-
材料力学第五版课后答案
孙训芳
[
习题
2-2]
一打入基地
内的木桩如图所示，
杆轴单位长度的摩擦力
f=kx**2
，
试做木桩的后力
图。
解：由题意可得：
l
?
0
1
fdx
?
F
,
有
kl
3
?
F
,
k
?
3
F
/
l
3
3
l
0
F<
/p>
N
(
x
1
)
?
?
3
Fx
2
/
l
3
dx
?
F
(
x
1
/
l
)
3
[
习题
2-3]
石砌桥墩的墩身高
l<
/p>
?
10
m
，其横
截面面尺寸如图所示。荷载
F
?
100
0
kN
，材
料的密度
< br>?
?
2
.
35
kg
/
m
，试求墩身底部横截面上的压应力。
3
解：墩身底面的轴力为：
N
?
?
(
F
?
G
)
?
?
F
?
Al
?
g
2-3
图
?
?
1000
?
(
3
?
2
?<
/p>
3
.
14
?
1
2
)
?
10
?
2
.
35
?
9
.
8
?
?
3104
.
942
(
kN
)
墩身底面积：
A<
/p>
?
(
3
?
2
?
3
.
14
?
1
)
?
9
.
14
(
m
)
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
<
/p>
2
2
?
?
N
?
3104
.
942
kN
?
?<
/p>
?
339
.
71
kPa
?
?
0
.
34
MPa
2
A
9
.
14
m
[
习题
2-7]
图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7
图
解：取长度为
dx
截离体（微元体）<
/p>
。则微元体的伸长量为：
d
(
?
l
)
?
l
Fdx
F
F
l
dx
dx
?
?
，
?
l
?
?
< br>0
0
EA
(
x
)
EA
(
x
)
E
A
(
x
)
r
?
r
d
?
d
1
d
r
?
r
1
x
x
< br>?
1
，
?
，
r
?
2
1
?
x
?
r
1
?
2
l
2
l
2
r
2
?
r
< br>1
l
d
?
d
?
d
1
d
d
?
d
1
?
d
?
d
1
x
?
1
)
?
du
?
2
dx
A
< br>(
x
)
?
?
?
2
x
?
1
?
?
?
?
u
2
，
d
(
2
2
l
2
2
l
< br>2
?
?
2
l
2
2
l
d
?
d
2
l
dx
2
l
du
dx
?
du
，
?
2
2
1
du
?
?
(
?
2
)
d
2
?
d
1
A
(
x
)
?
(
d
1<
/p>
?
d
2
)
?
?
u
u
因此，
?
l
?
?
l
0
l
F
F
l
dx
2
Fl
du
< br>dx
?
?
?
(
?
)
2
?
0
0
EA
(
x
)
E
A
(
x
)
?
E
(
d
1
?
d
2
< br>)
u
?
?
l
?
?
2
F
l
2
Fl
1
?
1
?
?
?
?
?
?
?
d
?
E
(
d
1
?
< br>d
2
)
?
u
?
0
?
E
(
d
1
?
d
2
)
?
d
2
?
d
1
x
?
1
< br>?
?
2
?
?
2
l
?
0
?
?
?
2
Fl
1
1
?
?
?
?
?
d
1
d
1
?
?
E
(
d
1
?
d
2
)
?
d<
/p>
2
?
d
1
l
?
?
2
2
?
?
2
l
?
l
?
?
2
4
Fl
2
Fl
2
?
?
?
?
?
?<
/p>
Ed
d
?
E
(
d
1
?
d
2
)
?
d
2
d
< br>1
?
1
2
[
习题
2-10]
受轴向拉力
F
作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为
E
,
?
，试
求
C
与
D
< br>两点间的距离改变量
?
CD
。<
/p>
解：
?
?
?
??
?
?
?
'
F
/
A
?
F
?
?
E
EA
2
2
'
式中，
A
?
(
a
?
?
)
?
(
a
?
?
)
?
4
a
?
，故：
?
?
?
F
< br>?
4
Ea
?
?
a
F
?
F
?
'
?
?
'
?
?
，
?
< br>a
?
a
?
a
?
?
a
4
Ea
?
4<
/p>
E
?
a
'
?
a
?
145
F
?
2
2
3
a
)
?
(
a
)
?
a
，
CD
?
(
2
3
4
12
4
E
?<
/p>
145
a
'
<
/p>
12
2
2
3
C
'
D
'
?
(
2
3
a
'
)
?
< br>(
4
a
'
)
?
?
(
C
D
)
?
C
'<
/p>
D
'
?
CD
?
145
'
145
F
?
F
?
(
a
?
a
)
?
?
?
?
?
1
.
< br>003
?
12
12
4
E
?
< br>4
E
?
[
习题
2-11]
图示结构中，
AB
为水平放置的刚性杆，杆
1
，
2
，
3
材料相同，其弹
性模量
E
?
210
GPa
，已知
l
?
1
m
，
A
1
?
A
2
?
100
mm
2
，
A
3
?
1
50
mm
2
，
F
?
20
kN
。试求
C
点的水平位移和铅垂位移。
受力图
2-11
图
解：
（
1
）求各杆的轴力
以
AB
杆为
研究对象，其受力图如图所示。
因为
AB
平衡，所以
o
N
cos
45
?<
/p>
0
，
N
3
?
0
，
X
?
0
3
?
变形协调图
由对称性可知
，
?
CH
?
0
，
N
1
?
N
2
?
0
.
5
F
?
0
.
5
?
< br>20
?
10
(
< br>kN
)
（
2
）求
C
点的水平位移与铅垂位移
。
A
点的
铅垂位移：
?
l
1
?
N
1
l
10000
N
?
1000
mm
?
?
0
.
476
mm
2
2
EA
1
210000
N
/
mm
?
100
mm
N
2
l
10000
N
?
1000
mm
?
?
0
.
4
76
mm
EA
2
210000
N
/
mm
2
?
100
mm
2
B
点的铅垂位移：
< br>?
l
2
?
1
、
2
、
3
杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由
1
、
2
、
3
杆的变形协（谐）调条件，
并且考虑到
AB
为刚性杆，可以得到
o
C
点的水平位移：
?
CH
?
?
AH
?
?
BH
?
?
l
1
?
tan
4
5
?
0
.
47
6
(
mm
)
C
点的铅垂位移：
?
< br>C
?
?
l
1
?
0
.
4
76
(
mm
)
[
习题
2-12]
< br>图示实心圆杆
AB
和
AC
在
A
点以铰相连接，在
A
点作用有铅垂向下的力
F
?
35
kN
。已知杆
A
B
和
AC
的直径分别为
d
1
?
12
< br>mm
和
d
2
?
15
mm
，钢的弹性模量
E
?
210
GPa<
/p>
。试求
A
点在铅垂方向的位移。
解：
（
1
）求
AB
、
AC
杆的轴力
以节点
A
为研究对象，其受力图如图所示。
由平衡条件得出：
o
o
N
sin
30<
/p>
?
N
sin
45
?
0
：
X
?
0
AC
AB
?
N
AC
?
2
N
AB
………………………
(a)
?
Y
?
0
：
N
AC
cos
30
o
?
N
AB
cos
45
o
?
35
?
0
3
N
AC
?
2
N
AB
?
70
………………
(b)
(a)
(b)
联立解得：
N
AB<
/p>
?
N
1
?
18
.
117
kN<
/p>
；
N
AC
?
N
2
?
25
.
621
kN
（
2
）由变
形能原理求
A
点的铅垂方向的位移
<
/p>
2
N
1
2
l
1
N
2
l
2
1
F
?
A
?
?
2
2
EA
1
2
EA
2
2
l
2
1
N
< br>1
2
l
1
N
2
?
A
?
(
?
)
F
EA
1
EA
2
式中，
l
1
?
1000
/
sin
45
?
1414
(
mm
)
；
< br>l
2
?
800
< br>/
sin
30
?
1600
(
mm
)
A
1
?
0
.
25
?
3
.
14
?
12
?
113
mm
；
A
2
?
0
.
25
?
3
.
14
?
15
?
177
mm
2
2
2
2
o
o
1
< br>18117
2
?
1414
25621
2
?
16
00
(
?
)
?
1
.
366
(
mm
)
故：
?<
/p>
A
?
35000
210000
?
113
210000<
/p>
?
177
[
习题
2-13]
图示
A
< br>和
B
两点之间原有水平方向的一根直径
< br>d
?
1
mm
的钢丝，
在钢丝的中点
C
加一竖向
荷载
F
。
已知钢丝产生的线应变为
?
?
0
.
0035
，
其材料的弹性模量
< br>E
?
210
GPa
，
钢丝的自重不计。试求：
（
1
）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉
，在断裂前可认为符合胡克定律）
；
（
2
）钢丝在
C
点下降的距离
?
；
（
3
）荷载
F
的值。
解：
（
1
）求钢丝横截面上的应力
?
?
E
?
?
210000
?
0<
/p>
.
0035
?
7
35
(
MPa
)
（
2
）求钢丝在
C
点下降的距离
?
?
l
?
Nl
l
2000
?
?
?
?
735
?
?
7
(
mm
)
。其中，
AC
和
BC
各
3
.
5
mm<
/p>
。
EA
E
210000
1000
?
< br>0
.
996512207
1003
.
5
10
00
?
?
arccos(
)
?
4
.
7867339
o
1003
.
5
cos
?
?
?
?
1000
tan
4
.
7867339
o
?
83
.
7
< br>(
mm
)
（
3
）求荷载
F
< br>的值
以
C
结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
?
Y
?
0
：
2
N
sin
a
?
P
?
0
P
?
2
N
sin
a
?
2
?
A
< br>sin
?
?
< br>2
?
735
?
< br>0
.
25
?
3
.
14
?
1
2
?
sin
4
.
787
0
?
96
.
239
(
N
)
[
习题
2-15]
水平刚性杆
AB
由三根
BC,BD
和
ED
支撑，如图，在杆的
A
端承受铅垂荷载
F=20KN,
三根钢杆的横截
面积分别为
A1=12
平方毫米，
A2
=6
平方毫米，
A,3=9
平方毫米，
杆的弹性模量
E=210Gpa
，求：
（
1
）
端点
A
的水平和铅垂位移。
（
2
）
应用功能原理求端点
A
的铅垂位移。
解：
（
1
）
1
3
fdx
?
F
,
有
kl
?
F
?
0
3
k
?
3
F
/
l
3
l
F
N<
/p>
(
x
1
)
?
?
3
Fx
2
/
l
3
dx
?
F
(
x
1
/
l
)
3
0
l
?
F
N
3
co
s
45
?
0
?
?
?
F
N
1
?
F
2
?
F
N
3
sin
45
?
F
?
0
?
?
F
?
0.45
?
F
?
0.15
?
0
N
1
?
?
F
1
?
?
60
KN
,
F
1
?
?
401
KN
,
F
1
?
0
KN
,
由胡克定理，
F
N
< br>1
l
?
60
?
10
7
?
0.15
?
l
1
?
?
?
3.87
< br>9
?
6
EA
1
210
?
10
< br>?
12
?
10
< br>F
N
2
l
40
?
1
0
7
?
0.15
?
l
2
?
?
?
4.76
9
?
6
EA
2
210
?
10
?
12
?
10
从而得，
?
< br>A
x
?
?
l
2
?
4.76
，
?
A
y
?
?
l
2
?<
/p>
2
?
?
l
1
?
3
?
20.23
（
?
）
（
2
）
V
?
?
F
?
?
A
y
?
F
1
?
?
l
1
< br>+
F
2
?
?
l
2
?
0
?
A
y
?
20.33
（
?
）
[
习题<
/p>
2-17]
简单桁架及其受力如图所示
，水平杆
BC
的长度
l
保持不变，斜杆
AB
的长度
可
随夹角
?
的变化而改变。
两杆由同一种
材料制造，
且材料的许用拉应力和许用压应力相等。
要求两杆内
的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：
（
1
）两杆的夹角；
（
2
）两杆横截面面积的比值。
<
/p>
解：
（
1
）求轴
力
取节点
B
为
研究对象，由其平衡条件得：
?
Y
?
0
F
sin
?
N
AB<
/p>
sin
?
?
F<
/p>
?
0
N
AB
?
?
X
?
0
F
?
cos
?
?
F
cot
?
2-17
sin
?
?
N
AB
cos
?
?<
/p>
N
BC
?
0
N
BC
?<
/p>
?
N
AB
cos
?
?
（
2
）求工作应力
?
AB
?
N
AB
F
?
A
AB
A
AB
sin
?
?
BC<
/p>
?
N
BC
F
cot
?
?
A
BC
A
BC
（
3
）求杆系的总重量
3
W
?
?
?
V
?
?
(
A
AB
l
AB
?
A
BC
l
BC
)
。
?
是重力密度（简称重度，单位：
kN
/
m
）
< br>。
?
?
(
A
AB
l
?
A
BC
l
)
cos
?
1
?
?
?
l
(
A
AB
?
A
BC
)
cos
?
N
AB
F
F
?
?
[
?
]
，
A
AB
?
< br>A
AB
A
AB
< br>sin
?
[
?
< br>]
sin
?
N
< br>BC
F
cot
?
F
c
o
?
t
?
?
[
?
]
，
A
BC
?
<
/p>
A
BC
A
BC<
/p>
[
?
]
（
4
）代入题设条件求两杆的夹角
条件①：
?
AB
?
?
BC
?
条件⑵：
W
的总重量为最小。
W
?
?
?
l
(
A
AB
?
?
?
l
(
1
1
?
A
BC
)
?
?
?
l
(
A
AB
?
A
BC
)
cos
?
cos
?
F
1
F
cot
?
Fl
?
1
cos
?
?
?
)
?
(
?
)
[
?
]
sin
?
cos
?
[
?
]
[
?
]
sin
?
cos
?
sin
?
Fl
?
?
1
?
cos
2
?
?
2
Fl
?
?
1
?
cos
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
cos
?
?
?
?
?
?
sin
2
?
?
从
W
的表达式可知，
W
是
?
角的一元函数。当
W
的一阶导数等于零时，
W
取得
最小
值。
dW
2
Fl
?
?
?
2
cos
?
sin
?
?
sin
2
?
?
(
1
?
cos
2
?
)
cos
2
?
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
0
?
?
?
?
d
< br>?
sin
2
?
< br>?
?
sin
2
< br>2
?
?
3
?
cos
2
?
?
cos
2
?
?
2
?
0
2
?
sin
2
2
?
?
3
cos
2
?
?
cos
2
2
?
?
0
3
cos
2
?
?
?
1
，
cos
2
?
?
?
0
.
3333
2
?
?
arccos(
?
0
.
3333
)
?
109
.
47
o
，<
/p>
?
?
54
.
74
o
?
54
o
44
'
（
5
）求两杆横截面面积的比值
A
AB<
/p>
?
F
F
cot<
/p>
?
，
A
BC
?
[
?
]
sin
?
[
?
]
A
AB
A<
/p>
BC
F
1
1
[
?
]
sin
?
?
?
?
F
cot
?
sin
?
cot
?
cos
?
[
?
]
2
因为：
3
c
os
2
?
?
?
1
，
2
cos
cos
?
?
?
?
1
?
?
，
cos
2
?
?
1
3
1
3
1
3
< br>，
1
?
3
cos
?
所以：
A
A
B
?
3
A<
/p>
BC
[
习题
2-
18]
一桁架如图所示。各杆都由两
个等边角钢组成。已知材
料的许用应力
[
?
]
< br>?
170
MPa
，试选择
AC
和
CD
的角钢<
/p>
型号。
解：
（
1
）求支座反力
由对称性可知，
R
A
?
R
B
?
220
kN
(
?
)
（
2
）求
AC
杆和
CD
杆的轴力
以
A
节点为研究对象，由其平
衡条件得：
?
Y
?
0
2-18
R
A
?
N
AC
cos
?
?
0
N
AC
?<
/p>
R
A
220
?<
/p>
?
366
.
66
7
(
kN
)
sin
?
3
/
5
以
C
节点为研究对象，由其平衡条件得：
?
X
?
0
220
?
4
/
5
?
293
.
333
(
kN
)
3
/
5
N
CD
?
N
AC
cos
?
?
0
N
CD
?<
/p>
N
AC
cos
?
?
（
3
）由强度条件确定
AC
、
< br>CD
杆的角钢型号
AC
杆：
A
AC<
/p>
?
N
AC
366
667
N
?
?
2156
.
86
mm
< br>2
?
21
.
569
cm
2
< br>2
[
?
]
170
N
/
mm
2
选用
2<
/p>
∟
80
?
7
（面积
2
?
10<
/p>
.
86
?
21<
/p>
.
72
cm
）<
/p>
。
CD
杆：
A
CD
?<
/p>
N
CD
293333
N
2
2
?
?
1725
.
488
< br>mm
?
17
.
< br>255
cm
2
[
?
]
170
N
/
mm
2
< br>
选用
2<
/p>
∟
75
?
6
（面积
2
?
8
.
797
?
17<
/p>
.
594
cm
）
。
[
习题
2-19]
< br>一结构受力如图所示，杆件
AB
、
CD
、
EF
、
GH
都由两根不等边角钢组成。已
知材料的许用应力
[
?
]
?
170
MPa
，材料的弹性模
量
E
?
210
GPa
，杆
AC
及
< br>EG
可视为刚性的。试
选择各杆的角钢型号，并分别求点
D
、
C
、
A
处的铅
垂位移
?
D
、
?
C
、
?
A
。
解：
（
1
）求各杆的轴力
N
AB
?
N
CD
3
.
2
?
300
?
240
(
kN<
/p>
)
4
0
.
8
?
?
300
?
60
(
kN
)
4
F
?
M
?
0
N
GH
?
3
?
300
?
1
.
5
?
60
?
1
.
2
?
0
2-19
1
N
GH
?
(
450
?
72
)
?
174
(
kN
)
3
?
Y
?
0
N
EF
?
174
?
6
0
?
300
?
0
N
EF
?
186
(
kN
)
（
2
）由
强度条件确定
AC
、
CD
杆的角钢型号
AB
杆：
A
AB
?<
/p>
N
AB
240000
N
?
?
1411
< br>.
765
mm
2
?
14
.
12
cm
2
2
< br>[
?
]
170
< br>N
/
mm
2
选用
2
∟<
/p>
90
?
56
?<
/p>
5
（面积
2
?<
/p>
7
.
212
?<
/p>
14
.
424
c
m
）
。
CD
杆：
A
CD<
/p>
?
N
CD
600
00
N
?
?
3
52
.
941
mm
2
?
3
.
529
cm
2
2
[
?
]
1
70
N
/
mm
2
选用
2<
/p>
∟
40
?
25<
/p>
?
3
（面积
2<
/p>
?
1
.
89
?
3
.
78
cm
）
。
EF
杆：
A
EF
?<
/p>
N
EF
186000
N
2
2
?
?
1094
.
118
< br>mm
?
10
.
< br>412
cm
2
[
?
]
170
N
/
mm
2
< br>
选用
2<
/p>
∟
70
?
45<
/p>
?
5
（面积
2<
/p>
?
5
.
609<
/p>
?
11
.
218
cm
）
。
GH
杆：
A
GH
?<
/p>
N
GH
174000
N
2
2
?
?
1023
.
529
< br>mm
?
10
.
< br>353
cm
2
[
?
]
170
N
/
mm
2
< br>
选用
2<
/p>
∟
70
?
45<
/p>
?
5
（面积
2<
/p>
?
5
.
609<
/p>
?
11
.
218
cm
）
。
（
3
）求点
D
、
C
、
A
处的铅垂位移
?
D
、<
/p>
?
C
、
?
A
?
l
AB
?
N
AB
l
AB
240000
?
3400
?
?
2
.
694
?
2
.
7
(
mm
)
EA
AB
210000
?
1442
.
4
N
CD
l
CD
60000
?
1200
?<
/p>
?
0
.
907<
/p>
(
mm
)
EA
CD
210000
?
378
N
EF
< br>l
EF
186000
?
2000
?
?
1
.
580
(
mm
)
EA
EF
210000
?
1121
< br>.
8
?
l
CD
?
?
l
EF
?
?
l
GH
?
N
GH
l
GH
174000
?
2000
?
?
1
.
47
7
(
mm
)
EA
GH
210000
?
1121
.
8
EG
杆的变形协调图如图所示。
< br>?
D
?
l
GH
1
.
8
?
l
EF
?<
/p>
l
GH
3
?
D
?
1
.
477
1
.
8
?
1
.
580
?
1
.
477
3
?
D
?
1
.
54
(
mm
)
< br>?
C
?
?
D
?
l
CD
?
1
.
54
?
0
.
907
?
2
.
45
(<
/p>
mm
)
?
A
?
l
AB
?
2
.
7
(
mm
)
[
习题
2-21]
< br>（
1
）刚性梁
AB
用两根钢杆
AC
、
BD
悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆
AC
和
BD
的直径分别为
d
< br>1
?
25
mm
< br>和
d
2
?
18
mm
，钢的许用应力
[
?
]
?
170
MPa
，弹性模量
E
?
210
GPa
。试校核钢杆的强度，并
计算钢杆的变形
?
l
AC
、
?
l
BD
及
A
、
B
两点的竖向位
移
?
A
、
?
B
。
< br>
解：
（
1
）校核钢杆的强度
①
求轴力
N
AC
?
N
BC
3
?
100
?
66
.
667
(
kN
)
4
.
5
1
.
5
?
?
100
?
33
.
333<
/p>
(
kN
)
4
.
5
N
AC
66667
N
?<
/p>
A
AC
0
.
25
?
3
.
14
?
25
2
mm
2
②
计算工作应力
?
AC
?
?
135
.
882
MPa
?
BD
?
N
BD
33333
N
< br>?
2-21
2
2
A
BD
0
.
25
?
3
.
14
?
18
mm
?
1
3
1
.
0
5
7
M
P
a
③
因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力
170MPa
，即
?
AC
?
[
?
]
；
?
BD
?
[
< br>?
]
，所以
AC
及
BD
杆的强度足够，不会发生破坏。
（
2
）计算
?
l
AC
、<
/p>
?
l
BD
?
l
AC<
/p>
?
N
AC
l
AC
66667
?
2500
?
?
1
.
618
(
mm
)
EA
AC
210000
?
490
.
625
N
BD
l
BD
33333
?
2
500
?
?
1
.
560
(
mm
)
EA
BD
210000
?
254
.
34
?
l
BD
?
（
3
）计算
A
、
B
两点的竖向位移
?
A
、
?
B
?
A
?
?
l
AC
?
1
.
618
(
mm
)
，
?
B
?
?
l
BD
?
1
.
560
(
mm
)
[
习题
3-2]
实心圆轴的直径
d
?
100
mm
，
长
l
?
1
m
，
其两端所受外力偶矩
M
e
?
14
kN
?
m
，
材料的切变模量
G
< br>?
80
GPa
。试求：
（
1
）最大
切应力及两端面间的相对转角；
（
2
）
图示截面上
A
、
B
、
C
三
点处切应力的数值及方向；
（
3
）
C
点处的切应变。
解：
（
1
）计算最大切应力及两端面间的相对转角
?
max
?
M
T
?
e
。
W
p
W
p
1
1
?
d
< br>3
?
?
3
.
14159
?
100
3
?
196349
(
mm
3
)
。
3-2
16
16
式中，
W
p<
/p>
?
故：
?
max
M
e
14
?<
/p>
10
6
N
?
mm
?
?
?
71
.
302
MPa
3
W
p
196349
mm
?
?
1
1
T
?
l
，
式中，
I
p
?
?
d
4
?
?
3
.
14159
?
100
4
?
981
7469
(
mm
4
)
。
故：
32
32
GI
p
T
?
l
14000
N
?
m
?
1
m
?
?
0
.
0178254
(
rad
)
?
1
.
02
o
9
< br>2
?
12
4
GI
p
80
?
10
N
/
m
?
9817469
?
10
m
?
?
（
2
）求图示截面上
A
、
B
、
C
三点处切应力
的数值及方向
?
A
?
?
B
?
?
max
?
71
.
302
MPa<
/p>
，
由横截面上切应力分布规律可知：
A
、
B
、
C
三点的切应力方向如图所示。
?
C
?
?
B
?
0
.
< br>5
?
71
.
302
?
35
.
< br>66
MPa
，
（
3
）计算
C
点处的切应变
?
C
?
1
2
?
C
G
?
35
.
66
MPa
?
4
?
3
?
4
.
4575
?
10
?
0
.
446
?
10
3
80
?
10
MPa
[
习题
3-3]
空心钢轴的外径
D
?
< br>100
mm
，内径
d
?
50
mm
。已知间距为
l
?
2
.
7
m
的两横截
面的
相对扭转角
?
?
1
.
8
，材料的切变模量
G
?
80
GPa
。试求：
（
1
）轴内
的最大切应力；
o
（
2
）当轴以
n
?
80
r
/
min
的速度旋转时，轴所传递的功率。
解；
（
1
）计算轴内的最大切应力
< br>
1
1
?
D
4
(
1
?
?
4
)
?
?
3
.
14159
?
100
4
?
(
1
?
0
.
5
4
)
?
9203877
(
m
m
4
)
。
<
/p>
32
32
1
1<
/p>
W
p
?
?
D
3
(
1
?
?
4
)
?
?
3
.
14159
?
100
3
?
(
1
?
0
.
5
4
)
?
184078
(
mm
3
)
16
16
式中，
?<
/p>
?
d
/
D
。
I
p
?
?
?
T
?
l
，
GI
p
T
?
?
GI
p
l
1
.
8
?
3<
/p>
.
14159
/
180
?
80000
N
/
mm
2
?
< br>9203877
mm
4
?
2700
mm
< br>?
8563014
.
45
N
?
mm
?
8
.
563
(
kN
?
m
)
?
max
?
T
8563014
.
< br>45
N
?
mm
< br>?
?
46
.
518
MPa
W
p
184078
mm
3
（
2
）当轴以
n
?
80
r
/
min
的速度旋转时，轴所传递的功率
T
?
M
e
?
9
.
549
N
k
N
?
9
.
549
?
k
?
8
.
563
(
kN
?
m
)
n
80
< br>N
k
?
8
.
563
?
80
/
9
.
549
?
71
.
74
(
kW
)
[
习题
3-5]
< br>图示绞车由两人同时操作，
若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力
F
均为
0.2kN
，
已知轴材料的许用切应力
[
?
< br>]
?
40
MPa
，试求：
（
1
）
AB
轴的直径；
（
2
）绞车所能吊起的最大重量。
解：
（
1
）计算
AB
轴的直径
AB
轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶
矩相等：
M
e
左
?
M
e
右
?
0
.
2
?
0
< br>.
4
?
0
.
08
(
kN
?
m
)
M
e
主动轮
?
2
M
e
右
?
0
.
16
(
kN
?
m
)
扭矩图如图所示。
3-5
由
AB<
/p>
轴的强度条件得：
?
max
?
M
e
右
16
M
e
右
?
?
[
?
]
3
W
p
?
d
16
M
e
右
16
?
80000
N
?
mm
d
?
< br>?
3
?
21
.
7
mm
?
[
?
]
3
.
14159
?
40
N
/
mm
2
3
（
2
）
计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
M
e
主动轮
0
.
2
?
M
e
从动轮
0
.
35
，
M
e
从动轮
?
0
.
35
?
0
.
16
?
0
.
28
(
kN
?
m
)
0
.
20
由卷扬机转筒的平衡条件得：
P
?
0
.
25
?
M
e
从动轮
，
P
?
0
.
25
?
0
.
28
P
?
0
.
28
< br>/
0
.
25
?
1
.
12
(
kN
)
[
习题
3-6]
已知钻探机钻杆（参看题
3-2
图
）的外径
D
?
60
mm
，内径
d
?
< br>50
mm
，功率
P
?
7
.
355
kW
，
转速
n
?
180
r
/
min
，
钻杆入土深度
l<
/p>
?
40
m
，
钻杆材料的
G
?
8
0
GMPa
，
许用切应力
[
?
]
?
< br>40
MPa
。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的
，试求：
（
1
）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度
m
；
（
2
）作钻
杆的扭矩图，并进行强度校核；
（
3
）两端截面的相对扭转角。
解：
（
1
）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集
度
m
M
e<
/p>
?
9
.
549<
/p>
N
k
7
.
355
?
9
.
549
?
?
0
.
390
(
kN
?
m
)
n
180
设钻杆轴为
x
轴，则：
?
M
x
?
0
，
ml
?
M
e
，
m
?
M
e
0
.
390
?
?
0
.
00975
(
kN
/
m
)
l
40
（
2
）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
T
< br>(
x
)
?
?
mx
?
?
0
.
39
x
?
?
0
.
009
75
x
。
x
?
[
0
,
40<
/p>
]
40
T
(
0
)
?
0
；
T
(
40
)
?
M
e
?
?
0
.
390
(
kN
?
m
)
扭矩图如图所示。
②强度校核，
?
max
?
式
中，
W
p
?
M
e
W
p
1
1
50
?
D
3
(
1
?
?
4
)
?
?
3
.
14159
?
60
3
?
[
1
?
< br>(
)
4
]
?
21958
(
mm
3
)
16
< br>16
60
?
max
?
M
e
390000
N
?
mm
?
?
17
.
761
MPa
W
p
21958
mm
3
因
为
?
max
?
17
.
761
MPa
< br>，
[
?
]
?
40
MPa
，即
< br>?
max
?
[
< br>?
]
，所以轴的强度足够，不
会
发生破坏。
（
3
）计算两端截面的相对扭转角
?
?
?
40
0
T
(
x
)
dx<
/p>
GI
p
1
1
50
?
D
4
(
1
?
?
4
)
?
?
3
.
14159
?
60
4
?
[
1
?
(
< br>)
4
]
?
658752
(
mm
4
)
32
32
60
式中，
I
p
?
?
?
?
40
0
|
T
< br>(
x
)
|
dx
1
?
GI
p
GI
p
0
?
40
0
0
.
00975
x
2
40
0
.
00975
xdx
?
[
]
0
80
?
10
6
kN
/
m
< br>2
?
658752
?
10
?
12
m
4
2
(
r
a
d
)
?
8
.
5
?
0
.
1
4
8
[
习题
3-8]
直径
d
?
50
mm
的等直圆杆，在自由端截面上承受外
力偶
M
e
?
6
kN
?
m
，而
在
圆杆表面上的
A
点将移动到
A
1
点，如图所示。已知
?
s
?
AA
1
?
3
mm
，
圆杆材料的弹性模
量
E
?
210
GPa
，试求泊松比
?
（提示：各向同性材料的三个弹性常数
E
、
G
、
?
间存在如
下关系：
G
?
?
E
。
2
(
1
?
?
)
解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：
T
?
M
e
?
6
kN
?
m<
/p>
。
设
O
,
O
1
两截面之间的相对对转角为
?
，则
?
s
?
?
?
d
，
2
?
?
T
?
l
2
?<
/p>
s
2
?
?
s
?
，
?
?
式
中
，
GI<
/p>
P
d
d
I
p
?
1
1
?
d
4
?
?
3
.
14159
?
50
4
?
6
1
3
5
< br>9
(
mm
2
4
)
3-8
32
32
T
?
l
?
d
6
?
10
6
N
?
mm
?
1000
mm
?
50
mm
G
?
?
?
81487
.
372
MPa
?
8
1
.
4874
GPa
< br>
4
2
I
p
?
s
2
?
613592
mm
?
< br>3
mm
由
G
?
E
E
210
得：
?
?
?
1
?
?
1
?
0
.
289
2
(
1
?
?
)
2
G
2
?
81
.
4874
[
习题
3-10
]
长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，
受力情况也一样。实心轴直径为
d
；空心轴的
外径为
D
，内径为
d
< br>0
，且
d
0
?
0
.
8
。试求当
D
空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应
力
（
?
max
?
[
?
]
）<
/p>
，
扭矩
T
相等时
的重量
比和刚度比。
解：
（
1
）求空心圆轴的最大切应力，并求
D
。
?
max
?
T
W
p
1
?
D
3
(
1
?
?
4
)
，故
：
16
式中，
W
p
?
?
max,
空
?
D<
/p>
3
?
16
T
27
.
1
T
?
?
[
?
]
3
4
3
?
D
(
1
?
0
.
8
)
?
D
27
.
1
T
3-10
?
[
?
]
（
1
）
求实心圆轴的最大切应力
?
max<
/p>
?
d
3
?
1
16
T
16
T
T
，式中，
W
p
?
?
d
3
，故：
?
max,
实
?
3
?
3
?
[
?
]
16
?
d
?
d
< br>W
p
16
T
D
3
27
.
1
T
?
[
?
]
D
?
?
1
.
69375
，
?
1
.
192
，
(
)
?
?
[
?
]
d
?
[
?
]
16
T
d
（
3
）求空心圆轴与实心圆
轴的重量比
W
空
0
.
25
?
(
D
2
?
d
0
2
)
?
l
?
?
D
2
D
2
2
2
< br>?
?
(
)
(
1
?
0
.
8
)
?
0
.
36
(
)
?
0
.
36
?
1
.
1
9
2
?
0
< br>.
5
1
2
2
W
实
d
d
0
.
25
?<
/p>
d
?
l
?
?
1
1
?
D
4
(
1
?
0
.
8
4
)
?
0
.
01845
?
D
4
，
I
p
实
?
?
d
4<
/p>
?
0
.
0312
5
?
d
4
<
/p>
32
32
（
4<
/p>
）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
I<
/p>
p
空
?
GI
p
空
GI
p
实
0
.
01845<
/p>
?
D
4
D
4
4
?
?
0
.
5904
(
)
?
0
.
5904
?
1
.
192
?
1
.
192
4
d
0
.
03125
?
d
[
习题
3-11]
全长为
l
，两端面直径分别为
d
1
,
d
2
的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩
M
e
，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。
解：如图所示，取微元体
dx
，则其两端面之间的扭转
角为：
d
?
?
M
e
dx
GI<
/p>
P
1
?
d
4
32
式中，
I
p
?
r
?
r
1
x
?
r
2
< br>?
r
1
l
r
?
r
2
?
r
1
d
?
d
1
d
?
x
?
r
1
?
2
x
?
< br>1
l
2
l
2
d
?
2
r
?
d
2
?
d
1
< br>x
?
d
1
l
d
4
?
(
d
2
?
d
1
x
?
d
1
)
4
?
u
4
< br>l
du
?
故
d
2
?
d
1
l
du
d
x
，
dx
?
d
2
?
d
1
l
：
M
dx
M
?
?
?
e
?
e
0
GI
G
p
l
< br>dx
M
e
?
0
I
p
?
G
l
32
dx
32
M
e
?
0
?
d
4
?
?
G
l
l
du
32
M
e
l
1
l
?
0
u
4
?
< br>d
2
?
d
1
du
?
?
G
(
d
2
?<
/p>
d
1
)
?
0
u
4
l
l
?
?
?
?
l
du
< br>32
M
e
l
32
M
e
l
32
M
l
1
l
1
e
?
?<
/p>
?
?
[
?
]
?
?
0
4
3
3
?
?
G
(
d
2
?
d
1
)
0
u
?<
/p>
G
(
d
2
?
d
1
)
3
u
3
?
G
(
d
2
?
d
1
)
?
?
d
2
?<
/p>
d
1
?
?
?
?
x
?
d
1
?
?
?
?
?
?
?
l
?
0
3
2
?
1
?<
/p>
d
1
3
?
d
2
?
32
M
e
l
?
d
1
2
?
< br>d
1
d
2
?
d
2
?
3
2
M
e
l
32
M
e
l
1
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
3
< br>?
3
?
?
?
?
3
3
?
?
3
3
?
?
3
?
G
(
d
2
?
d
1
)
< br>?
d
2
d
1
?
3
?
G
(
d
1
?
d
2
)
?
d
1
d
2
?
3
?
G
< br>?
d
1
d
2
?
[
习题
3-12]
已知实心圆轴的转速
n
?
300
r
/
m
in
，传递的功率
p
?
330
kW
，轴材料的许用
切
应力
[
?
]
?
60
MPa
，切变模量
G
?
80
GPa
。若要求在
2m
长度的相对扭转角不超过
1
，
试求该轴的直径。
解：
?
?
o<
/p>
T
?
l
M
e
l
?
?
?
1
?
GI
P
GI
p
180
N
k
1
330
?
9
.
549
?
?
10
.
504
(
kN
?
m
)
；
I
p
?
?
d
4
。故：
n
300
32
式中，
M
e
?
9
< br>.
549
I
p
< br>?
180
M
e
< br>l
180
M
e
< br>l
1
?
?
d
4
?
，
?
G
32
?<
/p>
G
6
32
?
180
M
l
32<
/p>
?
180
?
10
.
504
?
1
0
N
?
mm
?
2000
mm
e
4
d
?
4
?
?
111
.
2
92
mm
?
2
G
3
.
14
2
?
80000
N
/
mm
2
取
d
?
111
.
3
mm
。
[
习题
3-16]
< br>一端固定的圆截面杆
AB
，承受集度为
< br>m
的均布外
力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能
。已矩材料的切
变模量为
G
。
T
2
(
x
)
dx
?
解：
dV
?
?
2
GI
p
m
< br>2
x
2
dx
16
m
2
x
2
dx
?
4
1
?
d
G
2
?
G
?
?
d
4
< br>32
m
2
l
3
m
2
l
3
?
3-16
1
6
GI
p
6
?
?
d
4
G
32
16
m
2
l
2
16<
/p>
m
2
l
3
V
?
?
x
dx
?
?
4
4
?
0
?
< br>d
G
3
?
d
G
[
习题
3-18]
一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力
F
如图，簧丝直径
d
?
10
mm
，材料的许
用切应力
[
?
]
?
< br>500
MPa
，切变模量为
G<
/p>
，弹簧的有效圈数为
n
。试求：
（
1
）弹簧的许可切应力；
（
2
）证明弹簧的伸长
?
?
解：（
1
）求弹簧的许可应力
< br>
用截面法，以以簧杆的任意截面取
出上面部分为截离
体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：
<
/p>
剪力
Q
?
F
扭矩
T
?
FR
最大扭矩：
T
m
ax
?
FR
2
16
Fn
2
(
R
1
?
R
2
)(
R
2
1
?
R
2
)
。
4
Gd
?
max
?
?
'
?
?
< br>
?
Q
T
max
4
F
16
FR
2
16
FR
2
d
?
?
2
?
?
(
1<
/p>
?
)
?
[
?
]
，
3
3
A
W
p
?
d
4
R
2
?
d
?
d
3
.
14
?
10
3
mm
3
?
500
N
/
mm
2
[<
/p>
F
]
?
?
?
957
.
3
N
d
10
mm
16
R
2
(
1
?
)
16
?
100
mm
(
1
?
)
4
R
2
4
< br>?
100
mm
因为
D
/
d
?
< br>200
/
10
?
20
?
10
，
所以上式中小括号里的第二项，
即由
Q
所产生的剪应力可以忽略不计。此时
?
d
3
[
?
]
< br>3
.
14
?
10
3
mm
3
?
500
N
/
mm
2
[
F
]
?
?
?
9
81
.
25
N
d
16
?
10
0
mm
16
R
2
(
1
?
)<
/p>
4
R
2
（
2
）证明弹簧的伸长
?
?
?
d
3
[
?
]
16
Fn
2
(
R
1
?
R
2
)(
R
2
1
?
R
2
)
4
Gd
1
T
< br>2
(
R
?
d
?
)
< br>外力功：
W
?
F
?
，
dU
?
2<
/p>
2
GI
p
U
?
?
2
?
n
0
(
FR
)
2
(
R
?
d
?
)
F
2
?
2
GI
p
2
GI
p
?
2
?
n<
/p>
0
F
2
3
R
d
?
?
2
GI
p
?
2
?
n
0
< br>R
?
R
1
[
R
1
?
2
?
?
]
d
?
2
?
n
3
4
?
R
1
4
F
< br>2
?
n
R
2
?
?
4
GI
p
R
2
?
R
1
4
?
R
1
4
1
F
2
?
n
R
2
< br>
?
W
?
U
，
F
?
?
2
4
GI
p<
/p>
R
2
?
R
1
4
?
R
1
4
16
F
?
n
2
F
< br>?
n
R
2
2
?
?
?
?
(
R
?
R
)(
R
1
?
R
2
)
1
2
4
2
GI
p
R
2
< br>?
R
1
G
?
d
[
习题
3-19]
图示矩形截面钢杆承受一对外力偶
M
e
?
3
kN
?
m
。已知材料的切变模量
G
?
80
GPa
，试求：
（
1
）
杆内最大切应力的大小、位置和方向；
（
2
）
横截面短边中点处的切应力；
（
3
）
杆的单位长度扭转角。
解
：
（
1
）求杆内最大切应力的大小、位置和方向
，
，
，
由表得
，
，
长边中点处的切应力，在上面，由外指向里
< br>（
2
）计算横截面短边中点处的切应力
< br>
MPa
短边中点处的切应力，在前面由上往上
（
3
）求单位长度的转角
单位长度的转角
[
习题
3-23]
< br>图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。
两杆
的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：
（
1
）
最大切应力之比；
（
2
）
相对扭转角之比。
解：（
1
）求最大切应力之比
开口：
?
max,
开口
?
M
e
?
I
t
1
2
I
t
?
?<
/p>
2
?
r
0
?
?
3
?
?
r
0
?
3
3
3
依题意：
2
?
r
0
?
4
a
，故：
1
2
4
a
3
I
< br>t
?
?
2
?
r
0
?
?
3
?
?
r
0
?
3
?
?
3
3
3
?
max,
开口
?
M
e
?
3
M
e
3
< br>?
M
e
?
?
I
t
4
a
?
3
4
a
?
2
闭口：
?
max,
闭口
?
max,
开口
3
M
e
2
a
2
?
3
a
M
e
M
e
?
?
2
，
?
?
?
2
< br>2
A
0
?
2
a
?
?
m
ax,
闭口
4
a
?
M
e
2
?
（
3
）
求相对扭转角之比
开口：
I
t
?
M
3
M
e
< br>T
1
2
4
a
3
'
?
?
e
?
?
2
?
r
< br>0
?
?
3
?
?
r
0
?
3
?
?
，
?
开口
3
GI
t
GI
t
4
Ga
?
3
3
3
M
e
s
M
e
?
4
< br>a
M
e
Ts
?
?
?
4
GA
0
2
?
4
GA
0
2<
/p>
?
4
Ga
4
?
Ga
3
?
闭口：
?
闭口
?
'
'
?
开口
3
M
e
Ga
3
?
3
a
2
?
?
?
< br>
'
3
2
M
?
闭口
4
Ga
?
4
?
e
4-1
试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩
a
（
5
）
=h
（
4
）
q
0
?
2
a
?
q
0
a
2
1
q
3
F
S
1
?
1
?
< br>q
0
a
?
?
0
a
?
q
0
a
2
2
4
1
1
a
11
M
1
?
1
?
q
0
a
?
q
0
?
a
?
?
?
q
0
a
2<
/p>
2
3
12
1
1
4
F
S
2
?
2
?
0,
M
2
?
2
?
q
0
a
?
2
a
?
q
0
?
2<
/p>
a
?
?
2
a
?
q
0
a
2
2
3
3
F
RA
?
< br>F
RB
?
b
（
5
）
=f
（
4
）
4-2
试写出下列各梁的剪力方程和
弯矩方程，并作剪力图和弯矩图
a
（
5
）
=a
（<
/p>
4
）
b
（
5
）
=b
（
4
）
f
（
< br>5
）
=f
（
4
）
4-3
试利用载荷集度，剪力和弯矩
间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力
e
和
< br>f
题）
（
e
）
（
f
）
（
h
）
4-4
试做下列具有中间铰的梁的剪
力图和弯矩图。
4-4
（
b
）
4-5
（
b
）
4-5
．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力
图的错误之处，并改正。
4-6
．已
知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。
4-6
（
a
）
4-7
4-7
．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。
4-8
用叠加法做梁的弯矩图。
4-8
（
b
）
4-8
4-9
．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。
（
a
）
（
c
）
4-9
（
b
）
4-9
（
c
）
4-10
4-14
< br>．长度
l=2m
的均匀圆木，欲锯做
Fa=0.6m
的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是
锯口处弯矩为零，
现将圆木放在两只锯木架上，
一只锯木架放在
圆木一段，
试求另一只锯木
架应放位置。
x=0.4615m
4-18
4-19M=30KN
4-21
4-23
4-25
4-28
4-29
4-33
4-36
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