养
；
（
2
）启发
学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，
学会分析问题和创造
地解决问题；
（
3
）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻
辑思维能力
（
1
）
复习与引入过程
回忆平面内与一个定
点
F
的距离和一条定直线
l
的距离的比是常数
e
的轨迹，当
< br>0
＜
e
＜
1
时是椭圆，当
e
＞
1
时是双曲线，那么当
e=1
时，它又是什么曲线？
2
．简单实验
如图
2-29
，把一根直尺固定在画图板内直线
l
的位置上，一块三角板的一条直角边紧
靠直尺的边
缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点
A
，截
取绳子的长等于
A
到直线
l
的距离
AC
，并且把绳子另一端固定在图板上的一
点
F
；用一支铅笔扣着绳子，紧
靠着三
角板的这条直角边把绳子绷紧，
然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，
这样铅笔就描出
一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物
线的定义，教师总结．
（
2
）
新课讲授过程
（
i
）由上面的探究过程得出抛物线的定义
《板书》平面内与一定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
(
定点
F
不在定直线
l
上
)
．定点
F
叫做抛物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准
线
.
(ii)
抛物线标准方程的推导过程
引导学生
分析出：方案
3
中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为
这个方程不
仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到
准线距离的
2
倍．
< br>由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形
(
列表如
下
)
：
将上表画在黑板上，并讲清为什么会出
现四种不同的情形，四种情形中
P
＞
0
；并指出
图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．
即：
当对称轴为
x
轴
时，
方程等号右端为±
2px
，
相应地左端为
y2
；
当对称轴为
y
轴时，
方程等号的右端为
±
2py
，
相应地左端为
x2
．
同
时注意：当焦点在
正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
(iii)
例题讲解与引申
例
1
已知抛物线的标准方程是
y2=6x
，求它的焦点坐标和准线方程
<
/p>
已知抛物线的焦点是
F(0,-2)
，求
它的标准方程
解
因为
p=3
，所以抛物线的焦点坐标是（
3/2,0
）准线方程是
x=-3/2
因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且
< br>p/2=2
，
p=4
，所以抛物
线的标准方
程是
x2=-8y
例
2
一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如
轴截面为抛物线
的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为
4.8m
深度为
0.5m
，
求抛物线的
标准方程和焦点坐标。
解；设抛物线的标准方程是
y2=2px (p>0)
。有已知条件可得，点
A
的坐标是（
0.5
，
2.4
）代入
方程，得
2.4=2p*0.5
即
=5
.76
所以，抛物线的标准方程是
y2=11.52x
，焦点坐标是（
2.88
，
< br>0
）
抛物线的几何性质
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛
物线的几何性质，
并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能
力
过程与方法目标
复习与引入过程
1
．抛物线的定义是什么？
请一同学回答．应为：“平面内与一个定点
F
和
一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹
叫
做抛物线．”
2
．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．
应为：
抛物线的标准方程
是
y2=2px(p
＞
0)
，
y2=-2px(p
＞
0)
，
x2=2py(p
＞
0)
和
x2=-2py(p
＞
0)
．
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程
y2=2px(p
＞
0)
出发来研
究它的
几何性质．《板书》抛物线的几何性质
（
2
）新课讲授过程
（
i
）抛物线的几何性质
通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
(1)
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)
抛物线只有一条对称轴，
这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重
合，抛物线没有中心．
(3)
抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点
在准线上射影的中点．
(4)
抛物线
的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结
果是应规定抛
物线的离心率为
1
．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念
，而且把圆锥
曲线作为点的轨迹统一起来了
< br>（
ii
）例题讲解与引申
例题
3
已知抛物线的顶点在原点，对
称轴是
x
轴，抛物线上的点
M(-3<
/p>
，
m)
到焦点的距
离等于
5
，求抛物线的方程和
m
的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线
方程为
y2=-2px(p
＞
0)
，则准线方
因
为抛物线上的点
M(-3
，
m)
到焦点的距离
|MF|
与到准线的距离
得
p=4
．
因此，所求抛物线方程为
y2=-8x
．
又点
M(-3
，
m)
在此抛物线上，故
m2=-
8(-3)
．
解法二：由题设列两个方程，可求得
p
和
< br>m
．由学生演板．由题意
<
/p>
在抛物线上且
|MF|=5
，故
例
4
过抛物线
y2=2px(p
＞
0)
的焦点
F
的一条直线与这抛物线相交于
A
、
B
两点，且
A(x1
，<
/p>
y1)
、
B(x2
，
y2)(
图
2-34)
．
证明：
(
1)
当
AB
与
x
轴不垂直时，设
AB
方程为：
此方程的两根
y
1
、
y2
分别是
A
、
B
两点的纵坐标，则有
y1y2=-p2
．
或
y1=-p
，
y2=p
，故
y1y2=-p2
．<
/p>
综合上述有
y1y2=-p2
又∵A(x1，
y1)
、
B(x2
，
y2)
是抛物线上的两
点，
双
曲
线
双曲线及其标准方程
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