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高速旋转刚体的回转效应及其应用
摘要：
回顾陀螺力学的发展史。列举并分析陀螺效应的相关理论，进而探究回转效应（陀螺
效应）产生的原因。深入分析陀螺回转效应的发展及应用现状，对螺效在工程应用中的经典
实例进行分析。展望陀螺效应理论转化为应用技术的发展前景。
关键词
：刚体；定轴转动
;
定点转动；转子；回转效应；陀螺；惯性导航；无级变速；
High-speed Rotary Effect Of
Rigid Body And Its Applications
Wenqi
Jia
Abstract:
Retrospect the
history of the development of the gyro mechanics.
Display and analyse
the relevant theories of gyro effect,
Then turn to explore the cause of the
gyro effect.
The
development and application status of
the gyro effect should be analysed in-depth . I
will
have a further analysis on the
classical example of the application of gyro
effect in
engineering .
Then look forward the development
prospects of turning gyro effect theory to
application technology.
Keywords:
rigid body
；
fixed-axis
rotation
rotation around a
fixed
point
；
rotor;
gyro effect
；
peg-
top
；
inertial
navigation
;
infinitely variable speed
transmission
目录
第
1
页
1.
前言·
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2.
刚体回转效应原理
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4
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刚体回转效应在工程中的应用·
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8
4.
展望回转效应在工程领域中的发展前景·
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11
5
结束语·
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6.
参考文献·
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12
1
．引言
第
2
页
进入
18
世纪后，在近代机械工业化迅速发
展的背景下，通过对一系列工程实际问题的研
究，推动了刚体转动理论的发展。此外，力
学理论本身内在的思维联系，对刚体定点转动的
相关理论的发展也起了很主要的推动作用
。到
18
世纪中叶，欧拉（
,(170
7-1783)
、
拉格朗日（
ge
，
1736-1813
）等科学家已经建立
了完整的刚体运动的经典理论，这
为刚体回转效应理论在工程实际中的应用奠定了理论基
础。
1851
年法国物理学家傅科
（<
/p>
J
·
Foucault
< br>，
1819-1868
）应用刚体回转效应理论，设计了
“傅科摆实验”
，并成功地证明
了地球自转的事实
[
1
]
。这是刚体回转效应
首次被用来解决实际问题。在之后的一百年里，经
过无数科学家的不懈的探索和努力，刚
体回转效应理论从理论发展成为一门实用的工程技术。
到
19<
/p>
世纪末，由于陀螺仪表的强有力的实际应用，更促进了这一理论的进一步发展。
进入
20
世纪后，与回
转效应相关的工程应用技术飞速发展。尤其是陀螺装置在工程中应
用的技术不断成熟。随
着科学界和工程学界对陀螺应用技术的深入研究，使得其应用领域也
在迅速扩展。在
20
世纪初，按修茨、斯伯利航海陀罗经的发明，并成功应用于海上
航行。惯
性导航技术成为应用于工程实际的技术，并得到飞速发展。随着航海和现代机械
化大工业的
发展，高速旋转刚体的进动效应在工程实际中得到广泛的应用，尤其是在惯性
导航领域的应
用技术有长足进步。
陀螺仪于
1914
年开始作为惯性基准构成飞机的电动陀螺稳定装置。
从
20
年代起，陀螺仪广泛应用于各种运载体（如船舶、飞机
等）上，成为各种运载体的自动控制、
制导和导航系统中测定姿态、角速度、角加速度、
方位的重要元件。
40
年代，陀螺仪开始在
早期导弹上作为制导系统的姿态基准。
50
年代以后陆续出
现陀螺仪转子的液浮、磁浮、动压
气浮、静电悬浮以及挠性支承技术，使陀螺仪的构造得
到很大改善，测量精度大大提高。
在微电子震动陀螺技术和卫
星导航技术飞速发展的今天，传统的机械陀螺惯性导航技术
在导航领域仍然占有一席之位
。到上世纪
80
年代，出现了卫星定位
/
惯性导航组合导航系统。
该导航系统的稳定运行依然有赖于惯
性导航部件，如静电陀螺、微机械陀螺、液浮陀螺等。
惯性导航的优点是：不依赖于任何
外界系统的支持而能独立自主的进行导航，能连续地提供
包括导航基准在内的全部导航参
数，具有对准后良好的短期精度和稳定性。由此可见刚体回
转效应理论将继续指导惯性导
航技术的改进、优化。
当前刚体回转效应已经被扩展应用到惯
性导航之外的技术领域中，如新型高性能机械变
速装置的研发；运用与刚体回转效应相关
的技术成果对传统动力总成的相关理论和技术方法
进行修正；利用陀螺力矩效应对卫星导
弹等进行姿态控制；利用陀螺力矩效应改善直升机飞
行的可操控性和飞行稳定性；刚体回
转效应还被应用到高性能储能飞轮的研发。在今天的物
理学界，对刚体回转效应的应用性
研究，是一个古老而又充满活力的课题。
2.
刚体回转效应原理
第
3
页
刚体绕自身对称轴旋转时，若刚体内或其外延部分上有一点在空间的位置保持不变，则
这种运动称为刚体绕定点运动。如理想条件下玩具陀螺的转动，就属于典型的刚体定点运动
的实例。其模型如图
1
所示
,
一高速旋转的对称陀螺在重力矩
M
< br>o
作用下，按照我们常规的认
(
p
)
识，它接下来的是应当向下倾倒。但实际上它不仅不会倒下
，而且还会整体绕着竖直轴转动。
这就是陀螺效应
.
我们可以想象一下玩具陀螺的运动形式，如果陀螺没有绕自身对称轴的转
动
，在外部扰动和重力作用下，陀螺会自然倾倒在地。这说明处于旋转状态的陀螺在受到外
力矩作用时会发生超常规的运动，此即为作定点运动刚体的回转效应。
Z
Z
’
?
Y
’
O
O
图
1
P
M
(p)
o
X
?
N
?
X
’
图
2
Y
刚
体回转效应是基于刚体定点运动的。为了确定绕定点运动的刚体在空间的位置，以确
定点
O
为原点。取定坐标系
OXYZ
，另取与刚体固结的动坐标系
OX
’
Y
’
Z
’
，如图
2
所示。
O
为与刚体固结的定点。
动坐标平面
OX
’
Y
’
与定坐标平面<
/p>
OXY
的交线，
用
ON
表示，
称为节线。
节线垂直于<
/p>
OZ
和
OZ
’<
/p>
，它的正向如图所示。节线与定轴
OX
间
的夹角
?
称为进动角；节线与
轴
OX
’间的夹角
?
称
为自转角；动轴
OZ
’和定轴
OZ
间的夹角
?
称为章动角。它们合称为欧
拉角。
[
2
]
定点转动刚体在受力状况不同时，会表现出不同的力特性学和运动
规律，这被称为刚体
回转效应，其描述如下：
定轴性：在不受任何外力矩作用时，绕自身对称轴高速旋转的刚体的对称轴在全空间的
< br>指向是恒定不变的。只有在施加了外力矩的时候才可能改变陀螺转轴的方向。
<
/p>
回转性：在没有外力作用的理想状态下，让一个陀螺绕着它的对称轴高速旋转，而后在
其质心处施加一外力，外力对于锥体的顶点形成一个力矩。这时这个锥体会以它的顶点为中<
/p>
心做定点运动，即锥体以此点为中心做空间运动。但是，在此种受力状况下，陀螺不仅不按
照外力矩的“意志”行事，而且会反抗外力矩的作用。当外力矩要使它向下（上）运动时
，
它却表现出向右（左）的运动；而当外力矩要使它向右（左）运动时，它却偏要向上（
下）
运动。这就是刚体回转现象。
第
4
页
陀螺力矩：在高速转动的机械中，当转子的对称轴的方位改变时，转子会受到轴承施加
的作用力。假设转子由两个轴承支撑，那么作用在转子上的两个作用力形成一个作用在转子
上的力矩，这个力矩垂直于转子的转动轴，并且与转子转轴旋转的方向相反。力矩的大小是<
/p>
由转子的转速、转动惯量和转轴转动的角速度共同决定的。
对刚体回转效应的应用就是基于上述三个特性来展开的。以促进应用技术的不断发展。
高速旋转刚体稳定进动时，章动角
?
的大小不变。刚体绕固定轴的进动角速
?
e<
/p>
是进动角
?
对时间
t
的微分，其关系式如下：
?
e
=
d
?
dt
如图
3
所示，设陀
螺以角速度
ω
绕对称轴轴
OZ
’自转，同时
OZ
’又以角速度
?
e
绕
OZ
< br>转
动，即进动角速度为
?
e
。设陀螺对
O
点的动
量矩为
L
o
，陀螺对自转轴的转动惯
量为
J
。
P
表
示作用于陀螺质心的重力，
P
对
O
点的主矩
为
M
o<
/p>
。根据动量矩定理有
(P)
Z
?
A
?
Z
’
u
L
o
?
e
P
O
图
3
d
L
o
(
P
)<
/p>
?
M
o
（
1
）
dt
M
o
(
P
)
u
动量矩矢
L
o
的端点
A
的速度矢量用
u
表
示。按运动学的理解，该矢径对时间的一阶导数，就是动量矩矢
L
o
端点
A
的速度
u
,
即
u=
联立（
1
）
、
（
2<
/p>
）式得
dL
o
（
2
）
dt
(
p
)
u
=
M
o
（
3
）
式（
3
）称为定点转动刚体动量矩的运动学
解释，称为赖柴定理：定点运动刚体对于定点
O
的
动量矩为
L
o
，矢量
L
o
端点
A
的速度
u
，等于外力对于同一点的主矩。即动量
矩矢端点
A
的
速度大小与外力主矩的大
小相等，方向与外力主矩方向相同。
由刚体定轴转动定理可知
第
5
页
u =
?
e
?
L
o
=
?
e
?
J
?
（
4
）
设外力主矩为
M
o
，则
u
=
M
o
可写成
(
P
)
(
P
)
(
P
)
（
5
）
?
e
?
J
?
=
M
o
(
P
)
M
o
于是得进动角速度的大小为：
?
e
=
（
6
）
J
?
sin
?
式中
?<
/p>
为自转轴
OZ
’
与进动轴
OZ
之间的夹角。
上述推导以及结论的成立是基于一个合理的简化。
如图
4
所示，实际上定点转动陀螺的绝对角速度
?
a
与
陀螺的自转轴
O
Z
’
并重合。
?
a
是自转角速度矢量
?
和
进动角速度矢量
?
e
的合
矢量，
它们之间的关系可用下式
表示：
Z
Z
’
?
a
?
e
O
?
图
4
?
a<
/p>
=
?
+
?
e
由此可知，陀
螺的动量矩
L
o
与其自转轴
OZ
’
也不重合。
工程中遇到的陀螺都是绕自身对称轴高速转动的刚体，其自转角速度
?
的大小远大于进动角
速度
?
e
的大小。因此可近似认为
?
< br>a
?
?
,
即陀螺的绝对角速度矢
?
a
与对称轴
OZ
’
重合，其大
小与自转角速度的值相等。于是，陀螺对于定点
O
的动量矩
矢
L
o
可用下列近似公式表示：
L
o
动量矩矢近似
于
OZ
’
重合。
?
J
?
第
6
页