-
平面向量奔驰定理与三角形四心
已知
O
是
?
ABC
内的一点，
?
BOC
,
?
AOC
,
?
AOB
的面积分别为
S
A
，
S
B
，
S
C
，求证：
< br>S
A
?
OA
?
S
B
?
OB
?
S
C
?
OC
?
0
A
O
B
C
如图
2
延长
OA
与
BC
边相交
于点
D
则
BD
S
?
A<
/p>
BD
S
?
BOD
S
?
ABD
?
S
?
BOD
S
C
?
?
?
?
DC
S
?
ACD
S
?
COD
S
ACD
?<
/p>
S
?
COD
S<
/p>
B
图
1
OD
A
O
B<
/p>
C
?
DC
BC<
/p>
OB
?
BD
OC
BC
?
S
S
C
S
B
OB
?
OC
?
S
S
?
S
B
C
B
C<
/p>
D
?
OD
?
S
BOD
OA<
/p>
S
BOA
?
S<
/p>
COD
S
BOD
?
S
COD
S
A
?
?
S<
/p>
COA
S
BOA
?
S
COA
S
B
?
S
C
图<
/p>
2
?
OD
?
?
S
A
S
B
?
S
C
OA
?
?
S
A
S
B
?
S
C
OA
?
S
C
S
B
OB
?
OC
S
B
?
S
C
S
B
?
S
C
?
S
A
?<
/p>
OA
?
S
B
?
OB
?
S
C
?
OC
?
0
推论
O
是
?
ABC
内的一点，且
x
?
OA
?
y
?
OB
?
z
?
OC
?
0
，则
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
?
x
:
y
:
z
有此定理可得三角形四心向量式
<
/p>
O
是
?
ABC<
/p>
的重心
?
S<
/p>
?
BOC
:
S<
/p>
?
COA
:
S<
/p>
?
AOB
?
1<
/p>
:
1
:
1
?
OA
?
OB
?
OC
?
0
O
是
?
ABC
的内心
?
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
?
a
:
b
:
c
?
< br>a
?
OA
?
b
?
OB
?
c
?
OC
?
0
O<
/p>
是
?
ABC
的外
心
?
S
?<
/p>
BOC
:
S
?<
/p>
COA
:
S
?<
/p>
AOB
?
sin
2
A
:
sin
2
B
:
sin
2
C
?
si
n
2
A
?
OA
?
sin
2
B
?
OB
?
si
n
2
C
?
OC
?
0
O
是
?
ABC
的垂心
?
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
?
tan
A
:
t
an
B
:
tan
C
?
tan
A
?
OA
?<
/p>
tan
B
?
OB
?
tan
C
?
OC
?
0
<
/p>
C
O
A
D
B
证明：如图
O<
/p>
为三角形的垂心，
tan
A
?
CD
CD
,
tan
B
?
?
tan
A
:
tan
B
?
DB
:
AD
AD
DB
S
?
BOC
:
S
?
COA
?
DB
:
AD
?
S
?
BOC
:
S
?
COA
?
tan
A
:
tan
B
同理得
S
?
COA
:
S
?
AOB
?
tan
B
:
tan
C
，
S
?
BOC
:
S
?
AOB
?
tan
A
:
tan
C
?
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
?
tan
A
:
tan
B
:
t
an
C
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2
三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1)
重心：中线的交点，重心将中线长度分成
2
：<
/p>
1
；
(2)
垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3)
内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）
，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4)
外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）
，外心到三角形各顶点的距离相等。
?
与“重心”有关的向量问题
1
已知
G
是<
/p>
△
ABC
所在平面上的一点，
若
GA
?
GB
?
GC
?
0
，
则
G
是
< br>△
ABC
的
(
)
．
A
．重点
如图⑴
.
B
．外心
C
．内心
D
．垂心
C
A'
G
A
图⑴
P
B
M
A
B
C
O
图⑵
<
/p>
，
B
，
C
是
平
面
上
不
共
线
的
三
个
点
，
动
点
P
满
足
2
已
知
O<
/p>
是
平
面
上
一
定
点
，
A
?
?
)
，则
P
的轨迹一定通过
△
ABC
的
( ).
OP
?
OA
?
?
(
AB
?
< br>AC
)
，
?
?
(0
，
A
．重点
B
．外心
C
．内心
D
．垂心
?
?
)
时，由于
?
(
AB
?
A
C
)
表示
BC
边上
【解析】由题意
AP
?
?
(
AB
?
AC
)
，当
?
?
(0
，
的中线所在直线的
向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△<
/p>
ABC
的重心，如图⑵
.
3
.O
是△
ABC
所在平面内一点，动点
P
满足<
/p>
（λ∈（
0
，
+
∞）
）
，则动点
P
的轨迹一定通过△
ABC
的（
）
A
．内心
B
．重心
C
．外心
D
．垂心
解
：作出如图的图形
AD
⊥
BC
，由于
∴
由加法法则知，
P
在三角形的中线上
故动点
P
的轨迹一定通过△
ABC
< br>的重心
故选：
B
．
?
与“垂心”有关的向量问题
sinB
=
=
sinC=AD
，
3
P
< br>是
△
ABC
所在平面上一点，若
PA
?
PB
?
PB
?
PC
?
PC
?
PA
，
则
P
是
△
AB
C
的
( )
A
．重点
B
．外心
C
．内心
D
．垂心
【
解析】
由
PA
?
PB
?
PB
?
PC
，
得
P
B
?
P
A
(<
/p>
P
C
?
即
P
BC
A
?
)
?
0
，
所以
PB
⊥
CA
．
同
?
0
，
理可证
PC
⊥
AB
，
PA
⊥
BC
．∴
P
是
△
ABC
的垂心．如图⑶
.
C
A
P
E
M
H
F
O
B
B
C
P
A
图⑶
图⑷
，
B<
/p>
，
C
是
平
面
上
不
共
线
的
三
个
点
，
动
点
P
满
足
4
已
知
O
是
平<
/p>
面
上
一
定
点
，
A
?
A
B
O
P
?
O
A
?
?
?
?
?
A
B
c
o
s<
/p>
B
?
的
(
)
．
?
?<
/p>
，
?
?
(0
，
?
?
)
，
则动点
P
的轨迹一定
通过
△
ABC
?
A
C
c
o
s
C
?
A
C
A
．重点
B
．外心
C
．内心
D
．垂心
?
?
AB
AC
?
，
?
【解析
】由题意
AP
?
?
?
?
AB
cos
< br>B
AC
cos
C
?
?
?
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