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三角形五大模型
【专题知识点概述】
本讲复习以前所
学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分
知识的综合运用能力。
重点模型重温
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
A
B
s
1
< br>a
s
2
b
如右图
S
1
:
S
2
?
a
:
b
③夹在一组平行线之间的等积变形
，如右图
S
△
ACD
< br>反之，如果
S
△
ACD
?
S
△
BCD
，则可知直线
?
S
△<
/p>
BCD
；
C<
/p>
D
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形
)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
<
/p>
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，
面积比等于它们的高之比．
< br>二、等分点结论（
“鸟头定理”
）
1
如图，三角形
AED
占三角形
ABC
面积的
三、任意四边形中的比例关系
（
“蝴蝶定理”
）
①
S
1
︰
S
2
=S
4
︰
S
3
或者
S
1
×
S
3
=S
2
×
S
4
②
②
AO<
/p>
︰
OC=
（
S<
/p>
1
+S
2
）
︰
（
S
4
+S
3
）
2
1
1
×
=
3
4
6
A
s
2
B
D
< br>s
1
O
S
3
C
S
4
梯
形中比例关系（
“梯形蝴蝶定理”
）
①
S
1
︰
S
3
=a
2
︰
b
2
s
2
a
s
1
S
4
S
3
b
②
S
1
︰
S<
/p>
3
︰
S
2
︰
S
4
= a
2
︰
b
2
︰
ab
︰
ab
③
S
的对应份数为（
a+b
）
2
模型四：相似三角形性质
如何判断相似
(1)
相似的基本概念：
两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)
判断相似的方法：
①
两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；
< br>
②
两个三角形若有两条边对应成比例，
且这两组对应边所夹的角相等则两个
2
三角形相似。
b
c
b
a
h
c
h
B
a<
/p>
C
C
B
H
H
A
A
a
①
A
?
b
c
h
B
?
C
?
H
;
②
S
1
︰
S
2
=a
2
︰
A
2
模型五：燕尾定理
S
△
ABG
：
S
△
AGC
＝
S
△
BGE
：
S
△
GEC
＝
BE
：
EC
；
A
S
△
BGA
：
S
△
BGC
＝
S
△
AGF
：
S
△
GFC
＝
AF
：
FC
；
D
F
S
△
AGC
：
S
△
BCG
＝
S
△
ADG
：
S
△
DGB
＝
AD
：
DB
；
B
E
C
【重点难点解析】
1.
模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2.
在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1.
三角形面积等高成比
2.
“鸟头定理”
3.
“蝴蝶定理”
3
【习题精讲】
【例
1
】
（难度等级
※）
如图，长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，点
E
、
F
、
G
分别
是长方形
ABCD
边上的中点，
H
为
AD
边上的任意一点，
求阴影
部分的面积
.
B
F
C
A
E
H
D
G
【例
2<
/p>
】
（难度等级
※）
如右图，
ABFE
和
CDEF
都是矩形，
AB
的长是
4
厘米
，
BC
的长
是
3
厘米，那么图中阴影部分的面积是
____
< br>平方厘米．
E
F
A
B
C
D
【例
3
】
（难度等
级
※）
如
图，在三角形
ABC
中，
BC=8 <
/p>
厘米，
AD=6
厘米，
< br>E
、
F
分别为
< br>AB
和
AC
的中点，那么三角形
EBF
的面积是多少平方厘米？
A
F
E
D
B
C
【例
4<
/p>
】
（难度等级
※※※）
如图，在面积为
1
的三角形
ABC
中，<
/p>
DC=3BD,F
是
AD
的中点，延长
CF
交
AB
边于
E,
求三角
4
形
AEF
和三角形
CDF
的面积之和。
【例
5
】<
/p>
（难度等级
※※）
如右图
BE=
BC
，<
/p>
CD=
AC
，那么三角形
AED
的面积是三角形
ABC
面积的几分之几？
【例
6
】
（难度等级
※）
如图所示，四边形
ABCD
与
AEGF
都是平
行四边形，请你证明
它们的面积相等．
D
A
A
F
B
G
E
C
B
E
D
C
【例
7
】
（难度等级
※）
如图，在长方形
ABCD
中，
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中点，如果
AB=24
厘米，
BC=8
厘米，
D
Z
C
Y
B
5
A
求三角
形
ZCY
的面积．
【例
8
】
（难度等
级
※※）
如图，正方形
ABCD
的边长为
4
厘米，
EF
和
BC
平行，
ECH
的面积是
7
平方厘米，求
EG
的长。
32
d
23
a
c
x
b
12
【例
10
】<
/p>
（难度等级
※※）
A
如
图已知四边形
ABCD
和
CEFG
都是正方形，且正方形
ABCD
的边
长为
10
厘米，
那么
图中阴影三角形
BFD
的面积为多少平方厘米
< br>?
E
H
G
D
F
B
C
【例
11
】
（难度等级
※※）
如图，一个长方形被切成
8
块，其中三
块的面积分别为
12
，
23
，
32
，则图中阴影部分的面
6
积为
?
【例
12
】
（难度
等级
※※※）
如图，平行四边形
ABCD
周长为
75
厘米，以
BC
为底时高是
14
厘米；以
CD
为底
时高是
16
厘米。求平行四边形
ABC
D
的面积。
【例
13
】
（难度
等级
※※※）
A
D
如右图，正方形
ABCD
的边长为
6
厘米，△
ABE
、△
ADF
与四边形
AECF
的面积彼此相等，求三角形
AEF
的面积
.
<
/p>
B
E
C
A
F
D
【例
14
】
（难度等级
※※※）
如图，三角形
ABC
被分成了甲（阴影部分）
、乙两部
B
E
C
F
分，
BD=DC=4
，
BE=
3
，
AE=6
，甲部分面积是乙部分面
积的几分之
几？
【例
15
】
（难度等级
※）
7