-滚装船
用
matlab
研究
抛体运动
2.
用
< br>matlab
研究抛体运动
2.1
引论
MATLAB
语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种
功
能的高级语言。使用
MATLAB
模
拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其
方便的数值计算和作图功能，可
以方便的模拟一些物理过程。对于处理非线性问题，既能
进行数值求解，又能绘制有关曲
线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然，
交互性强等优点，
已成为教学和科研中最基础的软件之一，
利用其解决复杂的数值计算问
题，可以减少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效
率
将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在
重力作用下物体所作的运动，它的初速度
不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。物理上提
出的“抛体运动”是一种理想化的模型，
即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽
略空气阻力。抛体运动加速度恒为重力加
速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度
变化的方向始终是竖直向下的。
2.2
抛体运动及应用
2.2.1
、
实验设计思路
1
、理论分析
一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向，
平抛运动水平方向是匀速直线运
动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动
水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛
运动，在任意方向上分解有正交分解和非
正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。
无论怎样分解，都必须把运动的独立性和
独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、
受力情、加速度及位移等进行相应分析。
斜抛运动：
水平方向速度
v
x
?
v
0
cos
?
（
1
）
竖直方向速度
v
y
?
v
0
sin
?
?
gt
水平方向位移
x
?
v
0
cos
?
t
（
2
）
（
3
）
1
2
gt
2
竖直方向
位移
y
?
v
0
cos
?
t
?
平抛运动：
水平方向速度
v
x
?
0
（
4
）
v
（
5
）
(6)
竖直方向速度
v
y
?
gt
水平方向位移<
/p>
x
?
v
t
(7)
0
竖直方向位移
v
y
?
2
x
1
2
gt
2
< br> (8)
合速度
v
t
?
v
?
v
y
?
2
v<
/p>
2
0
?
1
g
t
4
2
4
（
9
）
合速度方向与水平夹角
?
：
tg
?
?
v
y
?
gt
v
x
v
0
(10)
合位移
s
?
x
2
?
y
(11)
s
y
2
位移方向与水平夹角
?
：
tg
?
?
s
?
x
gt
2
v
0
(12)
设某一抛射体的初速度为
v
0
，抛射角为
?
，将其运动在
X,Y
轴上进行正交分解，水平方向
速度
v
x
?
v
0
cos
?
(13)
竖直方向
v
y
?
v
0
sin
?
?
gt
(14)
质点的坐标
(
x
,
y
)
是
x
(
t
)
?
v
0
cos(
< br>?
)
t
(15)
y
(
t
)
?
v
0
sin
?
t
?
1
2
gt
2
(16)
gx
2
2
< br>2
从上两式消去
t
，便得质点的
轨迹运动方程
y
?
x
< br>tan
?
?
2
< br>v
0
cos
?
< br>t
(17)
抛射体能
达到的最大高度为
H
v
?
v
0
sin
?
0
2
g
sin
?
g
2
2
< br> (18)
< p>其到达最大高度所需时间为
T
?
< br> (19)
空中飞行时间为
t
?
2
T
?
2
v<
/p>
0
sin
?
g<
/p>
(20)
抛射体的最大射程为
X
?<
/p>
v
2
0
sin<
/p>
2
?
g
(21)
2
它跟初速度
v
0
和抛射角
?
有关，
在抛射角
?
不变的情况下，
射程
x
与
v
< br>0
成正比，
所以射程
- 1 -
随初速度的增大而增大
。在初速度
v
0
不变的情况下，随着抛
射角
?
的增大，射程也增大，
当
?
?
45
度时，
sin
2
?
?
1
，射程达到最大值，以后随着抛射角的增大，射程减小。
利用
M
ATLAB
的绘图功能，可以更直观的体现上述结论。
（程序<
/p>
1
）
程序运行
结果如图
1
所示。
图
1
射程与抛射角、初速度的关系
对于最
大飞行路径所对应的抛射角问题（空气阻力忽略不计）
，
X,Y
坐标轴分别代表
抛射体的射程与射高，在
?
x
,
y
?
处，设在某一微小时段内抛射体的路径变量为
dt
，其对应
的水平及竖直方向的变量为
dx
与
dy
，
则
dL
?
dx
2
?
dy
2
（
22
）
<
/p>
R
设射程为
R
，
则飞行路径长度
L
?
?
0
1
?
(
dy
dx
)
dx
（
23
）
2
根据前面的推论，
R
?
v
2
0
g
sin(
2
?
< br>)
(24)
- 2 -
其中
v
0
为抛射的初始速
度，
?
为抛射角，
根据运动学原理，
有
x
?
(
v
0
cos
?
)
t
（
25
）
y
?
?
1
2
gt
?
(
v
0
sin
?
)
t
2
（
26
）
<
/p>
从（
24
）
、<
/p>
(25
）中消除
t
，我们可得到该运动的抛物线方程：
y
?
?
1
g
2
2
(
v
0<
/p>
cos
?
)
dy
dx
x
?
xt
g
?
2
（
27
）
<
/p>
从（
24
）中可知，为求解
L,
先得求出
y
?
?
g
(
v
0
cos
?
)
2
，因此在（
4
）式两边同
时对
x
求导，得：
（
28
）
<
/p>
x
?
xtg
?<
/p>
将（
27
）代入式（
24
）
，等式两边同时积分，便得到了飞行路径长度与抛射
角之间的关系：
L
(
?
)
?
v
?
?
1
?
sin
?
2
sin
?
?
cos
ln
?
< br>?
g
?
?
cos
?
0
2
?
?
（
29
）
?
?
?
?
根
据
式
（
28
）
，
为
求
得
L
的
最
大
值
，
将
（
28
）
两
边
同
时
对
?
求
导
L
(
?
)
?
2
'
v
?
s
?
1
?
c
o
< br>?
cos
?
?
< br>1
?
sin
?
< br>ln
?
g
n
?
s
i
?
?
0
2
?
?<
/p>
?
?
（
30
）
?<
/p>
?
令
L
'
(
?
)
?
0
，可得到最大飞行路径所对应的抛射角的大小，但解此方程是比较困难的
。为
此，我们采用
MATLAB
的函数
运算功能来解决这一问题。
（程序
2
）
程序如下，设其中的抛射初速度
v<
/p>
0
?
10
m
s
，
g
?
9
.
8
m
运行结果如图
2
所示。
s
2
。
- 3 -
图
2
抛射角与飞行路径及其一阶导数曲线图
图
2
给出了
飞行路径随抛射角的变化曲线
L
(
?<
/p>
)
及飞行路径曲线的斜度
L
'
(
?
)
< br>，从图中可以
得到，当
?
?
0
.
9855
（弧
度）时，即
?
?
56
< br>.
49
度时，飞行路径最大，
此时
L
?
1<
/p>
.
21
v
0
2
g
（
31
）
<
/p>
我们知道，在不考虑空气阻力的情况下，当抛射角
?
?
45
度时，其射程最远，但此时
< br>其飞行路径并不是最远，而是当抛射角
?
?
56
.
49
度时，其飞行路
径最远，且其长度约为
实际上，
由于空气阻力的存在，
抛射体在空中是沿导弹曲线
（弹头飞行时其
g<
/p>
，
重心所经过的路线）飞行的，它与抛物线不同，它的升弧与降弧
不对称，在重力与空气阻
力的共同影响下，弹道形成不均等的圆弧，升弧较长而直伸，降
弧较短而弯曲
.
斜抛射出
的炮弹的射程
和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，路线也不是理想曲线。
物体在空气中受到的阻力，与物体运动速度大小有密切联系，
速度越小，越接近理想
L
?
1
.
21
0
v
2
- 4 -
情况，当物体速度低于
200
米每秒时，阻
力与物体速度大小的平方成正比，速度介于
400
至
600
米每秒之间时，空气阻力与速度大小的三次方成正比，在速度很大的
情况下，阻力
与速度大小的高次方成正比。
将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，
不考虑空气的阻力，
物体只在重力作用下所
做的运动，叫做平抛运动。
竖直的重力与速度方向有夹角，做曲线运动；水平方向
不受外力作用，是匀速运动，
速度为
Vo
；竖直方向受重力作用，没有初速度，加速度为重力加速度
g,
是自由体运动。
即做平抛运动的物体，在水平方向上由于不受力，将作匀速直线运动；
在竖直方向上的物
体的初速度为
0.
且
只受到重力作用，物体做自由落体运动，加速度为
g
。
平抛运动的规律：
（
1
）抛出
t
秒末的速度：
一抛出点为坐标原点，水平方向为
x
轴（正方向和初
速度
V0
的方向相同）
，
竖直方向为
y
轴，正方向向下，则：
水平分速度：
Vx=Vo
竖直分速度：
Vy=gt
合速度：
Vt=
Vx
2
?
Vy
2
tan
?
=
V
y
V
x
=
gt
V
o<
/p>
(2)
平抛运动的物体在任意时刻
t
的
位置坐标：
水平位移：
x=Vot
竖直位移：
y=
1
2
g
t
2
合位移：
s=
x
2
?
y
2
tan
?
=
y
x
=
gt
2
V
o
2
、实验步骤
(1)
运用
MATLAB
编程得到平
抛速度随时间的变化关系。
(
程序
3)
依据公示（
32
）
，
（
33
）
，
（
34
）
，
(35)
- 5 -
32
）
33
）
34
）
35
）
36
）
37
）
38
）
39
）
<
/p>
（
（
（
（
（
（
（
（
图
3
平抛运动速度随时间变化关系
(2)
运用
MATLAB
编程到到平抛物体运动的曲线
运用公
式（
32
）
，
（
33
）
，
（
34
）
，
(3
5),(37),(38),
（
39
）
，我们可以求得物体在任意时刻的
坐标并找到物体所在位置后，
再用平滑曲线把这些点连起来，
就得到平抛运动的轨迹。
（程
序
4
）
运行结果如图
4
所示
- 6 -
图
4
物体平抛轨迹曲线
(3)
利用
matlab
模拟物体斜抛运动
通过
该程序可以画出在任意位置以初始速度
V
和抛射角度
α
抛出的轨迹。
（程序
5
）
按“
ru
n
”运行时，弹出窗口
将图框中的相关
数据更改为：
点击图框中的“
OK
”
，在“
command
window
”中输出结果为：
- 7 -
图
5.
物体斜抛运动曲线
(4)
试计算抛射角为
90
度的特殊抛体运动任意时刻的
位置和速度
一弹性小球，初始高度
h
=10m,
向上初速度
v0=15
米每
秒，与地面碰撞的速度衰减系
数
k=0.8
，试计算任意时刻球的位置和速度。
高度与时间的关系：
速度与时间关系：
dv
dt
d
y
dt
2
2
?
?
g
< br>，
dy
dt
?
< br>v
（
40
）
?
?
g
（
41
）
<
/p>
对等式两边积分，
有
?
< br>dv
?
?
?
gdt
，
v
?
v
0
?
gt
（
42
）
<
/p>
?
dy
?
?
vdt
，
y
?
y
0
?
v
0
t
?
1
2
gt
2
（
43
）
由此可得数学方程：
第一次落地前：
v
< br>?
v
01
?
gt
（
44
）
（
45
）
<
/p>
y
?
h
?
v
01
t
?
gt
2
2
T
1
?
3.6
2
s
（
46
）
第二次落地前：
v
02
?
?<
/p>
k
(
v
01
?
gT
1
)
（
47
）
- 8 -
v
?
v
02
?
gt
（
48
）
<
/p>
2
y
?
v
02
t
?
gt
2
(
49
)
T
2
?
2
v
02
g
(
50
)
第三次落地前：
v
< br>03
?
?
k
(
v
02
?
gT
2
)
（
51
）
<
/p>
v
?
v
03
?
gt
y
?
v
03<
/p>
t
?
gt
2
2
T
v
03<
/p>
3
?
2
g
. . . . . .
第
n
次落地前：
v
0<
/p>
n
?
?
k
(
v
0
(
n
?
1)
?
gT
(
n
?
1)
)
v
?
v
0
n
?
gt
2
y
?
v
0
m
?
gt
2
T
v
0
n
n
?
2
g
< br> (
如用手工进
行计算，计算量极大，利用
MATLAB
编程
< br>（程序
6
）
程序运行结果如图所
示。
- 9 -
（
52
）
（
53
）
（
54
）
（
55
）
（
56
）
（
57
)
58
)
-滚装船
-滚装船
-滚装船
-滚装船
-滚装船
-滚装船
-滚装船
-滚装船
-
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