-
数论教案
§
1
整数的整除
带余除法
1
整数的整除
设
a,b
是整数
,
且
< br>b
≠
0,
如果有整数
q,
使得
a=bq,
则称
b
整除
a,
记
为
b|a,
也称
b
是
a
的因数
,a
< br>是
b
的倍数
.
如果没有整数
q,
使得
a=b
q,
则称
b
不能整除
< br>a,
记为
b
?
< br>a.
例如
2|4,
4|-12,
-5|15;
< br>2
?
3
，
-3
?
22.
< br>在中小学数学里
,
整除概念中的整数是正整数
,
今天讲的整除中的整数可正可负
.
判断是否
b|a
？当
a,b
的数值较大时
,
可借助计算器判别
.
如果
b
除
a
的商数是整数
,
说明
b|a;
如果
< br>b
除
a
的商不是整数
,
说明
b
?
a.
例
1
判断下列各题是
否
b|a
？
(1) 7|127?
(2) 11|129? (3) 46|9529?
(4) 29|5939?
整除的简单性质
(1)
如果
c|b,b|a,
那么
c|a;
(2)
如果
d|a,d|b,
那么对任意整数
m,n,
都有
d|ma+nb.
(3)
如果
a
1
,
a
2<
/p>
,
L
,
a
n
都是
m
的倍数
,
q
1
,
q
2
,
L
,
q
n
是任意整数
,
那么
q
1
a
1
?
q
2
a
2
?
L
?
q
n
a
n
是
m<
/p>
的倍数
.
(4)
如果
c|a,d|b,
那么
cd|ab
。
例如：
2
|4,2|(-6),
那么
2|4+(-6),2|4-(-6
).
2|4,3|(-6),<
/p>
那么
2
×
3|4
×
(-6).
例
2
证明任意
2
个连续整数的乘积<
/p>
,
一定可被
2
整
除
.
练习
证明任意
3
个连续整数的乘积
,
一定可被
3
整除
.
1
2.
带余除法
设
a,b
是整数
,
< br>且
b>0,
那么有唯一一对整数
q,r
使得
a=bq+r,0
≤
r
＜
b
. (1)
这里
< br>q
称为
b
除
a
的商
,r
称为
< br>b
除
a
的余数
< br>.
例如
-5=3
×
(-2)+1
5=3
×
1+2
-5=(-3)
×
2+1
5=(-3)
×
(-1)+2
15=(-5)
×
(-3),
-24=(-2)
×
12.
事实上
,
以
b
除
a
的余数也可以是负的
.
例如
-5=3
×
(-1)-2=3
×
(-2)+1.
求
b
除
a
的余数
,
也称为模运算
(
取余
):mod.<
/p>
可用计算器进行
.
具体操作
:
输入
a-
按
mod(
取余
)
键
-
输入
b-
按
=
键得出余数
.
如果
b
除
a
的余数
=0,
则
b|a;
如果
b
除
a
的余数≠
0,
则
b
< br>?
a.
例
3
利用计算器求余数
:
(1) 7
除
127;(2)11
除
< br>-129 (3)46
除
-9529;(4)-29<
/p>
除
5939
奇数、偶数及性质
能被
2
整除的整数称为偶数
.
如
,0,4,10,-6,-8
都是偶数
.
不能被
2
整除的整数称为奇数
.
如
,-5,-3,1,7,11
都是奇数
.
偶数的形式为
2n(n
是整数
);
奇数的形式为
2n-1(n
是整数
).
奇数、偶数的性质
:
偶数±偶数
=
偶数
,
奇数±奇
数
=
偶数
,
奇
数±偶数
=
奇数
,
偶数×偶数
=
偶数
,
偶数×奇数
=
偶数
,
奇数×奇数
=
奇数
.
例如
2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5
设
a,b
是任意两个整数
,
则
a+b
与
a-b
同奇同偶
.
例如
3+5,3-5,6+3,6-3,
2
2
a
?
b
?
2
n
,<
/p>
证明
n
是偶数
.
例
4
设
a,b
,n
是任意
3
个整数
< br>,
而且
2
<
/p>
例
5
设
a
是任一奇数
,
试证明
8|
例
6
设
n
是正整数
,
证明形如
3n-1
整数不是完全平方数
.
证明
对任意整
a,
设
a=3q
或
< br>a=3q
±
1,
于是
2
2
2
q
q
a
=9
< br>或
a
=9
±
6q+1=3(3
q
2
±
2q)+1.
a
?
1
. <
/p>
2
2
2
a
即
≠
3n-1,
故<
/p>
3n-1
不是完全平方数
.
练习
设
n<
/p>
是正整数
,
证明形如
4n-1
、
4n+2
的整数都不是
完全平方数
.
习题
:P3-4:1t,2t.
<
/p>
§
2
公因数、最大公因数
1.
最大公因数、辗转相除法
中小学里的公因数、最大公因数的概念：
几个数的公有因数叫做这几个数的公因数
.
公因数中最大的
整数称为这几个数的最大公因数
.
(1)
几个数
:
不能确定
;(2)
因数、公因数
:
都是正整数
< br>;
最大公因数
:
没有专门的符号
.
定义设
1
a
,
a
2<
/p>
,
L
,
a
n
,d
都是整数
,d
≠
0,
如果
d
a
i
,i=1,2,
< br>…
,n,
称
d
< br>是
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
的公因
数
,
a
1
,<
/p>
a
2
,
L
,
a
n
的公因数中最
大的整数称为最大公因数
.
记为
(
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
)
.
< br>如果
(
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
)<
/p>
=1,
则称
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
互质。
例
1
(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.
在
中小学数学里
,
求正整数
a,b
的最大公因数主要有这个样几种方法：
3
(1)
观察法；
(2)
将
a,b
的所有公因数都求
出来
,
再从中挑最大的；
(3)
用短除法
.
< br>辗转相除法
:
设
a,b
是正整数
,
而且有
<
/p>
a
?
bq
1
?
r
1
,0
?
r
1
?
b
;
b
?
rq
1
2
?
r
2
,0
?
r
2
?
r
1
;
< br>
r
1
?
r
2
q
3
?
r
3
,0
?<
/p>
r
3
?
r
2
;
……………
（
*
）
r
n
?
2
?
r
n
?
1
q
n
?
< br>r
n
,0
?
r
n
?
r
n
?
1
;
r
n
?
1
?
r
n
q
n
?
1
.
(
a
< br>,
b
)
?
r
n
。
例
2
用辗转相除法求
(123,78),
练习
:<
/p>
用辗转相除法求
(66,54).
下面
说明辗转相除法的正确性
.
先证明
<
/p>
性质
1
设整数
a
,b,c
不全为
0,
而且有整数
q
使得
a=bq+c
则
(a,b)=(b,c).
证明
由
a,b,c
不全为
< br>0
知
,(a,b)
、
(b,c)
都存在
.
因
(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,
得
(a,b)|c,
又得
(a,b)
≤
(b,c);
反之
,<
/p>
由
(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,
得
(b,c)|a,(b,c)
≤
(a,b).
4
所以
(a,b)=(b,c).
由
(*)
式
知
b
?
r
1
?
r
2
?
L
?
r
n
?
< br>1
?
r
n
?
0,
而
n
是
有
限
正
整<
/p>
数
,
再
由
性
质
1
得
(
a
,
b
)
?
(
b
,
r
1
)
?
(
r
1
,<
/p>
r
2
)
?
…
=
(
r
n
?
2
,
r
n
?
1
)
?
(
r
n
?
1
,
r<
/p>
n
)
?
(
r
n
,0)
?
r
n
.
2.
最大公因数的性质
最大公因数的几个性质：
性质
2
(am,bm)=(a,b)m,m>0.(
短除法的根据
)
例
3
求
(84
,90),(120,36).
(84,90)=3(28,30)=6(14,15
)=6.(120,36)=12(10,3)=12.
性质
3 (a,b)=(|a|,|b|).
性质
4 (a,b,c)=((a,b),c).
例
4
求
(-84,120
),(-120,-72),(24,-60,-96).
3
n
?
1
例
5<
/p>
设
n
是任意整数
,
证明
是既约分数
.
5
n
?
2
证明
设
d=(3n+1,5n+
2),
则
d|3(5n+2)-5(3n+1),
即
d|1,d=1
，
所以
3n+1
与
5
n+2
互质
.
作业
1.
利
用辗转相除法求
(84,90).
2.
求
(120,36).
3
n
?
1
3.
设
n
是整数，
证明
7
n
?
2
是既约分数
。
§
3
整除的进一步性质及最小公倍数
1.
整除的进一步性质
推论
1
设
a,b
不全为零
,
那么有
s,t
∈
Z
使得
as
+bt=(a,b).
证明
将
(*)
中每式中的余数解出得
5
r<
/p>
n
?
r
n
?
2
?
r
n
?
1
q
n
,
r
n
?
1
?
r
n
?
3
?
r<
/p>
n
?
2
q
n
?
1
,
…
,
r
2
?
b
?
rq
< br>1
2
,
r
1
?
a
?
b
q
1
,
再
将<
/p>
r
n
?
1
,
r
n
?
2
,
L
,
r
2
,
r
1
的表达式依次代入到
r
n
?
r
n
?
2
?
r
n
?
1
q
n
中就得
au+bv=
r
n
=(a,b)=d,u,v
∈
Z.
例
1
用辗转相除法求
(1
20,54),
并求整数
u,v
使得<
/p>
120u+54v=(120,54).
解∵
120=2
×
54+12,5
4=12
×
4+6,12=6
×
2,
∴
(120,54)=6.
12=120-2
×
54,6=54-12
×
4=54-(120-2
×
54)
×
4
=120
×
(-4)+54
×
9.
∴
u=-4,v=9.
练习
用辗转相除
法求
(84,45),
并求整数
u,v
使得
84u+45v=(84,45).
设
a,b
都是正整数
,
问
a,b
的公因数与最大公因数有什么关系？
例
2
①求
(
12,18)
及
12
与
18
的所有正的公因数；
通
过这个例子
,
请同学们观察最大公因数与公因数有何关系？能否
提出自己的猜想？能否证明自己的猜想？
性质
1
设
d
是
a,b
的最大公因数
,
那么
,a,b
的任一公因数
都是
d
的因数
.
证明
如果
d
=(a,b),
由性质
2
有
u,v
∈
Z
使得
au+bv=d.
设
s
是
a,b
的任一公因数
,
则
s|au,s|bv,
且
s|au+bv,
即
s|d.
a
b
,
性质
2
如果
d=(a,b),
则
(
d
d
)=1.
性质
3
如果
(a,c)=1,
且
c|ab,
则
c|b.
性质
4
如果
(a,c)=1,
则
(ab,c)=(b,c).
性质
5
如果
(
a,b)=1,
且
a|c,b|c,
则
ab|c.
例
3
证明
<
/p>
三个连续整数的积一定可被
6
整除
.
2
最小公倍数
定义
如果
m
是
<
/p>
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
中每一个数的倍数
,
则称
m
是整数
6
a
1<
/p>
,
a
2
,
L
,
a
n
[
的
一
个
公
倍
数
.
a
1
,
a
2
,
L
,
a<
/p>
n
的
公
倍
中
最
小
正
整
数
称
为
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
的
最
小<
/p>
公
倍
数
.
用
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
]
来表示
.
a
1
< br>,
a
2
,
L
,
a
n
]
=[|
a
1
|,|
a
2
|,
…
,|
a
n
|].
例如
[2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.
定理
3
[
定理
4
设
a,b
是两个正整数
,
则
(i)a,b
的任一公倍数是
[a,b]
的倍数；
ab
(ii)[a,b]=
(
a
< br>,
b
)
.
而且若
(a,b)=1,
则
[a,b
]=ab.
证明
(i)
设
m
是
a,b
的任一公倍数
,
而且
m=t[a,b]+r,0
≤
r<[a,b]
,
因
m,[a,b]
都是
a,b
的公倍数
,
由
r=
m-t[a,b]
知
r
也是
a,b
的公倍数
,
若
0
则这与
[a,b]<
/p>
的最小性矛盾
.
故
r=0,m=t[a,b].
a
[
a
,
b
]
ab
?
(ii)
记
d=
,
则
d
是
整数
,
由
a|[a,b],a|[a,
b]
及
[
a
,
b
]
d
b
,
b
[
a
,
b
]
?
d
a
知
d|a,d|b,
即
d
是
a,b
的公因数
.
ab
ab
d
ab
b
a
?
?
Z
,
所以
h|d,
?
< br>a
?
b
是
a,b
的公倍数及
TH16
知
[a,b]|
,
即
设
h
是
a,b
的任一
公因数
,
由
h
[
a
,
b
]<
/p>
h
h
h
h
h
ab
(a,b)=d,
从而
(a,b)=
[
a
,
b
]
.
定理
5
设
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
都是正整数
,
令
[
a
1
,
a
2
]
?
m
2
,
< br>[
m
2
,
a
3
]
?
m
3
,
…
,
[
m
n
?
1
,
a
n
]
?
m
n
< br>,
则
[
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
]
?
m
n
.
7
定理
19
设
a
1
,
a
2
,
L
,
a
< br>n
是
n(
≥
2)
个正整数
,
且两两互素
,
则
[
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
]
?
< br>a
1
a
2
L
a
n
例
2
求
[123,456,-789]
例
3
求正整数
a,b,
满足
:a+b=120,(a,b)=24,[a,
b]=144.
abc
例
14
设
a,b,c
是正整数
,
则
[a,b,c]=
(
ab
,
bc
,
ca
)
作业
:P14:1.
2.
求
(84,45),
并求整数
u,v
使得
84u+45v=(84,45)
.
§
4
质数
算术基本定理
1.
质数
定义设整数
a>1,
如果
< br>a
除了
1
和
a
外再无其它正因数
,
则称
a
为质数
,
也称为素
数
.
否则
,
称
a
为合数
.
2,3,5,7,11
都是质数，
4,6,8,9,10
都是合数
.
1-100
有素数
25
个
,1-1000
有素数
168
个
,1-10000
有素数
< br>1229,10
万有素数
9592
个
,100
万之
78498
个
.
定理
1
设整
数
a>1,
则
a
除
1
外的最小正因数
q
是素数
,
而且当
a
是合数时
,q
≤
a
.
证明
假定
q
是合数
,
设
q <
br>a <
br>a=qm,
<
br>(P,a)=1. <
br>p
q
=bc,1
因
b|q,q|a,
得
b|a,
但
1
这与
q
是
a
的最小正因数矛盾
.
故
是素数
.
若
是合数
,
设
由
q
的最小性知
a=qm
≥
qq,
即
q
≤
a
.
素数判定定理
设整数
a>1,
不超过
a
所有素数为
p
1
,
p
2
,
L
,
p
k
,
如果
p
i
?
a,i=1,
…
,k,
则
a
为素数
.
8
例
1
以下正整数哪个是素数？哪个是合数？
231,89,103,169.
素数判别威尔逊定理
:
设整数
p>1,
那
么
p
是素数的充分必要条件是
p|(p-1)!+1.
例
2
利用威尔逊定理判别
3,5,7,11
都是
素数
.
当
p
较大时
,(p-1)!+1
的数值非常大
,
在实际运用时不可行。
定理
2
设
P
是素数
,a
为任一整数
,
则或
P|a,
或
(P,a)=1.
证明
因
(P,a)|P,P
为素数
,
所以
(P,a)=P,
或
即
P|a,
或
(P,a)=1.
2.
整数的唯一分解定理
定理
3
任何
a>1
的整数都有标准分解式
:a=
p
?
1
1
p
?
2
2
L
p
?
k
k
(3)
这里
p
1
,
p
2
,
L
,
k
为不同素数
,
整数
?
i
?
0
,i=1,
…
,k.
推
论
1 <
/p>
若
正
整
数
a>1
的
标
准
分
解
式
为
a=
p
?
?
1
1
p
2
< br>2
L
p
?
k
k
,
则
a
的
正
因
?
d=
p
1
1
p
?
2
2
L
p
?
k
k
,
0
?
?
i
?
?
i
,i=1,
…
,k.
而且
a
有不同的正因数
(1<
/p>
?
?
1
)(1<
/p>
?
?
2
)
L
(1
?
?
k
)
个
.
?
推论
2
设
a=
p
?
1
1
p
2
2
L
p
?
k
k
?
?
,b=
p
?
1
1
p<
/p>
2
2
L
p
k
k
,
?
i
?
0
,
?
i
?
0
,i=1,
…
,k.
则
(1)(a,b)=
p
?
1
1
< br>p
?
2
2
L
p
?
k
k
,[a,b]=
p
?
< br>1
1
p
?
2
2
L
p
?
k
k
，
其中
?
i
?
min(
?
i
,
?
i
)
,
?
i
?
max(
?
i
,
?
i
)
,i=1,
…
,k.
(2)a,b
共有正公因数
(1
?
?
1
)(1
?
?
2
)
L
(1
?
?
k
)
个
< br>;
(3)a,b
共有公因数
2
(1
?
?
1
)
(1
?
?
2
)
L
(1
?
?<
/p>
k
)
个
.
例
3
求
72
5760,154200
的标准分解式
,
并求它们的最大公因数和最小公倍数
.
解
因
725
760=
2
8
×
5
×
11
×
41, 154200=
2
3
×
3
×
5
2
×
257,
9
数
d
为
所以
(725760,154200)=
2
3
2
5
×
5, [725760,154200]=
2
×
3
×
×
1
1
×
41
×
2
57.
8
例
4
求下列各组数的最大公因数及其公因数的个数
:
(1)123,78
；
(2)120,54.
练习
:
求下列各组数的最大公因数及其
公因数的个数
:
(1)125,70
；
(2)140,56.
2
2
p
?
q
例
8
设
p,q
都是大于
3
的素数
,
证明<
/p>
24|
.
3
质数的多少和质数的求法
定理
4
素数有无穷多个
.
证明
反证法
,
设质数只有
k
个
:
p
1
,
p
2
,
L
,<
/p>
p
k
,
令
M
?
p
1
p
2
L
p
k
?
1
,
< br>M>1,
于是
M
有素数因数
p.
因
p
i
?
M,i=1,2,
…
,k,p|M,
所以
p
≠
p
i
,i=
1,2,<
/p>
…
,k.
这就是说
,
p
1
,
p
2
,
L
,
p
k
,p
是
k+1
个不同素数
.
这与假设矛盾
.
1-n
之间的所有素数怎样求出来？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
10
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
按以下步骤进行：
(1)
删去
1
，剩下的后面的
第一个数是
2
，
2
是素数；
(2)
删去
2
后面被
2
整除的数
(
从
4
开始
),2
后面剩下的第一个数
3
是素数；
(3)
删去
3
后面的被
3
整除的
数
(
从
9
开始
),3
后面剩下的第一个数
5
是素数；
(4)
删去
5
后面的被
5
整除的数
(
从
25
开始
),5
后面剩下的第一个数
7
是素数；
?
?
现在表中剩下的就全为素数了
:
2,
3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67
,71,73,79,83,89,97.
对较小围的素数以上求法方便
,
对较大围的素数
,
需要编
程求素数了
.
现在运行程序
,
求较大围的素数
.
找两个同学来求
.
作业
:1.
判别
1577
是否为素数
;2.P19:5t
；
3.
求
725760,154200
的标准分解
式
,
并求它们的最大公因数和最小公倍数
,
并求它们的所有公因数的个数。
§
5
函数
[
x],{x}
及其应用
1.
函数
[x],{x}
的定义
< br>
定义
1
< br>设
x
是实数
,
< br>以
[x]
表示不超过
x
的最大整数，称它为
x
的整数部分，又称
{x} = x
?
[x]
为
x
的小数部分。
例
1 [3.5]=3,[-3.5]=-4,[-0.1]=
-1,[0.1]=0,[
?
]=3,[-
?
]=-4.
性质
设
x
与
y
是实数
,
则
(1)x
?
y
?
[x]
?
[y]
；
(2)
若
m
是整数
,
?
[m
?
x]=m
?
[x]
；
(3)
若
0
?
x<1,
则
[x]=0
；
11
a
a
[
]
+b<
/p>
{
}
.
(4)
(
带余除法
)
设
a,b
是整数
,
且
< br>b>0,
则
a=b
b
b
a
r
a
a
r
a
a
?
q
?
,
故
[
]
=q,
{
}
?
,
所以
a=b
[
]
+
b
{
}
.
设
a=bq
?
r,0
?
b <
br>.
<
br>? 若数 k <
br>k=
]=20
r
得
b
b
b
b
b
b
a
[
]<
/p>
个。
(5)
设
a
与
b
是正整
数
,
则
1-a
中能被
b
整除的整数有
b
a
a
[
]
证明
能被
b
整除的正整数是
b,2b,3b,
,
因此
,
1,2,
?
,a
中能被
b
整除的整数有
k<
/p>
个
,
则
kb
?
a<(k+1)b
?
?
?
b
b
500
99
101
例
2
不超过
101
且是
5
的倍数的正整数有
[
5
个
,100-500
的整
数中
7
的倍数的正整数有
[
7
]-[
7
]=71-1
4=57.
2.
函数
[x]
的应用
设
p
是素数
,n
是整数
,
如果
p
k<
/p>
│
n
,
p
k
?
1
?
n,
则称
p
k
恰好整除
n.
例
3
设
p
是素数
,
那么在
1-n
的整数中
,
恰好被
p
k
整除的整数有多少个？
定理
1
在
n!
的标准分解式中
,
质因数
p
的指数是
h=[
n
n
]+[
2
p
p
]+[
n
p
3
]+
…<
/p>
证明
在<
/p>
1,2,3,
…
,n
中
,
①
恰被
p
整除的整数有
[
n
n
]-[
p
p
2
n
p
< br>2
n
p
3
]-[
]
个
;
②
恰被
p<
/p>
整除的整数有
[
n
p
3
]
个
;
③
恰被
p<
/p>
整除的整数有
[
]-[
n
p
4
]
个
;
…
,
12
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：潜心钻研
下一篇：10部适合学英语的美剧,1万单词,从此摆脱字幕!