-
任意四边形、
梯形与相似模型
模型三
蝴蝶模型
（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系
(
“蝴蝶定理”
)
：<
/p>
①
S
1
:
S
2
?
S
4
:
S
3
或者
< br>S
1
?
S
3
?
S
2
?
S
4
②
AO
:
OC
?
?
S
1
?
S
2
?
:
?
S
4
< br>?
S
3
?
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一
个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形内的三角形相联
系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例
1
】
(
小数
报竞赛活动试题
)
如图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD
，被对角线
AC
、
BD
分成四个部分，
△
AOB
面积为
1
平方千米，<
/p>
△
BOC
面积为
2
平方千米
，△
COD
的面积为
3
平方千米，公园由陆地面积是
6
．
92
平方千米和人工湖
组成，求人工湖的面积是多少平方千米
【分析】
根
据蝴蝶定理求得
S
△
AOD
?
3
?
1
?
2
?
1.5
平方千米，公园四边形
ABCD
的面积是
1
?
2
?
< br>3
?
1.5
?
< br>7.5
平
方千米，所以人工湖的面积是
< br>7.5
?
6.92
?
0.58
平方千米
<
/p>
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG
:
GC
?
【解析】
⑴
根据蝴蝶定理，
S
V
BGC
?
1
?
2
?
3
，那么
S
V
BGC
?
6
；
⑵根据蝴蝶定理，
AG
:
GC
?
?
1
?
2
?
:
?
3
?
6
?
?
< br>1:
3
．
()
【例
2
】
四
边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(
如图所示
)
。
如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的
1
面积的
，且
AO
?
2
，
DO
?
3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的
_________
倍。
3
【解析】
在
本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形
”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，
从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条
件
S
V
ABD
:
S
V
BCD
?
1:3
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出
的已
知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要
一个中介来改
造这个”不良四边形”
，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为
高之比。
再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意
比较两种解法，使
学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决
问题。
解法一：∵
AO
:
OC
?
S
?
ABD
:
S
?
BDC
?
1:3
，
∴
OC
?
2
?
3
< br>?
6
，
∴
OC
:
OD
?
6:3
?
2:1
< br>．
解法二：作
AH
?
BD
于
H
，
CG
?
BD
于
G
．
< br>1
∵
S
?
ABD
?
S
?
BCD
，
3
1
∴
AH
?
CG
，
3
1
∴
S
?
AOD
?
S
?
DOC
，
3
1
∴
AO
?
CO
，
3
∴
OC
?
2
?
3
?
6
，
∴
OC
:
< br>OD
?
6:3
?
2:1
．
【例
3
】
如
图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△<
/p>
CEF
、
△
OE
F
、
△
ODF
、
△
BOE
的面积依次是
2
、
4
、
< br>4
和
6
。
求：⑴求
△
OCF
的面积；⑵求
△
GCE
的面积
。
【解析】
⑴
根据题意可知，
△
< br>BCD
的面积为
2
?
4
?
4
?
6
?
16
，那么
△
BCO
和
?
CDO
的面积都是
16
?<
/p>
2
?
8
，
所以
△
OCF
的面积
为
8
?
4
?<
/p>
4
；
⑵由于<
/p>
△
BCO
的面积为
8
，
△
BOE
的面积为
6
，所以
△
OCE
的面积为
8
?
6
?
2
，
根据蝴蝶定理，
EG
:<
/p>
FG
?
S
?
COE
:
S
?
COF
?
2
:
4
?
1:
2
，所以
S
?
GCE<
/p>
:
S
?
GCF<
/p>
?
EG
:
FG<
/p>
?
1:
2
，
1
1
2
那么
S
?
GCE
?
S
?
CEF
?
?
2
?
．
1
?
2
3
3
【例
4
】
图
中的四边形土地的总面积是
52
公顷，
两条对角线把它分成了
4
个小三角形，
其中
2
个小
三角形的
面积分别是
6
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷
【解析】
在
V
ABE
，
V
CDE
中有
?
< br>AEB
?
?
CED
，所以
V
ABE
，
V
CDE
的面积比为
(
AE
?
EB
)
:
(
CE<
/p>
?
DE
)
。同<
/p>
理有
V
ADE
，
V
BCE
的面积比为
< br>(
AE
?
DE
< br>)
:
(
BE
?
EC
)
。
所以有
S
V
也就是
< br>ABE
×
S
V
< br>CDE
=
S
V
< br>ADE
×
S
V
< br>BCE
，
说在所有凸四边形中，连接顶点得到
2
条对角线，有图形分成上、下、左、右
4
个部分，有：上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即
S
V
ABE
与
V
ADE
的面积
ABE
?
6<
/p>
=
S
V
ADE<
/p>
?
7
，所以有
V
7
6
比为
7<
/p>
:
6
，
S
V
=
公顷，
=
S
V
?
39
?
21
?
39
?
18
公顷。
ABE
ADE
6
?
7
6
?
7
显然，最大的三角形的面积为
21<
/p>
公顷。
【例
5
】
(
2008
年清华附中入学测试题
)
如图相邻两个格点间的距离是
1
，则图中阴影三角形的面积
为
。
【解析】
连
接
AD
、
CD
、
BC
。
4
3
则可根据格点面积公式，可以得到
?
ABC
的面积为：
1
< br>?
?
1
?
2
，
?
ACD
的面积为：
3
?
?
< br>1
?
3.5
，
< br>2
2
4
?
ABD
的面积为：
2
?
?
1
?
3
< br>．
2
4
4
12
所以
BO
:
OD
?
S
?
ABC
:
S
?
ACD
?
2
:3.5
?
4
:
7
，所以
S
?
ABO
?
?
S
?
ABD
?
?
3
?
．
4
?
7
11
1
1
【巩固】如图，每个小方格的边长都是
1
，求三角形
ABC
的面积。
【解析】
<
/p>
因
为
BD
:
CE
?
2:5
，且
BD
∥
CE
，
所以
DA
:
AC
?
2:5
，
S
?
ABC
?
5
5
10
，
S
?
DBC
?
?
2
?
．
2<
/p>
?
5
7
7
【例
6
】
(
20
07
年人大附中考题
)
如图，边长为<
/p>
1
的正方形
ABCD
中，
BE
?
2
EC
，
CF
?
FD
，求三角形
AEG
的面积．<
/p>
【解析】
连
接
EF
．<
/p>
1
1
1
1
因为
BE
?
2
EC
，
CF
?
FD
，所以
S
?
DEF
?
(
?
?
)
S
W
ABCD
?
S
W
ABCD
．
2
3
2
12
1
1
1
因为
S
?
AED
?
S
W
ABCD
，根据蝴
蝶定理，
AG
:
GF
< br>?
:
?
6
:1
，
2
2
12
6
6
1
3
所以
S
?<
/p>
AGD
?
6
S<
/p>
?
GDF
?
S<
/p>
?
ADF
?
?<
/p>
S
W
ABCD
?
S
W
ABCD
．
7
7
4<
/p>
14
1
3
2
2
所以
S
?
AGE
?
S
?
AED
?
S
?
AGD
?
S
W
ABCD
?
S
W
ABCD
?
S<
/p>
W
ABCD
?
，
2
14
7<
/p>
7
2
即三角形
A
EG
的面积是
．
7
【例
7
】
如
图，
长方形
ABCD
中，
BE
:
EC
?
2:3
，
DF
:
FC
?
1:
2
，三角形
DFG
的面积为
2
平
方厘米，求长
方形
ABCD
的面积．<
/p>
【解析】
连
接
AE
，<
/p>
FE
．
3
1
1
1
因为
BE
:
EC
?
2:3
，
DF
:
FC
?
1:
2
，所以
S
V
DEF
?
(
?
?
)
S
长方形
ABC
D
?
S
长方形
ABCD
．
5
3
2
10
1
1
1
因为
S
V
AED
?
S
长
方形
ABCD
，
AG
< br>:
GF
?
:
?
5:1
，
所以
< br>S
V
AGD
?
< br>5
S
V
GDF
< br>?
10
平方厘米，
所以
S
V
AFD
?
12
平
2
2
10
1
方厘米．因为
S<
/p>
V
AFD
?
S<
/p>
长方形
ABCD
，所以长方形
ABCD
的面积是
72
平
方厘米．
6
【例
8
】
如
图，已知正方形
ABCD
的边长为
10
厘米，
E<
/p>
为
AD
中点，
F
为
CE
中点，
G
为
BF
中点，求三角
形
BDG
的面积．
【解析】
设
BD
与
CE
的交点为
O
，连接
BE
、
DF
．
1
1
由蝴蝶定理可知
EO
:
OC
?
S
V
BED
:
S
V
BCD
，而
S
V
BED
?
S
W
ABCD
，
S
V
BCD
?
S
W
ABCD
，
4
2
1
所以
EO
:
OC
?
S
V
BED
:
S
V
BCD
?
1:
2
，故
EO
?
EC
．
3
1
由于
F
为
CE
中点，所以
EF
?
EC
，故
EO
:
< br>EF
?
2:3
，
FO
:
EO
?
1:
2
．
< br>2
1
1
由蝴蝶定理可知
S
V
BFD
:
S
V
BED
?
FO
:
EO
?
1:
2
，所以
S
V
BFD
?
S
V
BED
?
S
W
ABCD
，
2
8
1
1
1
那么
S
V
BGD
?
S
V
BFD
?
S
W
ABCD
?
?
10
?
10
?
6.25<
/p>
（平方厘米）．
2
16
16
【例
9
】
如
图，在
?
A
BC
中，已知
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O
,
若
?
AOM
、
?
ABO
和
?
BON
的面积分别是
3
、
2
、
1
，则<
/p>
?
MNC
的面积是
．
【解析】
这
道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
S
?
S
?
BO
N
3
?
1
3<
/p>
根据蝴蝶定理得
S
?
MON
?
?
AOM
?
?
S
?
AOB
2
2
设
S
?
MON
?
x
，根据共边定理我们可以得
3
?
x
3
2
?
S
?
ANM
S
?
ABM
，
?
S
?
MNC
S
?
MBC
3
?
2
，解得
x
?
22.5<
/p>
．
3
1
?
?
x
2
【例
10
】
(
2
009
年迎春杯初赛六年级
)
正六边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的面积是
2009
平方厘米，
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
【解析】
如
图，
设
B
6
A
2
与
B
1
A
3
的交点为
O<
/p>
，则图中空白部分由
6
个与
?
A
2
OA
3
一样大小的三角形组成，
只要求
出了
?
A
2
OA
3
的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分
面积．
连接
A
6
A
3
、
B
6
B
1
、
B
6
A
3
．
1
“，
1
“，
?
A
1
A
2
B
< br>6
面积为”
2
“，
设
?
A
1
< br>B
1
B
6
的面积为”
则
?
B
< br>1
A
2
B
6
面积为”
那么
?
< br>A
6
A
3
B
6
面积为
?
A
1
A
2
B
6
的
2
倍，为
”
4
“，梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
的面积为
2
?
2
?
4<
/p>
?
2
?
12
，
?
A
2
B
6
A
3
的面积为”
6
“，
?
B
1
A
2
A
3
的
面积为
2
．
6
12
根据蝴蝶定理，
B
1
O
?
A
3
O
?
S
?
B
1
A
2
< br>B
6
:
S
?
A
3
A
2
B
6
?
1:<
/p>
6
，故
S
?
A
2
OA
3
?
，
S
?
B
1
A
2
A
3
?
，
1
?
6
7
12
1
所
以
S
?
A
2
OA
3
:
S
梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
?
:12:1:
7
，即
?
A
2
OA
3
的
面积
为梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
面
积的
，
故为六
边形
7
7
1
1
3
A
< br>1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
面积的
，
那么空白部分的面积为正六边形面积的
?
6
?
，所以阴影部分面积为
14
14
7
?
3
?
2009
?
?
1<
/p>
?
?
?
1148
(
平方厘米
)
．
?
7
?
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
(
< br>“梯形蝴蝶定理”
)
：
①
S
1
:
S
3
?
a
2
:
b
2
②
< br>S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
4
?
a
2
:
b
2
:
ab
:
ab
；
③
S
的对应份数为
?
a
?
b
?
．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系
互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结
论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(
具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
)
【例
11
】
如图，
S
2
?
2
，
S
3
?
4
，求梯形的面积．
【解析】
< br>设
S
1
为
a
2
份，
S
3
为
b
2
份，
根据梯形蝴蝶定理，
S
3
?
4
?
b
2
，所以
b
?
2
；又因为
S
2
?
2
?
a
?
< br>b
，所以
2
a
< br>?
1
；那么
S
< br>1
?
a
2
?
1
，
S
4
?
a
?
b
?
2
，所以梯形面积
S
?
S
1
?
S
2
?
S
3
?
S
4
?
1
?
2
?
4
?
2
< br>?
9
，或者根
据梯形蝴蝶定理，
S
?
?
a
?
b
?
?
?
1
?
2
?
?
9
．
< br>
【巩固】
(
2006
年南京智力数学冬令营
)
如下图，梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，对角线
AC
，
BD
交于
O
，已
知
△
AOB
与
△
BOC
< br>的面积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是
________
平方厘米．
【解析】
根
据
梯
形
蝴
蝶
定
理
，
S
V
AOB
:
S
V
BOC
?
a
2
:
ab
?
25
:
35
，
可
得
a
:
b
?
5:7
，
再
根
据
梯
形
蝴
蝶
定
理
，
S<
/p>
V
AOB
:
S<
/p>
V
DOC
?
a<
/p>
2
:
b
2
?
5
2
:
7
2
?
25:
49
，
所
以
S
V
DOC
?
49
(
平
方
厘
米
)
．
那么
梯
形
ABCD
的
面
积
为
25
?
35
?
35
?
49
?
144
(
平方厘米
)
．
2
2
【例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知梯形上底为
2
，
且三角形
ABO
的面积等于三角
2
形
BOC
面积的
，
求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
3
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
V
AOB
:
S
V
BOC
?
ab
:
b
2
?
2
:
3
，可以求出
a
:
b
?
2:3
，
再根据梯形蝴蝶定理，
S
V
AOD
:
S
V
BOC
?
a
2
:
b
2
?
2
2
:
3
2
?
4
:
9
．
通过利用已有几
何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千
辛万苦
进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．
【例
13
】
(
第十届华杯赛
)
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
O
点，已知
AO
?
1
，并且
三角形
ABD
的面积
3
?
，那么<
/p>
OC
的长是多少
三角形
CBD
的面积
5
三角形
ABD
的面积
AO
AO
3
5
【解析】
根
据蝴
蝶定理，
，所以
?
?
< br>，又
AO
?
1
< br>，所以
CO
?
．
三角形
CBD
的面积
CO
CO
5
3
【例
14
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC
的面积是
9
cm
2
< br>，问三角形
AOD
的面积是多少
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
a
:
b
?
1:1.5
?
2:3
，
S
?
AOD
:
S
?
BOC
?
a
2
:
b
2
?
2
2
:
3
< br>2
?
4
:
9
，
所以
S
?
AOD
?
4
cm
2
．
【巩固】如图，梯形
ABCD
中，
?
AOB
、
?
COD
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
ABCD
的面积．
?
?
-
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