-
第五章：
Youla
参数化和
H-
?
最优控制
The Youla Parametrization and
H-
?
Optimal Control
5.1
稳定分式表示
(stable fractional
representation-SFR)
称
(
G
(
s
),
K
(
s
))
< br>是内部稳定的，或
K
(
s
)
镇定
G
(
s
)
。
u
1
e
1
< br>y
2
G
(
s
)
K
(
s
)
e
2
y
1
u
2
图
5.1
标准反馈系统
求出
(
负反馈条件下
)
< br>?
(
I
?
KG
)
?
1
H
eu
(
s
)
?
?
?
1
G
(
I
?
KG
)
?
?
(
I
?
KG
)
?
1
K
< br>?
?
?
1
(
I
?
G
K
)
?
?
1<
/p>
U
(
s
)
都是稳定
U
(
s
)
SFR
意义下的
单模阵
(
幺模阵
,
unimodular)
：
与
?
1
U
(
s
),
U
(
s
)
?
RH
?
。
有理分式，即
?
1
%
%
(
s
)
?
< br>1
N
(
s
)
，
设
G
(
s
)
?
N
(
s
)
D
(
s
)
?
D
%
%
< br>K
(
s
)
?
Y
(
s
)
?
1
X
(
s
)
?
X
(
s
)
Y
(
s
)
?
< br>1
，
%
%
%
%
N
(
s
),
D
(<
/p>
s
),
D
(
s
),
N
(
s
),
Y
(
s
),
X
(
s
),
X
(
s
),
Y
(
s
)
?
RH
< br>?
定义：
右互质
(right coprime)
如果
<
/p>
N
(
s
)
?
N
(
s
)
U
(
s
)
D
(
s
)
?
D
(
s
)
U
(
s
)
< br>
只对单模阵
U
(
s
)
< br>成立，则称
N
(
s
)
与
D
(
< br>s
)
右互质；
?
1
这时称
G
(
s
)
?
N
(
s
)
D
(
s
)
是不可约的
(irreducible)
怎样判定
N
(
s
< br>)
与
D
(
s
)
右互质？
存在稳定分式矩阵
X
(
s
),
Y
(
s
)
使得
X
(
s
)
N
(
< br>s
)
?
Y
(
s
)
D
(
s
)
?
I
。
?
1
如果
G
(
s
)
?
N
(
s
)
D
(
s
)
是不可约的
(irreducible)
，则
G
< br>(
s
)
的极点是
D
(
s
)
的零点。
SFR
表示不是唯一的。
按
G
(
s
),
K
(
s
< br>)
上面的表示，
?
D
(
YD
?
XN
)
?
1
Y
H
eu
(
< br>s
)
?
?
?
1
N
(
Y
D
?
XN
)
Y
?
?
D
(
YD
?
XN
)
?
1
X
?
?
I
?
N
(
YD
?
XN
)
?
1
< br>X
?
定理：
图
< br>5.1
所示反馈系统内部稳定的
充要条件
是
?
1
YD
?
XN
是单模阵，即
YD
?
XN
,(
YD
?
XN
)
?
RH
?
。
不失一般性，可以设
YD
?
XN
?
I
，
进而，
可以得到，
如果
K
(
s
)
镇定
%
%
%
< br>%
(
s
),
N
(
s
),
Y
(
s
),
X
(
s
),
X
(
s
),
Y<
/p>
(
s
)
?
RH
?
，
G
(
s
)
，则存在
N
(
s
),
D
(
s
),
D
?
1
%
%
(
s
)
?
1
N
(
s
)
，
<
/p>
使得
G
(
s
)
?
N
(
s
)
D
(
s
)
?
D
< br>%
%
K
(
s
)
?
Y
(
s
)
?
1
X
(
s
)
?
X
(
s
)
Y
(
s
< br>)
?
1
，
X
?
?
D
?
Y
?
?
且满足
?
?
N
%
D
%
?
?
?
N
%
?
?
I
< br>?
X
?
?
?
%
?
?
0
Y
0
?
。
I
?
?
所有控制器的参数化
%
%
)
D
?
(
X
?
RD
)<
/p>
N
(
s
)
?
I
，
R
为任意稳定有理
由上式可以得到
(
Y
?
RN
真分式，则所有控制
器的
Youla
参数化表示为：
%
%
%
S
(
G
)
?
{
K
:
K
< br>?
(
Y
?
RN
)
?
1
(
X
?
RD
)
,
R
?
RH
?
,det(
Y
?
RN
)
?
0}
。
如果
G
(
s
)
是稳定的，
则闭环系统内部稳定
(
K
(
s
)
镇定
G
(
s
)
)
当且
?
1
Q
?
K
(
I
?
GK
)
仅当
是
(
指数
)
稳定的。
(
按定理
3.5
，得出如果
G
稳定
，
闭环系统稳定当且仅当
Q
稳定
.)
?
1
?
1
(
I
?
KG
)
?
I
?
QG
，
(
I
?<
/p>
KG
)
K
?
Q
这时
，
(
I
?
GK
)
?
1
G
?
(
I
?
< br>GQ
)
G
，
S
?
(
I
?
GK
)
?
1
?
I
?
GQ<
/p>
灵敏度函数。
?
1
K
?
(
I
?
QG
)
Q<
/p>
，即
因此可得任意控制器为
S
(
G
)
?
{
K
:
K
?
(
I
?
QG
)
?
1
Q
,
Q
?
RH
?
,
det(
I
?
QG
)
?
0}
---
所有控制器的
Youla
参数化表示。
稳定的
传递函数集是一个环
(
ring
)
—
stable
fractional
representations
?
s
?
2
例
5.1
G
(
s
)
?
?
s
?
1
?
?
1
s
< br>?
3
?
s
?
4
?
?
?
s
?
4
?
?
(
s
?
2)(
s
?
4)
?
?
?
(
s
?<
/p>
1)(
s
?
4)
?
s
?
4
?
?
?
?
s
?
2
?
?
?
s
?
1
0
?
?
1
s
?
3
?
?
?
< br>s
?
4
?
s
?
4
?
?
?
0
?
s
?
4
?
s
?
3
?
s
?
4
?
?
< br>?
1
（问题：上例中
G
(
s
)
的
MFD
描述是怎样的？）
1
0
?
?
1
?
0
?
?
0
?
?
s
?
2
?
< br>?
2(
s
?
4)(
s
?
2)
< br>?
?
?
?
?
?
2(
s
?
4)
?
s
?
4
s
?
4
?
?
?
0
?
?
?
?
s
?
1
?
< br>s
?
10
?
?
?
(
s
?
10)(
s
?
1)
?
?
s
?
4
?
?
s<
/p>
?
10
?
1
0
?
?
?
K
(
s
)
?
?
?
2(
s
?
4)(
s
?
2)
s
?
< br>4
所以
?
?
?
s
?
10
?
?
?
(
s
?
10)(
s
?
1)
?
?
1
s
?
3
?
?
1
0
?
?
?
?
s
?
4
?
?
< br>0
1
?
?
?
0
?
?
2
(
s
?
4)
?
?
?
0
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
s
?
< br>10
?
0
?
?
1
?
0
?
?
s
?
2<
/p>
?
?
检验：
?<
/p>
0
s
?
4
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
s
?
1
?
s
?
4
?
1
0
?<
/p>
?
s
?
3
?
?
?
?
?
2(
s
?
2)
s
?
10
?
?
s
< br>?
4
?
?
?
s
?
4
?
?
?
(
s
?
1)
?
?
(
s
?
2)(
s
?
4)
另一方面，
?
(
s
?
1)(
s
?
4)<
/p>
?
?
0
?
s
?
3
?
?
?
s
?
4
?
?
s
?
4
?
?
?
?
?
1
，<
/p>
2(
s
?
4)
?
?
?
?
?
?
?
s
?
4
?
?
s
?
10
< br>?
s
?
4
?
?
?
s
?
10
?
%
%<
/p>
%
%
(
s
),
N
(
s
),
Y
(
s
),
X
(
s
),
X
(
s
),
Y
(
s
< br>)
确定。
则
N
(
s
),
D
(
s
),
D
5.2
H-
?
最优化问题
H-
?
Optimization
problem
不精确已知被控对象的标准反馈结构如图
6.
1(P185)
。
P
?
P
11
(
< br>s
)
12
(
s
)
?
无摄动时如图
6.2(P186)
，设
P
(
s
)
?
?<
/p>
P
(
s
)
P
(
s
)
?
?
21
22
?
使得
z
?
P
11
w
?
P
12
u
< br>,
y
?
< br>P
21
w
?
P
22
u
。使用反馈
u
?
Ky
得到
?
1
z
< br>?
[
P
?
P
K
(
I
?
P
K
)
P
21
]
w
:
?
F
l
(
P
,
K
)
w
11
12
22
实际设计中通常要求：
minimize
F
l
(
P
,
K
)
?
这就是
H-
?
最优化问题
H-
?
Optimization
problem
本章内容：
1)
问
题是怎样产生
(
引出
)
的？
2)
怎样用状态空间算法求解
.
问题求解
的思路：首先应使系统稳定，给出所有镇定控制器的结构
(
给出
所有控制器的参数化表示
)
；然后从控制器中选出最优的。
5.2.1
一个有启发意义的例子：灵敏度最小
A motivating example: sensitivity
minimization
图
6.
3(P187)
所示，
SISO
系统，
设
d
是未知扰动，但频谱限制在
0
?
?
?
?
b
，寻找一个控制器
K
使得扰动对输出
y
的影响最小
min
imize
S
?
,
or
min
imize
sup
S
(
j
?
)
?
S
?
(
I
?
GK
)
?
1
-
--
灵敏度函数，在该频率段上幅值最小，但超出该段
将导致噪
声放大，使稳定性
(
裕度
)
变差。
通常设计取权函数
W
(
j
?
)
?
1
, 0
?
?
?
?
b
;
W
(
j
?
)
=
1
,
?
?
?
b
则最小化问题
minimize
sup
W
(
j
?
)
S
(
j
?
< br>)
。
?
?
1
Q
?
K
(
I
?
GK<
/p>
)
如
定
义
，
则
(
I
?
KG
)
?
1
K
?
Q
< br>，
(
I
?
KG
)
?
I
?
QG
，
(
I
?
GK
)
?<
/p>
1
G
?
(
I
?
GQ
)
G
。灵敏度函数
S<
/p>
?
(
I
?
GK
)
?
1
?
I
?
GQ
。
sup
W
(
I
?
GQ
)(
j
?
)
这时优化问题转化为
minimize
stable <
/p>
Q
?
?
1
应用
Youla
参数化方法使我们转化设计问
题作为一个
几乎不受约束
的优化问题
(
Q
任意取，保证系统正则稳定
)
。
该例显示：
Yo
ula
参数化可以简化优化问题。如果
J
?
WS
取幅值最
*
< br>J
小，则最优值
是常值，即全通函数。因此，选择权函数
是至关重
要的，这是一个敏感的
(sensible)
工程问题。
注意：
有
时最优解是不可实现的；
即问题可能无解
(
解是非正则控制
器
)
。有的问题不
用
Youla
参数化求解，不是
H-<
/p>
?
问题。
5.3
H-
?
控制问题公式化
The H-
?
problem
formulation
5.3.1
几个
< br>H-
?
问题的例子
灵敏度最小
sensitivity
minimization
?
1
F<
/p>
l
(
P
,
K
)
?
P
?
P
K
(
I
?
P
K
)
P
21
11
12
22
F
l
(
P
,
K
)
?
W
(<
/p>
I
?
GK
)
?
1
?
W
[
I
?
GK
(
I
?
GK
)
?
1
]
< br>
P
11
?
W
,
P
12
?
?
WG
,
P
21
?
I
,
P
22
?
?
G
一般考虑
P
21
列比行多
)
更复杂。
11
,
P
< br>21
是方形情况，当
P
12
行比列多
(
P
加摄
动下的鲁棒性
Robustness to
additive perturbations
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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