-
一、数列的定义和通项
I
、
def
：数列是一组按顺序排列的数，记为
?
x
n
?
< br>.
一般的写法为
x
1
,
x
2
,
?
,
x
n
,
?
(
n
?
N
*
)<
/p>
.
其中，
数列中的每一个数叫做这个数
列的
“
项
”
，
x
1
为数列的
“
第一项
”
或
“
首项
”
，
x
2
是
“
第二项
”
，
x
n
是
“
第
n
项
”
也叫“通项”
。项
的总个数为数列的
“
项数
”
，项数有限
的数列为
“
有
限数列
”
或
“
有穷数列
”
，项数无限的数列为
“
无限数列
”
或
“<
/p>
无穷数列
”
。
x
:
N
*
?
R
;
函数表示：
从这里可以看出数列可以看成从
N<
/p>
*
到
R
的函数<
/p>
x
:
i
?
x
?
i
?
?
x
i
图像其实是平面的一个点列
(
n
,
x
n
)
，
x
轴上的点集
{
x
1
,
x
2
,
?
,
x
n
,
?
}
II
、举例
1
、
?
a
?
,
a
,
a
,
?
,
a
,
< br>?
2
、
(
?
1
)
n
,
?
1
,
1
< br>,
?
1
,
?
3
4
n
?
1
?
n
?
1
?
3
、
?
,
?
?
,
2
,
,
,
?
,
2
< br>3
n
?
n
?
?
?
?
(
?
1
)
n
?
1
1
(
?
1
)
n
4
、
?
,
?
?
，
?
1
,
,
?
,
< br>?
,
n
2
3
n
?
?
1
n
?
1
n
?
5
、
?
(
1
?
)
?
,
2
,
2
.
< br>25
,
2
.
3704
,
?
,
< br>(
1
?
)
，
?
n
?
n
?
1
?
3
1
1
?
1
6
、
?
1
?
?
?
< br>?
?
，
1
,
,
?
,
1
?
?
?
?
,
?
n
?
2
2
n
?
2
二、有界数列
I
、
?
x
n
?
是一个实数
数列，
1
、如果存在
M
?
R
，对任给的
n
?
N
*
，使得
x
n
?
M
*
?
M
?
R
,
?
n
?
N
,<
/p>
st
.
x
n
?
M
则称数列<
/p>
?
x
n
?
是有上界的，实数
M
是它的一个上界
.
2
、如果存在
m<
/p>
?
R
，对任给的
n
?
N
*
，使
得
x
n
?
m<
/p>
?
m
?
R
,
?
n
?
N
*
,
x
n
?
m
,
则称数列
?
x
n
?
是有下界的，实数
m
是它的一个下界
.
def
:
如果数列
?
x
n
?
有上界并且有下界，我们说这个数列是有界
.
我们讨论
?
x
n
?
有界
?
,
?
m
,
M
,
?
n
?
N
*
，
st
.
m
?
x
n
?
M
如果
|
m
|
?
|
M
|
?
?
|
M
|
?
?
|
m
|
?
m
?
x
n<
/p>
?
M
?
|
M
|
?
?
|
M
|
?
x
n
?
|
M
|
?
|
x
n
|
?
|<
/p>
M
|
令
K
?
|
M
|
，则有
|
x
n
|
?
K
如果
|
< br>M
|
?
|
m
|
?
?
|
m
|
?
m
?
x
n
?
M
?
|
M
|
?
|
m
< br>|
?
?
|
m
|
?
x
n
?
|
m
|
?
|
x
n
|
?
|
m
|
令
K
< br>?
|
m
|
，则有
|
x
n
|
?
K
即
?
x
n
?
有界，则存在
K
，使得
|
x
n
|
?
K
另一方面呢
|
x
n
|
?
K
?
?
|
K
|
?
x
n
?
|
K
|
，则
?
x
n
?
有界，综上
def
:
?
x
n
?
有界
?
?
K
?
R
,
< br>?
n
?
N
*
，
st
.
|
x
n
|
?<
/p>
K
，
无界的定义（即是上述的否定陈述）
def
:
?
x
n
?
无界
?
?
K
?
R
,
?
n
?
N
*
,
st
.
x
n
?
K
我们对一个陈述进行否定的时候，吧逻辑量词
?
换成
?
，
?
换成
?
就会得到原
来
陈述的否定
.
II
、有界数列举例
n
1
、
（
-
1
,
(
n
?
0
,
1
,
2
< br>,
?
)
,
对
?
n
都有
|
x
n
|
?<
/p>
1
，因此有界
）
?
?
?
1<
/p>
?
2
、
?
1
?
?
(
n
?
1
,
2
,
3
< br>,
?
)
?
n
?
1
?
1
1
?
n
n
?
n
?
?
?
2
< br>,
?
n
?
N
*
，有界
n
n
n
1
n
3
、
x
n
?
(
1
?
)
(
n
?
< br>1
,
2
,
3
,
?
)
(
通过这个例子可以体会不等式的思想
)
n
1
1
n
(
n
?
1
)
1
2
n
(
< br>n
?
1
)(
n
?
2
)
1
3
1
?
?<
/p>
0
?
x
n
?
(
1
?
)
n
二项式定理
?
1
?
n
?
(
)
?
(
)
?
?
?
(
)
n
?
n
n
2
n
3<
/p>
!
n
n
?
?
1
?
1
1
1
1
2
1
(
n
?
1
)
(
n
?
2
)
1
?<
/p>
分子的每一项分一个
(
)
?
1
?
1
?
1
(
1
?
)
?
1
(<
/p>
1
?
)(
1
?
）
?
?
?
?
?
n
?
2
n
3
< br>!
n
n
n
!
n
n
n
?
1
1
1
1
?
?
1
1
1
?
?
2
n
?
1
?
< br>1
?
3
?
?
1
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
1
?
1
?
?
2
?
?
?
< br>n
?
?
1
?
1
1
2
3
!
n
!
?
?
2
2
2
?
?
1
?
2
2
0
?
< br>x
n
?
3
1
?
有界
4
、
x
n
?
n
无界
x
n
?
?
2
n
无界
n
?
无界
<
/p>
2
1
1
1
x
n
?
1
?
?
?
?
?
无界（证明略）
2
3
n
三、收
敛数列的定义（数列的极限的定义）
原始的朴素的极限概念的产生很早：刘徽
割圆术
确切的含义
x
n
?
n
s
i
n
I
、
def
设
?
x
n
?
是实数数列，
a
是实数，
如果对任意实数
?
?
0
都存在自然数
N
,<
/p>
使得只要
n
?
N
，就有
x
n
?
a
?
?
我们就说数列
{
x
n
}
收敛，它以
a
为极限（或者说数列
{<
/p>
x
n
}
收敛于<
/p>
a
）
记为
lim
x
n
?
a
或者
x
n
?
a
有时也写
x
n
?
a
或者
x
?
a
(
n
?
??
)
n
lim
n
?
??
不收敛的数列也称为
发散数列
II
、
定义的解释：
1
、我们用
x
n
?
a
来表示用
< br>x
n
逼近
a
的误差，根据定义我们知道，
数列
{<
/p>
x
n
}
以
a
为极限就意味着，只要
n
< br>取得足够大，就会让
逼近误差
任意小
（小于任何给定的
?
）
x
n
?
a
?
?
?
< br>?
0
,
?
N
0
?
N
,
?
n
?
N
0
,
|
x
n
?
a
|
?
?
< br>简洁的描述：
lim
n
?
?
2
、否命题的叙述：
{
y
n
}
不
收敛于
b
?
?
?
?
0
,
?<
/p>
N
0
?
N
,
?
n
?
N
0
,
|
y
n
?
b
|
?
?
3
、几何解释：平面上的点列
(
n
,
x
n
)
随着
n
的增大无限接近直线
y
?
a
。
def
：
a
的
邻域，
?
?
R
,
?
?
0
，开
区间
(
a
?
?
,
a
?
?
)
称为点
a
的
?
邻域。
从不等式
|
x
n
?
a
|<
/p>
?
?
,
?
n
?
N
0
?
?
?
?
x
n
?
a
?
?
,
?
n
?
N
0
?<
/p>
a
?
?
?
x
n
?
a
?
?
,
?
n
?
N
0
得到
x
n
?
(
a
?
?
,
a
?
?
),
?
n
?
N
0
几何定义：不论
a
的邻域取得怎么小，数列
{
x
n
}
以某一项以后的所有各项都
要进入这个邻域之内。
4
、
?
的任意
性：
?
?
0
可
以是任意给定的任何数，但是如果要求对应的
N
0
时
呢，是确定的
.
5
、
N
0
是依赖于<
/p>
?
而定，
并且不是唯一，
（这就告诉我们不能说
N
0
是
关于
?
的
函数）
.
只要我们求的一个
N
0
，那么对于任何大于
N
0
的数，也多是
成立的
1
1
n
lim
{
}
0
例子：
随着
的增大是趋于
的，即
n
?
?
?
0
，按照
定义我们如果设
n
n
1
1
1
1
?
1000
?
?
0
.
001
那么想
要使得
|
?
0
|
?
?
?
只要
n
?
?
n
n
?
0
.
001
所以只要取
N
0
?
1000
那么
n
?
N
0
时就满足条件，同时
N
0
?
1001
则
n
?
N
0
时自然满足
n
?
1000
，也是合理，类此可以有无数个满足条
件的
N
0
.
6
、从
3
出发，我们来讨论这样一
个问题，极限是否是唯一的？
如果不唯一，
< br>有
a
和
b
，
且
a
?
b
，
并且我们假设
a
?
b
，
那么对于取
0
?
?
?
b
?
a
2
a
b
于是
a
的
?
邻域
(
a<
/p>
?
?
,
a
?
?
)
和
b
的
?
邻域
(
b
?
?
< br>,
b
?
?
)
没有交集，根据几何解
释，从某
一项开始数列
{
x
n
< br>}
的所有项都必须在这个
a
这个
?
邻域里面，那么
必然不会进入到
b
的
?
邻域内，这
是一个矛盾，因此我们有
定理
:
如果数列
{
x
n<
/p>
}
有极限，那么它的极限是唯一
.
证明
利用反证法，设该数列有俩个极
限
a
与
b
，且
a
?
b
，取<
/p>
0
?
?
?
由定义
存在
N
1
使得
a
?
?
?
x
n
?
a
?
?
,
?
n
?
N
1
存在
N
2
使得
b
?
?
?
x
n<
/p>
?
b
?
?
,
?
n
?
N
2
取
N
?
max{
N
1
,
N
2
< br>}
，则
n
?
N
时有
b
?
a
，
2
b
?
?
?
x
n
?
a
?
?
b
?
a
，
所以
b
?
?
?
a
?
?
是矛盾，
因此假设不成立，
所以极限唯一。
2
四、例题（证明极限问题的核心是从
?
出发，来找
N
与
?
的关系）
由于
0
?
?
?
x
n
?
c
1
、常数数列
{
x
n
}
（
x
n
?
c
,
n
?
1
,
2
,
?
< br>）的极限为
c
.
lim
n
?
?
x
n
?
c
证明
<
/p>
对于任给
?
?
0
，
|
x
n
?
c
|
?
0
?
?
,
?
n
?
1
< br>，因此
lim
n
?
?
2
< br>、设
k
为一个正整数，则
lim
分析：
对
?
?
0
往证
|
1
?
0
n
?
?
n
k
1
1
1
1
?
0
< br>|
?
?
|
?
0
|
?
?
?
只需要
，
而
，要
n
k
n
k
n
k
n
k
1
1
n
?
1
/
k
即可
.
我们的
N
0
是整数，所以将
1
/
k
取整就可以了
?
< br>?
（注：
[
1
< br>.
4
]
?
1
，
[
1
.
6
]
?
2
，由于
n
取得也是正整数，所以
n
?
1
时只能取
2
必
然大于
1
.
4
，所以直接写
n<
/p>
?
[
1
.
4
]
没有问题，但是我们通常利用
n
?
[
1
.
4
]
?
1
方
式来处理一下）
1
?
1
?
N
?
证明
对于
任给
?
?
0
,
取
0
?
1
/
k
?
+1
，则当
n
?
N
0
时，有
n
?
1
/
k
从而
?
?
?
?
1
1
1
< br>/
k
k
?
0
|
?
?
(
?
)
?
?
k
k
n
n
1
1
1
按照定义
lim
k
?
0
.
lim
2
?
0
,
lim
3
?
0
n
?
?
n
n
?
?
n
n
?
?
n
n
?
1<
/p>
3
、试证
li
m
n
?
?
n<
/p>
?
1
|
分析：对于任给
< br>?
?
0
，往证
< br>n
n
n
?
n
?
1
1
?
1
?
?
，
?
1
?
?
，所以只
n
?
1
n
?
1
n
?
1
n
?
1
要
1
1
1
?
1
?
?
?
即可，此时有
n
< br>?
?
1
，取任意的大于
?
1
的整数就可以，我们去
?
?
n
?
1
?
?
?<
/p>
?
?
1
?
1
?
证明
<
/p>
对于任给
?
?
0
，取
N
0
?<
/p>
?
?
，则当
n<
/p>
?
N
0
时，
n
?
?
1
，从而有
?
?
?
?
n
1
1
?
1
?
?
?
?
1
n
?
1
n
?
1
(
?<
/p>
1
)
?
1
?
按照定义有
lim
n
?
?
n
n<
/p>
?
1
n
n
?
k
?
1
.
lim
?
1
,
lim
?
1
，
lim
?
1
n
?
?
n
n
?
?
n
?
k
n
?
?
n
?
1<
/p>
n
r
n
?
0
其中
|
r
|
?
1
4
、试证
lim
n
?
?
分析：对于任给
1
?
?
?
0
，往证
|
r
n
?
0
|
?
?
，
|
r
n
?
0
|
< br>?
|
r
|
n
，所以只要
|
r
< br>|
n
?
?
n
此式成立只要
lg
|
r
|
?
< br>lg
?
?
n
lg
|
r
|
?
lg
?
?
n
?
lg
?
(
|
r
|
?
1<
/p>
?
lg
|
r
|
?
0
)
.
lg
|
r
|
lg
?
?
lg
?
?
n
?
n
?
N
< br>N
?
?
1
?
?
0
证明
对于任给
1
?
，取
0
?
，当
从而
0
时，
?
lg
|
r
|
?
lg
|
r
|
?
|
r
n
|
?
10
n
lg
|
r
|
?
10
(lg
?
/
lg
|
r
|)
lg
|
r
|
?
10
lg
?
?
?
1
n
< br>4
n
r
n
?
0
.
lim
（
）
?
0
,
lim
(
)
?
0
按照定义
lim
n
?
?
n
?
?
2
n<
/p>
?
?
5
五、无穷
小数列
I
、我们称极限为
0
< br>的数列为无穷小数列，按照极限定义叙述如下
II
、<
/p>
def
：设
?
x
n
?
是实数数列，如果对任意实数
?
?
0
都存在自然
数
N
,
使得只
要
n
?
N
，就
有
x
n
?<
/p>
?
我们就
说数列
?
x
n
?
为无穷小数列
.
III
、例题
?
1
?
(
?
1
)
n
?
1
、试证
?
?
为无穷小数列
n
?
?
1
?
(<
/p>
?
1
)
n
2
2
?
?
?
，必然有
n
?
分析：使得
?
n
n