-旬
巴黎圣母院的钟声迎来了
20
世纪。
1900
年，
人们都吧眼光放在未来：
无产阶级正在组
织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时
代的潮流??。这一年的
8
月
6
日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。年方
38
岁的德国数学家大卫?希尔伯特走上
讲台，第一句话就问道：
< br>“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高
兴呢？”接着，
他向到会者，也向国际数学界提出了
23
个数学问题，这就是著
名的希尔伯
特演说。这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为
20
世纪的数学发展揭开了光辉的第
一页！
< br>
科学发展的每一个时代都有自己的问题。
希尔伯特站在
当时数学研究的最前沿，
高瞻远
瞩地用
23
个数学问题，预示
20
世纪数学发
展的进程。现在，时光已过去
80
多年。这
23
个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。
80
年来，人们把
解决希尔伯特问题，哪怕是
其中一部分，都看成至高无上的荣誉。据统计，从
1936
?<
/p>
1974
年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（
< br>Fields
）
国际数学奖的
2
0
名获奖人中，至少有
12
人
的工作与希尔伯特问题有关。
1976
年，美国
数学会组织评论
1940
年以来的美国十大数学
成就，就有
3
项是希尔伯特问题的（
< br>1
）、（
5
）、（
10
）等
3
个问题的解决。
重要的问题
历来是推动科学前进的杠杆之一，
但一位科学家如此
自觉、
如此集中地提出一整批问题，
并
且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。
希尔伯特，
1862
年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁
格勒）。
1884
年获哥尼斯
堡大学博
士学位。
1895
年担任著名的哥廷根大学教授，直到
1943
年去世。他最初的研究
领域是代数不变
量和代数数论。
1900
年前后致力于数学基础──元数学。后
来又转到分析
方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的
贡献。
希尔伯特为发表
1900
年的重要演说，曾作过仔细的准备。
1899
年，第二届国际数学
家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。
希尔伯特接受了邀请，
并计划在这世纪
交替之际作一
个相称的发言。
当时他有两个想法：
或者作一个为纯粹数学辩护
的讲演，
或者
讨论一下新世纪数学发展的方向。
为此，
他写信与他的好友，
杰出的数学家闵可夫斯基进
行
商量。闵可夫斯基于
1900
年
1
月
5
日回信说：
“最有吸引力的题材莫过于展望未来，列出
在新世纪里数学家应
当努力解决的问题。
这样一个题材，
将会使你的讲演在今后几十
年的时
间里成为人们议论的话题。”当然，闵可夫斯基也指出了做这类预见性发言会遇到
的困难。
经过一番斟酌，
希尔伯特决
意选择第二个想法，
提出一批急需解决的重大数学问题。
希
尔伯特曾指出，
历史上通过提出问题会导致整门新科学的诞生。
他举了三个典型例子。
第一，
贝努利
（
Bernoulli
）
的最速降落线问题是现代数学分支──变分法的起源。
第二，
费尔马
（
F
ermat
）问题，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，却大大推动了代数数论的进展，
< br>现代代数数论中的核心概念
“理想数”
正是为了解决费尔
马问题而提出的。
第三，
三体问题，
它
对现代天体力学起了关键作用。
这三个问题，
既有纯粹从数学本
身提出的，
也有从基本自
然现象提出的。
希尔伯特提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支，
达到了预期的目
的。
对希尔伯特来说，在国际数学家会议上报告
自己的成果，远比提出新问题要容易得多，
当时，
希尔伯特正当
科学创造活动的盛年，
业已作出了许多世所公认得成绩。
人们本
来以为
他会拿出优异的数学论文来回答国际数学界，
却没有想到
他竟会选择如此困难的题目来作讲
演。
希尔伯特接受任务以后，
一直作着仔细的准备，
直到
6
月份，
他的讲演稿还没有写出来。
预定
8
月在巴黎举行国际数学家会议的日程已发到代表们手中，
其中没有列入希尔伯特的讲
演。
7
< br>月中旬，他才给闵可夫斯基寄去第一稿的样本。闵可夫斯基和希尔伯特的另一位学长
和朋友胡尔维茨（
z
）对初稿进行研究，帮助希尔伯特作了修
改。如果从
1899
年底
开始考虑选题
算起，希尔伯特为了提出这
23
个题目整整花了
8
个月的时间。
希伯尔特的
演说获得了极大的成功。
各国的数学杂志纷纷转载他的演说稿，
大批数学家
投入解决希伯尔特问题的激流中去。第
3
问题当年就被希伯尔特的学生德恩（
Dehn,1878
< br>?
1952
）所解决。迄今为止，已完满解决的希尔伯特
问题约占一半，有几个问题比较笼统，
难以判定解决与否，
大约
还有三分之一的问题仍悬而未决，
有的有了部分进展，
有的则差
得
很远。
1975
年，在美国的伊利诺
斯大学召开了一次国际数学会议，邀请世界著名数学家参
加，
专
门研究希尔伯特问题的进展。
会后出版的论文集详细地介绍了各个问题的进展
（见
《
M
athemat
ical
Developments
Arising
from
Hilbert
Problems
》一书）。
大数学家韦尔（
H
·
Weyl
）在希尔伯特去世时的悼词中曾说：
“希尔伯特就象穿
杂色衣
服的风笛手，
他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，<
/p>
跟着他跳进了数学的深河。
”
对有志
的人们来说，这
23
个问题正是这样一种甜
蜜的笛声，我们至今似乎仍能听到它的召唤。值
得高兴的是，中国数学家在第
8
和第
16
问题上曾经作
出一些贡献。
附录
希尔伯特
23
问题的解决情况
（
1
）康托的连续统基数问题
1874
年，康托猜测在可数集基数和实
数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假
设。
1938<
/p>
年，
桥居美国的奥地利数学家哥德尔证明连续统假设和
ZF
集合论公理系统的无矛
盾性。
1963
年，美国数学家科恩（
P
·
Cohen
）证明连续统假设和
ZF
公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能用世所公认的<
/p>
ZF
公理证明其对错。希尔伯特第一问题在这一意义上
已获解决。
（
2
）
算术公理的无矛盾性
欧氏几何的无矛
盾性可归结为算术公里的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的
< br>证明论方法加以证明。歌德尔在
1931
年发表不完备性
定理加以否定。
1936
年根茨（
G<
/p>
·
G
entzen,1909
?
1945
）在使用超限归纳法的条件下证明了算
术公理的无矛盾性。
（
3
）
两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是：
存在两个等高等底的四面体，
它们不可能分解为
有限个小四面体，
使这
两组四面体彼此全等。德恩证明确实存在
着这样的两个四面体（
1900
）。
（
4
）
两点间以直线为距离最短线问题
次问
题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需加以某些限制条件。
1973
年
苏联数学家波格列洛夫（
Poglelov
）宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
（
5
）
一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的
这个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群？中间经过
冯·诺伊曼（
1933
对紧群情形）、邦德里
雅金（
Pontrja-qin
）（交换群情形，
1939
）、歇
瓦莱（
Ch
evalley
）
(1941
对可解群
情形
)
的努力，于
1952
年，由格利森（
Gleason
）、蒙哥
马利（
Montgomery
）、齐宾（
Zippin
）共同解决了，得到了完全肯定的结果。
（
6
）
物理学的公理化
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-旬
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-旬
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-旬
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