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单位根的性质的应用
把
1
的每一
个
n(n
∈
N
)
次方根叫做
n
次单位根，简称单位根
．
1
的
n
个单
位根表示
数学问题时，可以大大地简化解证题过程．
下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：
性质
1
1<
/p>
?
?
?
?
2
?
?
?
?
n
?
1
?
0
,
进而可推广为若
z
n
?
1
且
z
≠
1
，则
z
的任意连续
n
个整数次幂的和为
0
，本结论可表示为：
z
m
?
z
m
?
1
?
?
?
z
m
?
n
?
1
?
0
?
m
?<
/p>
Z
?
性质
2
?<
/p>
mn
?
k
?
?
k
?
m
,
k
?
Z
?
下面简要说明单位根性质的应用．
一、在复数计算中的应用
2
．计算：
1
?
2<
/p>
i
?
3
i
2
?
?
?
2000
i
1999
(
答案：－
1000(1
＋
i))
二、在复数证明中的应用
例
2
求证：二项方程
x
n
?
z
?
z
?
C
,
z
?
0,
n
?
N
,
n
?
1
?
的
n
个根的和为零．<
/p>
(
注：本题如应用韦达定理证，也较为简单
)
三、在求三角函数式的值方面的应用
练习题：
四、在恒等式证明中的应用
证明：∵
ε
是
1
的七次方根，则
?
7
?
1
．
?
2
?
?
?
?<
/p>
??
1
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
?
2
4
< br>2
4
5
3
2
4
5
6
3
4
6
?
1
?
?
3
?
?
4
∴原式得证．
练习题：
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本文更新与2021-02-01 15:25，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/593342.html
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