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八年级数学最短路径问题
【问题概述】
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题
②确定终点的最短路径问题
-
即已知起始结点，求最短路径的问题．
旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
-
与确定起点的问题相反，该问题是
已知终结结点，求最短路径的问题．
-
即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
③确定起点终点的最短路径问题
④全局最短路径问题
-
求图中所有的最短路径．
【问题原型】
“将军饮马”
，“造桥选址”
．
【涉及知识】
“两点之间线段最短”
，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”
【出题背景】
角、三角形、菱形、矩
形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】
找对称点实现“折”转“直”
【十二个基本问题
】
【问题
1
】
A
，“轴对称” ，“平移”．
，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
作法
l
图形
A
原理
连
AB
，与
l
交点即为
P
．
P
B
l
两点之间线段最短．
PA+PB
最小值为
AB
．
B
在直线
l
上求一点
PA+PB
值最小．
P
，使
【问题
2
】“将军饮马”
作法
图形
原理
A
B
l
A
作
B
关于
l
的对称点
B
＇
连
A
B
＇，与
l
交点即为
P
．
B
P
l
两点之间线段最短．
PA+PB
最小值为
A
B
＇．
在直线
l
上求一点
P
，使
B'
PA+PB
值最小．
【问题
3
】
作法
图形
P'
原理
l
1
l
1
P
分别作点
P
关于两直线的
l
2
M
两点之间线段最短．
PM +MN +PN
的最小值为
线段
P
＇
P
＇＇的长．
l
2
对称点
P
＇和
P
＇，连
P
＇
P
＇，
与两直线交点即为
M
，
N
．
P
N
在直线
l
1
、
l
2
上分别求点
M
、
N
，使△
PMN
的周长
最小．
P''
l
1
【问题
4
】
作法
图形
Q'
原理
l
1
Q
P
分别作点
Q
、
P
关于直线
l
2
M
Q
两点之间线段最短．
四边形
PQMN
周长的最小
l
2
l
1
、
l
2
的对称点
Q
＇和
P
＇
连
Q
＇
P
＇，与两直线交点即
为
M
，
N
．
P
在直线
l
1
、
l
2
上分别求点
M
、
N
，使四边形
PQMN
的周长最小．
值为线段
P
＇
P
＇＇的长．
N
P'
【问题
5
】“造桥选址”
作法
- 1 -
图形
原理
A
M
A
m
N
n
B
将点
A
向下平移
MN
的长度
单位得
A
＇，连
A
＇
B
，交
n
A'
M
两点之间线段最短．
m
n
B
AM +MN +BN
的最小值为
于点
N
，过
N
作
NM
⊥
m
于
M
．
直线
m
∥
n
，在
m
、
n
，
上分别求点
M
、
N
，使
MN
⊥
m
，且
AM+ MN+ BN
的
值最小．
N
A
＇
B+MN
．
【问题
6
】
A
作法
图形
A
原理
B
l
A'
B
l
将点
A
向右平移
a
个长度单
位得
A
＇，作
A
＇关于
l
的对
称点
A
＇，连
A
＇
B
，交直线
M
a
N
两点之间线段最短．
AM +MN +BN
的最小值为
在直线
l
上求两点
M
、
N
（
M
l
于点
N
，将
N
点向左平
M
A''
N
A
＇
B+
MN
．
在左），使
MN
a
，并使
AM + MN+ NB
的值最小．
移
a
个单位得
M
．
【问题
7
】
l
1
P
作法
图形
l
1
P'
原理
作点
P
关于
l
1
的对称点
l
2
P
A
点到直线，垂线段最短．
PA+ AB
的最小值为线段
P
＇
P
＇，作
P
＇
B
⊥
l
2
于
B
，交
在
l
1
上求点
A
，在
l
2
上求
点
B
，使
PA+ AB
值最小．
l
2
l
2
B
B
的长．
于
A
．
【问题
8
】
l
1
N
A
M
l
2
B
作法
图形
B'
N
原理
A
l
1
作点
A
关于
l
2
的对称点
A
＇，作点
B
关于
l
1
的对称
两点之间线段最短．
AM +MN
+NB
的最小值为
l
2
A
为
l
1
上一定点，
B
为
l
2
上
点
B
＇，连
A
＇
B
＇交
l
2
于
M
，
一定点，在
l
2
上求点
M
，
交
l
1
于
N
．
在
l
1
上
求
点
N
，
使
AM + MN+ NB
的值最小．
M
A'
B
线段
A
＇
B
＇的长．
【问题
9
】
A
B
l
作法
图形
A
原理
垂直平分上的点到线段两
连
AB
，作
AB
的中垂线与
直线
l
的交点即为
P
．
B
l
端点的距离相等．
PA
PB
＝
0
．
在直线
l
上求一点
P
，使
PA
PB
的值
最小
．
P
【问题
10
】
作法
- 2 -
图形
原理
A
B
l
A
三角形任意两边之差小于
B
l
作直线
AB
，与直线
l
的交
点即为
P
．
第三边．
PA
PB
≤
AB
．
P
在直线
l
上求一点
P
，使
PA
PB
的最大值
＝
AB
．
PA
PB
的值
最大
．
【问题
11
】
A
作法
图形
原理
A
三角形任意两边之差小于
B'
l
B
l
作
B
关于
l
的对称点
B
＇
作直线
A B
＇，与
l
交点即
为
P
．
第三边．
PA
PB
≤
AB
＇．
P
在直线
l
上求一点
P
，使
B
PA
PB
最大值
＝
AB
＇．
PA
PB
的值
最大
．
【精品练习
】
作图题：
【例
1
】已知：如图，
A
，
B
在直线
L
的两侧，在
L
上求一点
P
，使得
PA+PB
最小。
【例
2
】如图，直线
l
是一条河，
P
，
Q
是两个村庄．计划在
l
上的某处修建一个水泵站
（
M
，向
P
，
Q
两地供
水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道）
，则所需管道最短的是
）
【例
3
】
已知
A
（
1
，
1
）、
B
（
4
，
2
）．
（
1
）
P
为
x
轴上一动点，求
PA+PB
的最小值和此时
P
点的坐标；
y
B
O
A
x
（
2
）
P
为
x
轴上一动点，求
PA
PB
的值最大时
P
点的坐标；
y
B
A
- 3 -
O
x
（
3
）
CD
为
x
轴上一条动线段，
D
在
C
点右边且
CD
＝
1
，求当
AC+ CD+ DB
的最小值和此时
C
点的坐标；
y
B
A
O
C D
x
【例
4
】如图，已知两点
P
、
Q
在锐角∠
AOB
内，分别在
OA
、
OB
上求点
M
、
N
，使
PM
＋
MN
＋
NQ
最
短．
【例
5
】如图，在河两岸有两个村子
，要在两个村子之间架一座桥梁，请你利用已学知识画出使两个村子
距离最短的桥梁建设
位置，保留作图痕迹
【例
6
】如图，已知牧马营地在点
P
处
，每天牧马人要赶着马群到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营
地，请你替牧马人设
计最短的放牧路线。
【例
7
】
荆州护城河在
CC
＇处直角转弯，河宽相等，从
A
处到达
B
处，需经过两座桥
DD
＇、
EE
＇，护城河及两
桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如
何确定两座桥的位置，可使
A
到
B
点路径最短？
- 4 -