-
知识点一
开普勒三定律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是
椭圆
，太阳
处在所有椭圆的一个
焦点
上．
开
普<
/p>
勒
第
二
定
律
：
行
星
与
太
阳
的
连
线
在
相
同
的
时
间
内
扫过的面积相等
相等．
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三
公转周期的二次方
的
a
3
比值都相等，即
2
＝
k
.
T
知识点二
万有引力定律
1
．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它
们距离的平方成反比．
m
1
m
2
-11
2
2
2
．公式：
F<
/p>
＝
G
2
，
G
为万有引力常量，
G
＝
6.67×
10
N·
m
/kg
.
r
3
．适
用条件：适用于可以看作质点的物体之间的相互作用．质量分布均匀的球体可以认为
质量
集中于球心，也可用此公式计算，其中
r
为两球心之间的距离．
题型一
对开普勒行星运动定律的理解
a
3
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，
2<
/p>
＝
k
的表达式中
a
就是圆的半径
R
< br>T
注意：在太阳系中，比例系数
k
是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，
k
值不相同，
k
值与中心天体有关．
<
/p>
该定律不仅适用于行星，
也适用于其他天体．
如对绕地球飞行的卫星来说，
它们的
k
值相同
与卫星无关．
[
例
1]
<
/p>
飞船以半径为
R
的圆周绕地球运动，其周
期为
T
.
如果飞船要返回地面，可在轨
道
的某一点
A
处，将速率降低到适当数
值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，
椭圆和地球表面在
< br>B
点相切，如图所示，如果地球半径为
R
0
，求飞船由
A
点到
B
点所需要
的时间．
题型二
估算天体的质量和密度
(1)
估算中心天体质量的基本思路
①
从环绕天体出发
:
< br>通过观测环绕天体运动的周期
T
和轨道半径
r
就可以求出中心天体的质量
M.
②
从中心天体本身出发
:
只要知道中心天体表面的重力加速度
g
和半径
R
就可以求出中心天
体的质量
M.
（
2
）估算中心天体的密度
ρ
测
出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径
r
和周期
< br>T
[
例
2]
<
/p>
中子星是恒星演化过程的一种可能结果，
它的密度很大．
现有一中子星，
观测
1
到它的自转周期为
T
＝
s
．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因
30
自转而瓦解．
(
计算
时星体可视为均匀球体，引力常量
G
＝
6.67×
10
－
11
N
·
m
2
/kg
2
)
2-1
．最近，科学家在望远镜
中看到太阳系外某一恒星有一行星，
并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为
1200
年，它与该恒
星的距离为地球到太阳距
离的
100
倍．
假定该行星绕恒星运行
的
轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，
仅利用以上两个数据
可
以求出的量有
(
)
A
．恒星质量与太阳质量之比
B
．恒星密度与太阳密度之比
C
．行星质量与地球质量之比
D
．行星运行速度与地球公转速度之比
2-2
天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积
是
地球的
4.7
倍，质量是地球的
25
倍．已知某一近地卫星绕地球
运动的周
期约为
1.4
小时，
引力常量
G
＝
6.67×
10<
/p>
此估算该行星的平均密度约为
(
)
A
．<
/p>
1.8×
10
3
kg/m
3
.
C
．
1.1
×
10
4
kg/m
3
.
题型三
计算天体表面的重力加速度
在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即
G
－
11
N·
m
2
/kg
2
，
由
B
．
5.6×
10
3
kg/m
3
.
D
．
2.9×
10
< br>4
kg/m
3
.
Mm
?
mg
0
(g
0
表示天体表
2
R
面的重力加速度
).
注意：①
在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的
重力加速度
g
0
时，常运用
GM
＝
g
0
R
2
作为桥梁，
可以把
“
地上
”
和
“
天上
”
联系起来<
/p>
.
由于这种代换的作用巨大，
此式通常称
为黄金代
换式
.
②
< br>利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：
在行星表面重力加速度：
G
GM
Mm
?
mg
所以
g
=
0
0
2
2
R
R
在离地面高为
h
的轨道处重力加速度：
G
Mm
GM
,
所以
g
=
?
mg
< br>h
h
2
2
(
R
?
h
)
(
R
?
h
)
[
例
3]
<
/p>
地球质量约为月球质量的
81
倍，地球半
径约为月球半径的
3.8
倍，则地球表面重
力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛
一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？
1
1
3-1
火星的质量和半径分别约为地球的
和
，
地球表面的重力加速度为
g
，
则火星表面的重
10
2
力加速度约为
(
)
A
．
0.2
g
B
．
0.4
g
C
．
2.5
g
D
．
5
g
3-2
．
(
2009·
江苏高考
)
英国《新科学家
(New Scientist)
》杂志评选出了
2008
年度世界
8
项科学
之最，在
XTEJ1650
—
500<
/p>
双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径
R
M
c
2
约
45 km
，质量
M
和半径
R
的关系满足
＝
(
其中
c
为光速，
< br>G
为引力常量
)
，则该黑洞表<
/p>
R
2
G
面重力加
速度的数量级为
(
)
A
．
10
8
m/s
2
C
．<
/p>
10
12
m/s
2
B
．
10
10
m/s
2
D
．
10
14
m/s
2
人造卫星
宇宙速度
【知识梳理】
知识点一
人造卫星
基本特征：把天体运动看成
是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．
表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法
Mm
v
2
2
π
G
2
＝
ma
＝
m
＝
mrω
2
＝
mr
(
)<
/p>
2
r
r
T
应用时可根据
实际情况选用适当的公式进行分析和计算．
知识点二
宇宙速度
1
．第一宇宙速度
(
环绕速度
)
指人造卫星近地环绕速度，
它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆
周运动所必须具有的
速度，是人造卫星的最小发射速度．其大小为
v
1
＝
7.9
km/s.
2
．第二宇宙速度
(
脱离速度
)
在地面上发射物体，
使之能够脱离地球
的引力作用，
成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他
行星上去所
必需的最小发射速度．其大小为
v
2
＝
11.2
km/s.
3
．第三宇宙速度
(
逃逸速度
) <
/p>
在地面上发射物体，
使之能够脱离太阳的引力范围，
飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最
小发射速度．其大小为
v
3
＝
16.7
km/s.
知识点三
同步卫星
概念：相对地面
静止
的卫星称为同步卫星．
基本特征：①
周期为地球自转周期
T
＝
24h
；②
轨道在赤道平面内；③
运动的角速度与
地球的自转角速度
相同
；④
高度
h
一定；⑤
轨道和地球赤道为共面同心圆；⑥
卫星
运行速度一定．
题型一
描述人造卫星的各物理量与轨道半径的关系
名师点拨
1
卫星的向心加速度、绕行速度、角速度、周期和半径的关系
<
/p>
Mm
GM
(1)
由
G
2
＝
ma
有
a
＝
2
，故
r
越大，
a<
/p>
越小．
r
r<
/p>
Mm
v
2
(2)
由
G
2
＝
m
有
v
＝
r
r
GM
，故
r
越大，
v
越小．
r
GM
＝
7.9 km/s.
R
人造地球卫星的最大
运行速度
v
m
＝
Mm
(3)
由
G
2
＝
mrω
2
有
ω
＝
r
Mm
2
π
(4)
由
G
2
＝
m
r
(
)
2
有<
/p>
T
＝
r
T
GM
，故
r
越大，<
/p>
ω
越小．
r<
/p>
3
4
π
2
r
3
，故
r
越大，
T
越大．
GM
4
π
2
R
3
≈85
min.
GM
人造地球卫星的最小周
期
T
min
＝
注意：
1.
a
、
v
、
ω
、
T
是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．
2
．
a
、
v
、
ω
、
T
皆与卫星的质量无关，只由轨道半径
r<
/p>
和中心天体的质量
M
决定．
3
．人造卫星的轨道圆心一定与地心重合．
[
例
1]
<
/p>
有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比
r
1
∶
r
2
＝
4
∶
1<
/p>
，求这两颗卫星的：
(1)
线速度之比．
(2)
角速度之比．
(3)
周期之比．
(4)
向心
加速度之比．
1-1
．在圆轨道上运动的质量为<
/p>
m
的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径
R
，
地面上的重力加速度为
g
，则
(
)
A
．卫星运动的速度为
2
Rg
B
．卫星运动的周期为
4
π
g
C
．卫星运动的加速度为
2
mgR
D
．卫星的动能
为
4
题型二
计算第一宇宙速度
1
．第一宇宙速度的理解和推导
Mm
v
1
2
GM
G
2
＝
m
，
v
1
＝
＝
7.9 km/s
R
R
R
v
1
2
或
mg
＝
m
，
v
1
＝
gR
＝
7.9
km/s
R
2
．其他天体的第一宇宙
速度可参照此方法推导，
v
1
＝
g
′
R
′
，
g
′
为该天体表面的重力加速度，
R
′
为该天体的半径．
注意：
(1)
三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度．
(2)
第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度．
[
例
2]
<
/p>
金星的半径是地球的
0.95
倍，
质量为地球的
0.82
倍，
< br>金星表面的自由落体加速度是
多大？金星的第一宇宙速度是多大？
(
地球表面的重力加速度
g
为
9.8
m/s
2
.
，地球的第一宇
宙速度为
7.9
km/s)
2-1
．
1990
年
5
月，中国紫金山天文台将
1965
年
9
月
20
日发现的第
2
752
号小行星命名为
吴健雄
星，其直径
2
R
＝
32
km.
如该小行星的密度和地球的密度相同，则对该
小行星而言，
第一宇宙速度为多少？
(
已知地球半径
R
0
＝
< br>6 400 km
，地球的第一宇宙速度
v
1
≈8 km/s)
题型三
卫星、飞船的变轨问题
卫星的
“
变轨问题
”
分析<
/p>
卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动
.
2
R
g
v
2
Mm
当万有引
力恰好提供卫星所需向心力时，即
G
2
=
m
r
r<
/p>
时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变时，轨道半径将发生变化
.
v
2
Mm
(1)
速度突然增大时
G
2<
/p>
＜
m
，万有引力小于向心力，做离心运动
.
r
r
v<
/p>
2
Mm
(2)
速
度突然减小时，
G
2
＞
m
，万有引力大于向心力，做向心运动
.
r
r
[
例
3]
<
/p>
“
神舟
”
六号飞
船的成功飞行为我国在
2010
年实现探月计划
——“
嫦娥工程
”
获得了
宝贵的经验．假设月球半径为
R
，月球表面
的重力加速度为
g
0
，飞船在距月球表
面高度为
3
R
的圆形轨道Ⅰ
运动，到达轨道的
A
点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ
，到达轨道的近月点
B
再次点火进入月
球近月轨道Ⅲ
绕月球做圆周运动．
求：
(1)
飞船在轨道Ⅰ
上的运行速率．
(2)
飞
船在
A
点处点火时，动能如何变化？
(3)
飞船在轨道Ⅲ
绕月球运行一周所
需的时间．
3-1
．图是
“
嫦
娥一号奔月
”
示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多
次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并
开展对月球的探测．下列说法正确的是
(
)
A
．发射
“
嫦娥一号
”
的速度必须达到第三宇宙速
度
B
．在绕月圆轨道上，卫星周期与
卫星质量有关
C
．卫星受月球的引力
与它到月球中心距离的平方成反比
D
．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
题型四
关于地球同步卫星的问题
.
地球同步卫星的特点
(1)
轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合
.
(2)
周期一定：与地球自转周期相
同，即
T
＝
24h
＝
86 400 s.
(3)
角速度一定：与地球自转的角
速度相同
.
2
4
?
2
Mm
GMT
< br>(4)
高度一定：据
G
2
=m
2
r
得
r=
3
＝
4.24×<
/p>
104
km
，卫星离地面高度
h
＝
r
－
2
r
T
4
< br>?
R≈6R(
为恒量
).
(5)
速率一定：运动速度
v
＝
2πr/T
＝
3.07 km/s(
为恒量
).
(6)
绕行方向一定：与地球自转的方向一致
.
注意：
1.
一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度不超过
v
＝
7.9
km/s.
-
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