-
2
验证拉格朗日中值定理对函数
y
4
x
35
x
2
x
2
< br>在区间
[0 1]
上的正确性
解
因为
y<
/p>
4
x
35
x
2
x
2
在区间
[0 1]
上连续
在
(0
1
内可导
由拉格朗日中值定理知
至少存
在一点
(0 1
使
由
y<
/p>
(
x
12
x
210
x
10
得<
/p>
因此确有
使
3
对
函数
f
(
x
s
in
x
及
F
(
xx
cos
x
在区间
上验证柯西中值定理的正确性
解
因为
f<
/p>
(
x
sin
x
及
F
(
xx<
/p>
cos
x
在区间
上连续
在
可导
且<
/p>
F
(
x
1sin
x
在
使得
内不为
0
所以由柯西中值定理知至少存在一点
令
即
化简得
内有解
即确实存在
易证
,
使得
所以
在
4
试证
明对函数
ypx
2
qxr
应用拉格朗日中值定理时所求得的点
总是位于区间的正
中间
证明
因为函数
ypx
2
qxr
在闭区间
[
a
b
]
上连续
在开区间
(
a
b
内可导
由拉格朗日中值
定理
至少存在一点
(
a
b
使得
y<
/p>
(
by
(
ay<
/p>
((
ba
即
(
pb<
/p>
2
qbr
(
pa
2
qar
(2
pq
(
ba
化间上式得
p
(
ba
(
ba
2
p
(
ba
故
5
不用求出函数
f
< br>(
x
(
x
1(
x
2(
x
3(
x
4
的导数，说明方程
f
(
x
0
有几个实根
并指出它们所在
的区间
解
由于
f<
/p>
(
x
在
[1
2]
上连续
在
(1
2
内可导
且
f
(1
f
(20
所以由罗尔定理可知
存在
1
(1 2
使
f
(
1
0
同理存在
2
(2 3
使
f
(
2
0
存在
3
(3 4
使
f
(
3
0
显然
1
、
2
、
3
都是方程
f
(
x
0
的根
注意到方程
f
(
x
0
是三次方程
它至多能有三个实根
现已发现它的三个实根
故它们
也就是方程
f
(
x
0
的全部根
6
证明恒等式
证明
设
f<
/p>
(
x
arcsin
x
arccos
x
因为
(1
x
1
所以
f
(
xC
其中
C
是一常数
因此
即
7
若方程
a
0
xna
1
xn
1
a
n1
x
0
有一个正根
x
0
证明方程
a
0
nxn
1
a
1(
n
1
xn
2
a
n1 0
必有一个小于
x
0
的正根
证明
设
F<
/p>
(
xa
0
xna
1
xn
1
a
n1
x
<
/p>
由于
F
(
x
在
[0
x
0]
上连续
在
(0
x
0
内可导
且
F
(0
F<
/p>
(
x
00
根据
罗尔定理
至少存在一点
(0
x
0
使
F
(0
即方程
a
0
nxn
1
a
1
(
n
1
xn
2
a
n1 0
必有一个小于
x
0
的正根
8
若函数
f
(
x
在
(
a<
/p>
b
内具有二阶导数
< br>且
f
(
x
1
f
(
x
2
f
(
x
3 <
/p>
其中
ax
1
x<
/p>
2
x
3
b
证明
在
(
x
1 <
/p>
x
3
内至少有一点
使得
f
(0
证明
由于
f
(
x
在
[
x
1
x
2]
上连续
在
(
x
1
x
2
内可导
且
f
(
x
1
f
(
x
2
根据罗尔定理
至
少存在一
点
1(
x
1
x
2
使
f
(10
同理存在一点
2(
x
2
x
3
使
f
(20
又由于
f
(
x
在
[1
2]
上连续
在
(1
2
内可导
且
f
(1
f
(20
根据罗尔定理
至少存在一点
(1
2(
x
1
x
3
使
f
( 0
9
设
ab
0
n
1
证明
nbn
1(
abanbnnan
1(
ab
证明
设<
/p>
f
(
xxn
<
/p>
则
f
(
x
在
[
b
a
]
上连续
在
(
b
a
内可导
由拉格朗日中值定理
存在
(
b
a
使
f
(
af<
/p>
(
bf
((
ab
即
anbnn
n
1(
ab
因为
nb
n
1(
abn
n
1(
ab
nan
1(
ab
所以
nbn
1(
abanbn
nan
1(
ab
10
设
ab
0
证明
证明
设<
/p>
f
(
x
ln
x
则
f
(
x
在区间
[
b
a
]
上连续
在区间
(
b
a
内可导
由拉格朗日中值定理
存
在
(
b
a
使
f
(
af
(
bf
((
ab
即
因为
ba
所以
即
11
证明下列不等式
(1|arctan
aarctan b||ab|
(2
当
x1
时
e
x
ex
证明
(1
设
f
(
x
arctan
x
则
f
(
x
在
[
a
b
]
上连续
在
(
a
b
内可导
由拉格朗日中值定理
存在
(
a
b
使
f
(
bf
(
af
((
ba
即
所以
即
|arctan aarctan b||ab|
(2
设
f
(
xex
则
f
(
x
在区间
[1
x
]
上连续
在区间
(1
x
内可导
由拉格朗日中值定理
存在
(1
x
使
f
(
xf
(1
f
((
x
1
即
ex
ee
(
x
1
因为
1
所以
ex
ee
(
x
1
e
(
x
1
即
exex
12
证明方程
x5x10
只有一个正根
证明
设
f(xx5x1
则
f(x
是
[0
内的连续函数
因为
f(01
f(11
f(0f(10
所以函数在
(0
1
内至少有一个零点
即
x5x10
至少有一个
正根
假如方程至少有两个正根
则由罗尔定理
f
(x
存在零点
但
f (x5x410
矛盾
这说明
方程只能有一个正根
13
设
f
(x
、
g(x
在
[a b]
上连续
在
(a
b
内可导
证明在
(a
b
内有一点
使
解
设
b
使
(b(a((ba
则
(x
在
[a
b]
上连续
在
(a
b
内可导
由拉格朗日中值定理
存在
(a
即
因此
14
证明
若函数
f(x
在
(
内满足关系式
f (xf(x
且
f(01
则
f(xe
x
证明
令
则在
(
内有
所以在
(
内
(x
为常数
因此
(x(01
从而
f(xe
x
15
设函数
yf
(
x
在
x
0
的某邻域内
具有
n
阶导数
且
f
(0
f
(0
f
(
n
1(00
试用柯西中值定理
证明
(01
证明
根据柯西中值定理
(1
介于
0
与
x
之间
(2
介于
0
与
1
之间
依次下去可得
所以
由于
n
可以表示为
n
x
(01
所以
习题
32
1
用洛必达法则求下列极限
(1
(2
(3
(4
(5
(6
(3
介于
0
与
2
之间
(
n
介于<
/p>
0
与
n
1
之间
(01
(7
(8
(9
(10
(11
(12
(13
(14
(15
(16
解
(1
(2
(3
(4
(5
(6
(7
(8
(9
(10
(
注
co
s
x
ln(1
x
2~
x
2
(11
(12
(
注
当
x
0
时
(13
(14
因为
而
所以
(15
因为
而
所以
(16
因为
而
所以
2
验证极限
存在
但不能用洛必达法则得出
解
极限
是存在的
但
不存在
不能用洛必达法则
3
验证极限
解
存在
但不能用洛必达法则得出
5
．
以
下
哪
一
个
不
是
Inteoet
的
接
入<
/p>
方
式
（
）
。
A
.
ISDN
上
网
B
不
存
在
6
．
小
型<
/p>
企
业
互
联
网
解
决
方
案
主
要
是
（
A
．
主
机
托
管
B
．
虚
拟
主
机
C
．独立服务器
D
0
处的连续性
解
A
-
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-
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