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第二章
解析函数
1
．用导数定义，求下列函数的导数：
(1)
f
(
x
)
?
z
Re
z
.
解
:
因
当
z
?
0
时
,
上述极限不存在
,
故导数不存在；当
z
?
0
时
,
上述极限为
0,
故导数为
0.
2<
/p>
．下列函数在何处可导
?
何处不可导
?
何处解析
?
何处
不解析
?
(1)
f
(
z
)
?
z
?
z
2
.
解
:
这里
u
(
x
,
y
)
?
x
(
x
2
?
y
2
),
< br>v
(
x
,
y
)
?
y
(
x
2
?
y
2
).
要
u
x
?
v
y
,
u
y
?
?
v
x
，当且当
x
?
y
< br>?
0,
而
u
x
,
u
y
,
v
x
,
v<
/p>
y
均连续，故
f
(
z
)
?
z<
/p>
?
z
2
.
仅
在
z
?
0
处可导，处处不解析
.
(2)
f
(
z
)
?
x
3<
/p>
?
3
xy
2
?
i
(3
x
2
y
?
y
3
).
解
:
这里
u
(
x
,
y
)
?
x
3
?
3
xy
2
,
v
(
x
,
y
)
?
3
x
2
y
?
y
3
.
u<
/p>
x
?
3
x
2
?
3
y
2
,
四个偏导数均连续
且
u
x
?
v<
/p>
y
,
u
y
?
?
v
x
处处成立
,
故
f
(
z
)
在整个复平面上
处处可导
,
也处处解析
.
3
．确定下列函数的解析区域和奇点
,
并求出导数
.
az
?<
/p>
b
(1)
(
c
,
d
至少有一不为零
< br>).
cz
?
< br>d
az
?
b
d
d
解
:
当
c
?
0
时
，
f
(
z
)<
/p>
?
除
z
?
?
外在复平面上处处解析
,
z
?
?
为奇点
,
cz
?
d
c
c
az
?
< br>b
a
当
c
?
0
时，显然有
d
< br>?
0
，故
f
(
z
)
?
在复平面上处处解析，且
f
?
(
z
)
?
.
d
d
4.
若函数
f
(
z
)
在区域
D
内解析
,
并满足下列条件之一
,
试证
< br>f
(
z
)
必为常数
.
(1)
f
(
z
)
在区域
D
内解析
;
(2) <
/p>
v
?
u
2
;
(3)
arg
f
(
z
)
在
D
内为常数
;
(4)
au
?
bv
?
c
(
a
,
b
,
c<
/p>
为不全为零的实常数
).
证
(1)
因为
f
(
z
)
在
D
中解析
,
所以满足
C
?
R
条件
又
f
(
z
)
?
u
?
iv
也在
D
中解析
,
也满足
C
?
R
条件<
/p>
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从而应有
?
u
?
< br>u
?
v
?
v
?
?
?
?
0
恒成立
,
故
在
D
中
u
,<
/p>
v
为常数
,
f
(
z
)
为常数
.
?
x
?<
/p>
y
?
x
?
y
(2)
因
f
(
z
)
在
D
中解析且有
f
(
z
)
?
u
?
iu
2
,
由
C
?
R
条件
,
有
< br>则可推出
?
u
?
u
?
?
0
,
即
u
?
C
(
常数
).
故
f
(
z
)<
/p>
必为
D
中常数
.
?
x
?
y
?
(
v
/
u
)
?
(
v
/
u
)
< br>v
?
y
?
x
?
0,
?
0,
(3)
设
f
(
z
)
?
u
?
iv
,
由条件知
arctan
?
C
,
从而
2
2
1
?
(
v
/
u
)
1
?
(
v
/<
/p>
u
)
u
计算得<
/p>
u
2
(
?
v
?
u
?
v
?
u
u
2
(
u
< br>?
v
)
/
u
2
u
?
v
)
/
u
2
?
y
?
y
?
x
?
x
?
0,
，
?
0
u
2
?
v
2
u
2
?
v
2
化简<
/p>
,
利用
C
?
R
条件得
所以
数
.
(4)
法一：设
< br>a
?
0,
则
u
?
(
c
?
bv
)
/
a
,
求导得
由
C
?
R
条件
故
u
,
v
必为常数
,
即
f
(
z
)
在
D
中为常数
.
设
a
?
0,
b
?
0,
c
?
0
则
bv
?
c
,
知
v
为常数
,
又由
C
< br>?
R
条件知
u
< br>也必为常数
,
所
以
f
(
z
)
< br>在
D
中为常数
.
?
u
?
u
< br>?
v
?
v
?
?
0,
同理
?
?
0,
即在
D
中
u
,
v
为常数
,
故
f
(
z
)
在
D
中为常
?
x
?
y
?
x
?
y
?
au
x
?
bv
x
?
0
法二：等式两边对
x<
/p>
,
y
求偏导得：
?
，由
C
?
R
条件，我们有
au
< br>?
bv
?
0
y
?
y
?
au
x
?
bu
y
?
0
?
a<
/p>
?
b
?
?
u
x
?
,
即
?
?
?
?
u
?
?
0
，
bu
?
au
?
0
y
?
b
a
?<
/p>
?
y
?
?
x
而
a
2
?
b
2
?
0
，故
u
x
< br>?
u
y
?
0
，从而
u
为常数，即有
f
(
z
)
在
D
中为常数
.
?
2
?
2
5.
设
f
(
< br>z
)
在区域
D
< br>内解析
,
试证
:
(
2
?
2
< br>)
|
f
(
z
)
|
2
?
4
|
f
?
(
z
)
|
2
.
?
x
?
y
证
< br>:
设
f
(
z
)
?
u
?
iv
,
|
f
(
z
)
|
2
?
u
2
?
v
2
,
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