-
数学物理方法习题
一、
复变函数
1
、
填空题
（
1
）函数
f (z)=
e
iz
的实部
Re f (z)=_____________
_
。
（
2
）
ln1=_________.
(3)
e
ix
?
_______
__
。
（
4
）求积分
?
z
?
1
sin
z
dz
=<
/p>
______ .
2
z
cos
z
dz
?
_________
。
(5)
求积分
?
z
< br>?
1
z
z
n
(6)
设级数为
?
,
求级数的收敛半径
__
_____________
。
n<
/p>
?
1
n
?
(7)
.
设级数为
?
（
z
n
?
n
?
1
?
1
)
,
求级数的收敛区域
_________
。
n
n<
/p>
2
z
(8)
求积分
(9)
求积分
dz
?
z<
/p>
?
1
z
=___________.
?
z<
/p>
?
1
dz
=__
__________.
z
（
10<
/p>
）设
f
(z)=
cos
z
,
求
Resf (0)=
_________
。
z
9
2
、计算题
（
1
）导出极坐标下的
C- R
条件：
?
?
u
1
?
v
?
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>?
v
1
?
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(2)
己知解析函数的实部
u(
虚部
v)
，求此解析函数：
y
a
、
u
?
e
cos
x
,
b
、
v
?
?
x
2
?
y
2
?
y
< br>?
x
?
x
cos
y
?
y
sin
y
?
v
?
e
c
、
（
3
）设
f (z)
是区域
D
内的解析函数，且
f (z)
的模
∣
f
(z)
∣为常
数，证明
f (z)
在
D
内为常数。
(4)
设
f (z)
是区域
D
内的解析函数，且
f
*(z)
也是区域
D
内的解析
函数，则
f
(z)
必常数。
(5)
求函数
f
(z)=
z
?
1
在下列区域
ⅰ
)
0<
∣
z
∣
<
1
；
ⅱ
)
1<
z
2
(
z
?
1
)
∣
z
∣
<
∞
的
Laurent
展开。
(6)
求出下列函数的奇
点
,
并确定它们的类别
1
a
、
b
、
e
sin
z
?
cos
z
(7)
求下列积分
z
?
1
z
z
2
n
c
、
1
?
z
n
n
为正整数
.
sin
x
a
、
?
x
(
x
2
?
1
)
dx
,
0
b
、
?
?
sin
z
z
?
2
?
?
?
?
z
?
?
2
?
?
< br>2
dz
cos
ax
?
cos
bx
dx
,
a
?
0
,
b
?
< br>0
,
且a
?
b
c
、
?
2
x
0<
/p>
?
d
、
?
?
0
a
cos
x
?
x
sin
x
dx
2
2
x
?
a
ω
(
二
)
积分变换
1
、
填空题
（
1
）函数
f
(t)
的
Fourier
变换的像
函数为
F
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
0
?
，
求
f
(t)=____________
。
dF
?
?
?
（
2
）函数
f (t)
的
Fourier
变换的像函数为<
/p>
F
（
ω
）
，求
对应的
d
?
原函数为
____________
。
（
3
）设
Laplace
变换
L[f(t)]=F(p
),
求
L[-tf(t)]=_________.
?
t
?
L
sin
at
(4)
求
?
?
=____________
。
2
a
?
?
2
、计算题
(1)
求
函
数
f
(
x
)
?
e
?
?
?
x
(
β
>
0
)
的
Fou
rier
变
换
,
证
明
c
o
?
s
x
?
?<
/p>
?
x
d
?
?
e
2
2
?
2
?
?
?
0
?
(2)
设
f
?
x
?
?
cos
?
0
x
?
H
?
x
?
,
求F
?
f
?
x
?
?
.
(3)
己知某函数的傅氏变换为<
/p>
F(
ω
)=sin
ω
/
ω
,
求
该函数
f(x).
(4)
求下列函数的拉氏变换式：
1
.
f
?
t
?
?
t
cos
at
,
2
.
f
?
t
?
< br>?
e
?
t
sin
t
,
3
.
f
?
t
?
?
(5)
求下列函数的拉氏逆变换式：
e
3
t
t
1
1
p
?
1
1
、F
?
p
?
?
2
,
2
、F
?
p
?
?
,
3
、F
?
p
?<
/p>
?
ln
2
p
?
1
p
?
1
?
p
?
1
?
(6)
利用拉氏变换求解下列微分方程：
1
、f
?
t<
/p>
?
?
at
?
?
sin
?
t
?
?
?
f
?
?
?
d
?
0
t
< br>?
y
'
'
?
2
y
'
?
y
?
0
2
、
?
?
y
?
0
?
?
0
,
y
?
< br>1
?
?
2
（
7
）利用拉氏变换求下列积分<
/p>
e
?
t
?
e
?
2
t
1
、
dt
?
t
0
?
< br>?
，
2
、
?
1
?
c
o
t
s
t
e
dt
t
0
(
三
)
数学物理方程
练习题
1
、填空题
（
1
）
长为
L
的均匀细杆
,
一端绝热
,
另一端保持恒度
u
0
,
试写出此热传导问题
< br>的边界条件
_________
，
_________
。
（
2
）长为
L
的
均匀杆作纵振动时，一端固定
，另一端受拉力
F
0
而伸长，试
写出杆在撒去力
F
0
后振
动时的边界条件
_________
，
_________
（
3
）
长为
L
的均匀细
杆
,
一端有恒定热流
q
0
流入
,
另一端保持恒温
T
0
,
试写
出此热传导问题满足的边界条件
____________,
_________
。
（
4
）
. <
/p>
长为
L
的均匀杆
,
一端固定
,
另一端受拉力
F
而伸长
,
放手后让其自由
振动
,
试写出杆振动满足的初始条件
=
____________
，
_________
。
（
5
）对球函数
Y
L
m
（
θ
φ
）<
/p>
,
当
m
＞
L
时
,
为
Y
Lm
（<
/p>
θ
φ
）
____
__
。
dJ
0
?
0
?
?<
/p>
____
, J
0
（
0
）
=
____
。
（
6
）对
m
阶贝塞尔函数
J
m
（
x
）
，
dx
（
< br>7
）无限长弦的自由振动
,
设弦
的初始位移为
Sin(kx)
,
初始速度为
零
,
则弦
上
任意时刻的波动为
______________
。
(
其中
a
为弦上的波速
,
k
为波
矢的大小
)
（
8
）
无限长弦的自由振动
,
设弦的初始位移为
φ
(x),
初始速度为
a
φ
，<
/p>
(x)
，
（
a
为弦上的波速）则弦上任意时刻的波动为
______________
。
（
9
）稳定的温度场的温度分布
u
满足的数学物理方程为
_____________
。
4
x
（
10
）对
m
阶贝塞
尔函数
J
m
（
x
）
，
?
J<
/p>
1
?
x
?
dx
?
____
。<
/p>
1
2
x
（
（
11
）
对
L
阶勒让德多项式
P
（
x
）
,
积分
3
x
）
dx
=___
________.
L
?
P
?
1
（
12
）对
L
阶连带勒让德多项式
P
L
m
(
x
)
,
当
m
>L
时
,
P
L
m
(
x
)
=
______
.
（
13
）
<
/p>
半径为
R
的园形薄膜
,
边界固定
,
当其振动时的最
低本征
频
率为
___________
.
2
、计算题
(1)
试用分离变量法求出下列定解
问题的通解
,
并确定系数
.
2
?
?
2
u
?
u
2
?
a
?
0
?
2
2
< br>?
t
?
x
?
u
?
0
,
t
?
?
0
,
u
?
l
,
t
?
?
0
,
?
0
< br>?
x
?
l
.
0
?
t
?
?
?
u
?
x
,
0
?
?
?
?
x
?
,
u
< br>?
x
,
0
?
?
?
?
x
?
t
?
?
(2)
试用分离变量法求出下列定解问题
的通解
,
并确定系数
.
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