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为什么称未知数为“元”？
汪晓勤
（华东师范大学数学系
,
上海
,
200241
）
数学教学中，我们常
常会遇到三种“为什么”，一是“逻辑上的为什么”，如：“为什
么等腰三角形两底角相
等”、“为什么三角形内角和等于两个直角”、“为什么
2
是无
理
数”等等，
对于这类“为什么”，
我们可以通过逻辑推理的手段来解决；二是“历史上的
为什么”，如：“为什么要将圆分
成
360
等分，每一等分所对圆心角为
1
度”、“为什么
平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫<
/p>
‘象限’
”
、
“
为什么称无限不循环小数为无理数”
等等，对于这类“为什么”
，逻辑的手段不再有效，只有通过历史知识才能解决。
那么，
面对“历史上的为什么”，教师持何种反应？这类“为什么”会引起教师怎样的
反思？为
了回答上述问题，笔者在上海市十二五市级共享课程“数学史与数学文化”的
BB
S
讨论区，发了这样一则帖子：
最近，
去某初级中学交流，
一位资深数学教师告诉
笔者：
学生在课堂上问一位年轻教师：
为什么未知数叫“元”？
教师答：大概因为古人认为“天圆地方”呗！如果是你，如何向学
生解释？
多少有些出乎意料，这个问题引起了在线教师的热烈讨论。
1
教师对
“
为什么未知数叫
‘
元
’”
的反应
为什么未知数叫“元”？这是一个典型的“
历史上的为什么”。在线的所有教师都表示
从没有想过这个问题。以下是部分教师的反应
。
T1
：
这
个问题真有意思。说实话，教了那么多年的数学，从没想过这个问题，也没学
生问过我。
T2
：
如果
学生问我，还真回答不出来。教学过程中，总想着如何让学生易于理解，但
却忽略了名词
本身的解释，值得反思。
T3
：
一直把它作为专用名词，真没考虑过为什么，也真没有学生来问过，看来自己的
数学史功底很不够，缺乏了一种追根溯源的追问精神。
T4
：
这个问题从来都没有思考过，看到这个问题的时候自
己也纳闷，看来真的是活到
老，学到老。
T5
：
从来没有考虑过为什么这么说，就像
1+1=2
一样，认为是理所应当。
在线教师的给出的解释大致有以下几类：
1
●
古时候常用通假字，而
“元”通“源
”，解方程其实就是“追本溯源”。这一解释
来自百度。
●
“元”也就是变量，一元方程含一
个变量，二元方程含两个变量。这一解释也来自
百度。
●
符号代数的创始人韦达曾用元音字
母
A
、
E
、<
/p>
I
等表示未知数，故未知数叫“元”。
●
“元”是个量词，与“一元钱”、
“二元钱”中的“元”相类似。
●
“元”是明代徐光启翻译《几何原本》时创用的一个数学术语。
●
“元”是从日本传入中国的一个数学术语。
●
“元”不过是人们约定俗成的一个数学术语。
所有上述解释都不是用“元”表示未知数的真正原因。认同第一种解释的教师最多，其
< br>中一位教师写道：“百度来的，有问题找百度！”可见，中学数学教师在遇到疑难问题时，
过于依赖网络，对于网上所说是否正确，缺乏正确的判断。
2
用
“
元<
/p>
”
表示未知数的历史
< br>实际上，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋元时期的天元术。所谓天元术，
就是
在解代数问题时，先“立天元一为某某”，再根据题设条件，建立等式，最后通过移
项、合
并同类项，得到一个方程。“立天元一为某某”，就是我们现在的“设某某为
x
”。
今天我们
所能见到的天元术著作，只有李冶（
1192
～
1279
）的《测圆海镜》和《益古演
段》
、朱世杰（
1249
～
3
14
）的《算学启蒙》和《四元玉鉴》
。我们以《测圆海镜》卷
二最后
一题为例：“或问：出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问城径
几何？”
《测圆海镜》全书共含
17
0
个问题，
均围绕“勾股容圆”而设，
即都与直角三角形内切圆有
关。这里，西门、北门是指圆城的西门、北门。李冶给出的解
题过程是
[1]
：
< br>元
“立天元一为半径。
置南行步在地，
< br>内减天元半径，
得
，
为股圆差。
元
又置乙东行步在地，内减天元，得下式
，为勾圆差。以勾圆差增乘股圆
2
元
差，得
，
为半段黄方幂，即城幂之半也。又置天元幂以倍之，
元
得
，
亦为半段黄方幂。
与左相消，
得
。
如法开之，
得半径，合
问。”
以上我们看到的就是
“原汁原
味”
的天元术。
易于用今天的代数语言对上述解题过程作
出解释。如图
1
，设圆城半径为
x
，则
AE
?
480
?
x
，
BD
?
200
?
x
。因
2
AE
GF
，故
?
EH
FH
得
?
480
?
x
??
200
?
x
?
?
2
x
，
即
x
2
?
680
x
?
96000
?
2
x
2
，
移
项
相
消
< br>后
得
方
程
?
x
2
?
6
8
x
0
?
C
9
6
0
?
0
。
0
0
D
B
< br>G
E
H
F
元
A
图
1
《测圆海镜》中的圆城问题
图
2
三次多项式的表示法
从李冶的天元术解题过程可见，
多项式的写法是：
只
列出各项系数，
按幂的次数从低到
高的顺序，
< br>由下至上排列。
一次项系数旁标一
“元”
字
（有时也在常数项旁标一
“太”
字）
，
上面依次为二次项系数，三次项系数，等等，而下面
为常数项。例如，图
2
（
采自《测圆海
3
2
镜》卷六
）
表示的就是三次多项式
4
x
?
1484
x
?
270080
x
?
1
0444800
（注意，斜杠表示
负号）
。方程总是化成右边等于零的形式，因此只需写出左边的多项式；只不过此时不再出
3
现“元”字，因为最下面一个数总是常数项，不会产生歧义。
朱世杰在
《四元玉鉴》
中将天元术拓广为四
元术，
除了天元，
又引入地元、
人元、
物元，
用以解决多元高次方程组。
<
/p>
清末，李善兰（
1811
～
1882
）和伟烈亚力（
1815
< br>～
1887
）合译英国数学家德摩根（
< br>A. de
Morgan, 1806
～
1871
）的《代数学》，创用“多元一次方程”这样的术语
[2]
。该术语是西方
数学术语与中国传统数学术语完
美结合的典范。在
《代数学》
和另一部微积分教材
《代微积
拾级》中，李善兰用“天”、“地”、“人”、“物”分别代替英文
字母
x
、
y
、
z
、
w
（前<
/p>
二十二个字母分别用天干地支来代替），于是，“天”、“地”、“人”、“物”成了表示
未知数的符号，而“元”即为未知数的统称。
从上面的历史考察可以看出，用“元”表示未知数，实源于天元术，追本溯源之说虽貌
< br>似有理，实属臆测；
“元”这一称谓并非舶来品，亦非约定俗成，与元音字母更是
风马牛不
相及。教师对于“元”的错误解释，或对于网上说法的盲从，源于数学史知识的
缺失。
3
未知数在国外的称谓和表示法
在关于
“元”的词源的讨论过程中，有教师还提出这样的问题：
“外国人管未知数叫什
么呢？他们有没有特别的称谓？”
在今天的英文中，与“未知数”对应的术语是
unknown
numbers
，一般用
x
来表示。但
是，
在历史上，
不同国家或地区确有不
同的未知数称谓或表示法。
古代印度数学家婆罗摩笈
多（
Brahmagupta, 598
～
670
）和婆什迦罗（
Bhāskara, 1114
～
1185
）等用梵文中不同颜色名
< br>的首音节来表示不同未知数
[3]
。阿拉伯数学家花拉子
米（
Al-Khwarizmi,780
～
850
）称未知数
为“物”或“根”
。我们来看他的《代数学》中的一个问题：
“将
10
分成两部分，各自乘，
所得乘积之和等于
58<
/p>
。
”花拉子米的解法如下：
“
设其中一部分为物，则另一部分为
10
减物。将
10
减物自乘，得
100
加
1
平方减
20
物。将物乘以物，得
1
平
方。将两个乘积相加，得
100
加
2<
/p>
平方减
20
物，等于
58
。……得
21
加
1
平方等于
10
物。
”
[4]
12
世纪，英国学者罗伯特（
Robert of Chester
）将花拉子米的著作译成拉丁文，传入欧
洲。罗伯特将“物”译为<
/p>
res
。
13
世
纪初，斐波纳契在《计算之书》中完全沿用了“物”这
一称谓。如：
“将
10
分成两部分，使其平方
和为
62
1
。设第一部分为物，自乘得
平方。第二部分为
2
4
10
减物，……自乘得
100
加平方减
20
物。加上第一部分的平方，得
100
加
2
平方减
20
物
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