舞团-bosi
第
25
章
九点圆定理
九点圆定理
三角形三条高的垂足、三
边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆．
如图
25-1
，设
△
< br>ABC
三条高
AD
，
BE
，
CF
的垂足分别为
D
、
E
、
F
，三边
BC
、<
/p>
CA
、
AB
的中
点
分别为
L
、
M
、
N
，又
A
H
、
BH
、
C
H
的中点分别为
P
、
< br>Q
、
R
，则
D
、
E
、
F
、
L
、
M<
/p>
、
N
、
P
、
O
、
R
九点共圆．
A
F
N
O
Q
B
L
D
图
25-
1
P
H
E
M
R
C
1
证
法
1
联
结
PQ
，
Q
L
，
LM
，
M
P
，
则
L
M<
/p>
，
即
知
L
M
P
Q
为
平
行
四
边
形
，
又
∥
B
∥
A
Q
P
2
LQ
∥
C
H
?
AB
∥
L
M
，知
LMPQ
为矩形．从而
L
、
M
、
P
、
Q
四点共圆，且圆心<
/p>
V
为
PL
与
QM
的
交点．同理，
MNQR
为矩形，从而
L
、
M
、
N
、
P
、
Q
、
< br>R
六点共圆，且
PL
，
QM
，
NR
均为这个<
/p>
圆的直径．
由
?
PDL
=
?
QEM
?
?
RFN
?
90
?
，
知
D
，
E
，
F
三点也在这个圆上，
故
D
、
E
、
< br>F
、
L
、
M
、
N
、
P
、
Q
、
R
九点共圆．
1
证
法
2
如图
25-1
，由
?
NQD
?
< br>180
??
?
BQD
?
180
???
BHD<
/p>
，以及注意到
DE
是
?
N
与
?
R
的公共弦，
2
知
NR
?
DE
1
，
有
?
N
R
D
?
2
，<
/p>
?
D
R
?
E
?
亦
C
即
?
NRD
?
180
?
?
?
EHD
，
从
而
知
?
NQD
?
?
NRD
?
360
?
?
?
?
BHD
?
?
EHD
?
?
180
?
．
因此，
N
、
Q
、
D
、
R
四点共圆．
同理，
Q
、
L
、
D
、
R
四点共圆．即知
N
、
Q<
/p>
、
L
、
D
、
R
五点共圆．
<
/p>
同理，
L
、
D<
/p>
、
R
、
M
、
E
以及
R
、
M
、
E
、
P
、
F
< br>；
E
、
P
、
F
、
N
、
Q
；
F
、
N
、
Q
、
L
、
D
分别五点共圆．
故
D
、
E
、
F
、
L
、
M
、
N
、
P
、
< br>Q
、
R
九点共圆．
证法
3
如图
25-1
．
联结
PL
、
PN
、
PQ
、
PF
、
LQ
、
LF
、
QN
、
FL
，
则
?
PDL
?
90
?
．
注意到
PN
∥
BH
，
NL
∥
AC
，
BE
?
AC
，则
PN<
/p>
?
NL
，即
?<
/p>
PNL
?
90
?
．
又
PQ<
/p>
∥
AB
，
QL<
/p>
∥
CH
，而
CH
?
AB
，则
Q
L
?
PQ
，即
?
PQL
?
90
?
．
注意到
PF
?
PH
，则
?
PFH
=
?
PHF
=
?
CHD
．
由
LF
< br>?
LC
，有
?
< br>CFL
=
?
HCD
．
因
?
< br>CHD
?
?
HCD
=
90
?
，则
?
PFL
=
?
PFH
?
?
CFL
=
90
?
．
同理，
?
PM
L
、
?
PEL
、
?
PRL
皆等于
90
?
．即
D
、
N
、
Q
、
F
、
M
、
E
、
R
< br>各点皆在以
PL
为直径
的圆周上
．
故
D
、<
/p>
E
、
F
、
L
、
M
、
N
、
P
、
Q
、
R
九点共圆．
证
法
4
如
图
25-1
，
注
意
到
LQHR
为
平
行
四
边
形
，
QP
< br>∥
BA
，
RP
< br>∥
CA
，
则
么
?
QLR
?
?
QHR
=
180
?
?
?
A
=
180
?
-
?
QPR
，即知
L
、
Q
、
P
、
R
四点共圆．
又
?
QDR
=
?
QDH
?
?
RDH
=
?
QHD
?
?
RHD
=
?
QHR
=
180
?
-
?
A
=
180
?
?
?
QPR
（
注
意
QP
∥
BA
，
RP
∥
CA
）
，则知
D
、
Q
、
P
、
R
四点共圆．即知
D
、
L
在
?
PQR
上．
同理，
E
、
M
、
F
、
N
也在
?
PQR
上．
故
D
、
E
、
F
、
L
、
< br>M
、
N
、
P
、
Q
、
R
九点共圆．
证法
5
设
△
ABC
的外心为
O
，取
OH
的中点并记为
V
，联结
AO
，以
V
为圆心，
如图
25-1
所示．
1
AO
为半径作圆
V
，
2
1
由
VP
∥
OA
，知
P
在圆
V
上．同理，<
/p>
Q
、
R
也在圆<
/p>
V
上．
2
1
由
OL
∥
AH
（可由延长
AO
交
△
ABC
的外接圆于
K
，
得
HBKC
为平行四边形，
此时
L
为<
/p>
KH
的中点，
2
L
V
≌△
H
P
V
则
OL
为<
/p>
△
AKH
的中位线即得）
，
知
OL
∥
< br>又
OV
?
VH
< br>，
知
△
O
PH
．
1
，
从而
VL
?
VP
?
OA
，
2
且
L
、
V
、<
/p>
P
共线，故
L
在
圆
V
上．
同
理，
M
、
N
在
圆
V
上．
由
L
、
V
、
P
共线知
LP
为圆
V
的一条直径．
又
?
LDP
=
90
?
，
?
MEQ
?
90
?
，
?
NFR
?
90
?
，知
D
、
E
、
F
在圆
V
上．
故
D
、
E
、<
/p>
F
、
L
、
M
、
N
、
P
、
Q
、
R
九点共圆．
上述圆通常称
为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆．显然，正三角形的九点圆即力其内切圆．
由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：
推论
1
△
ABC
九点圆的圆心是其外心与垂心所连接线段的中点，
九点圆的半径是
△
ABC
的外位圆半径
1
．
2
注
意到
△
PQR
与
△
ABC
是以垂心
H
为外位似中心的位似形，位似比是
H
P
∶
H
A
?
1
∶
2
，因此，可得．
的
推论
2
三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是
1
∶
2
的位似形；垂心与
三角形外接圆上任一点的连线段被九点圆截成相等的两部分．
注意到欧拉定理（欧拉线）
，又可得
∶
2
，
推论<
/p>
3
△
ABC
的外
心
O
，重心
G
，九点圆圆心
V
，垂心
H
，这四点（心）共线，且
OG
∶
GH
?
1
OG
OH
．
?
GV
HV
推论
4
△
ABC
的九点圆与
△
ABC
的外接圆又是以
△
ABC
的重心
G
为内位似中心，位似比
为
1
2
的位
∶
似形．
事实上，因
< br>G
为两相似三角形
△
LMN
与
△
ABC
的相似
中心，而
△
LMN
的外接圆即
△
ABC
的九点圆．
推论
5
一垂心组的四个三角形有一个公
共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同
的九点圆．
另外，我们还可推知如下结论：
< br>结论
1
三角形的四个切圆（内切圆和三个旁切圆）与其九
点圆相切，垂心组有四个三角形，故有
16
个
< br>切圆与此九点圆相切．
结论
2
垂心组的两个三角形的外心与已知垂心组各点，关于九点圆圆心
V
对称．三角形的垂心组与其
外心构成的垂心组有同一九点圆．
结论
3
垂心
组的九点圆与此重心所成的另一垂心组的九点圆同心．
下面，运用九点圆定理处理一些问题：
例
1
（
2001
年全国高中联赛题）如图
25-2
，
△
ABC
中，
O
为外心，三条高
AD
，
BE
，
CF
交于点
H
，
直线
ED
和
AB
交于点
M
，<
/p>
FD
和
AC
交于
点
N
，求证：
（
1
）
OB
?
DF
，
OC
?
DE
．
（
2
）
OH
?<
/p>
MN
．
GV<
/p>
∶
VH
?
1
∶
3
，或
O
和
V
对于
G
和
H
是调和共轭的，即
A
H
F
B
M<
/p>
D
O
V
E
C
N
图
25-
2
证明（
1
）设
△
ABC
的外接
圆半径为
R
，由相交弦定理，有
R
2
?
OF
2
=
AF
?
FB
，
R
2
?
OD
2
=
BD
?
DC
．
从而
OF
2
?
OD
2
=
BD
?
DC
?
AF
?
FB
．
由
A
，
F
，
D
，
C
四点共圆，有
BD
?
BC
?
BF
?
BA
，
< br>即
BD
?
?
BD
?
DC
?
?
BF
?
BF
?
FA
?
，
亦即
BF
2
?
BD
2
?
BD
?
DC
?
AF
?
FB
?
OF
2
?
O
D
2
．
故<
/p>
OB
?
OF
．同
理，
OC
?
DE
．
（
2
）
由九点圆定理的推论
1
，知
OH
的中点
V
为△
DEF
的外心．又由
D
，
E
，
A
，
B
及
D
，
<
/p>
F
，
A
，
C
分别四点共圆，有
M
D
?
M
E
=
M
B
?
M
A
，
AD
?
NF
?
NC
?
NA
．
由此，即知
M
，
N
对
△
ABC
的外接
圆与
△
DEF
的外接圆的幂相等，从而
M
，
N
在这两
个外接圆的根
轴上，即有
MN
?
OV
，故
MN
=
OH
．
例
2
（第
31
届
IMO
预选题）
如图
25-3
，
△
ABC
< br>中，
O
为外心，
H
是垂心，
作
△
CHB
，
△
CHA
和
△
AHB
的外接圆，依次记它们的圆心为
A
1
，
B
1
，
C
1
，求证：
△
ABC
≌△
A
1
B
1
C
1
，且这两个三角形的九点圆重
合．
A
C
1
H
K
O
B
1
B
M
A
1
图
25-
3
C
B
证<
/p>
明
则
?
C
H
B
?
1
8
0
?
?
?
9
0
?
?
?
?
?
?
9
0
?
?<
/p>
C
?
?
?
B
?
?
C
?
1
8
?
0
?
，
A
?
知
?
△
C
H
B
外
接<
/p>
圆
的
半
径
和
△
CAB
外接圆的
半径相等，从而，有
A
1
是
O
关于
BC
的对称点．<
/p>
设
M
是
BC
中点，则知
AH
?
2
OM
，即
AH
?
OA
1
．
又
AH
∥
OA
1
，则联结
AA
1
与
OH
的交点
K
为
?
AHAO
的中心，即
AA
1
与
OH
互相平分于
K<
/p>
．
1
同理，<
/p>
BB
1
，
CC<
/p>
1
也经过
K
且被
它平分，从而
△
A
1
< br>B
1
C
1
与
△
ABC
关于
K
中心对称，故
△
A
1
B
1
< br>C
1
≌△
ABC
．
显然，
K
是
△
ABC
九点圆的圆心．<
/p>
因此，
这个圆关于
K
作中心对称时不变，
它也是
△
A<
/p>
1
B
1
C
1
的九点圆．
例<
/p>
3
（
1994
年
亚太地区数学奥林匹克题）给定非退化的
△
ABC
，设外心为
O
，垂心为
H<
/p>
，外接圆的半
径为
R
，求证：
OH
?
3
R
．
证明设
G
是
△
ABC
的重心，
V
是九点圆的圆心，
O
和
V
对于
G
和
H
是共线且调和共轭的，
考察以点
O
为起点的向量，则
???
?
???
?
???
?
???
?
?
???
?
?
???
?
???
?
?
OA
OB
OC
?
???
OH<
/p>
?
3
OG
?
3
?
?
3
?
3
?
3
?
?
?
OA
?
OB
?
OC
．
?
?
因此
<
/p>
???
?
?
??
?
?
???
?
???
?
OH
≤
OA
?
OB
?
OC
?
3
R
．
仅当
A
?
B
?
C
时等号
成立，这是不可能的，故
OH
?
3
R
．
例
4
（第
30
届
IMO
试题）如图
25-4
，锐角
△
ABC
中，
?
A
的平分线与三角形的外接圆交于另一点
A
1
，
点
B
1
，
C
< br>1
与此类似．直线
AA
1
与
B
，
C
两角的外角平分线交于
A
0
，点
B
0
，
C
0
与此类似，求证：
（
1
）
△
< br>A
0
B
0
C
0
的面积是六边形
AC
1
BACB
1
1
面积的
2
倍．
（
2
）
△
A
0
B
0
C
0
的面积至少是
△
ABC
的面积的
4
倍．
B
0
A
B
1
I
C
1
C
0
B
图
25-
4
C
A
1
A
0
< br>
证明（
1
）令
△
ABC
的内心为
I
（
I
?
AA
0
∩
BB
0
∩
CC
0
）
，则
I
又是
△
A
0
B
0
C
0
的垂心（内、外角平分线
互相
垂直）
．显然，
△
ABC
的外接圆是
△
A
0
B
0
C
0
的九点圆，即知
A
1
，
B
1
，
C
1
分别为
A
0
I
，
B
0
I
，
C
0
< br>I
的
中点，于是得
S
△
A
0
BI
?
2
S
< br>△
A
1
BI
，
S
△
A
0
CI
?
2
S
△
A
1
CI<
/p>
．
从而
S
四边形
A
0
BIC
?
2
S
四边形
A
1
BIC
．
舞团-bosi
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