地位英文-miota
力学中临界问题分析
一、在共点力动态平衡中与临界极值相关问题
物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，
常涉及到什么时候受力
“最大”
或
“最
小”
，那个绳先断等问题。
1
、三段不可伸长的细绳
OA
、
OB
、
OC
能承受的最大拉力相同，它
们共同悬挂一
重物，如图所示，其中
OB
是水平的，
A
端、
B
端固定。若逐渐增加
C
端所挂物体的
< br>质量，则最先断的绳（
）
A
、必定是
OA
B
、必定是
OB
C
、必定是
OC D
、可能是
OB
，也可能是
OC
解析：三根绳所能承受的最大
拉力相同，在增大
C
端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先
达
到临界值是关键。
OC
下悬挂重物，
它的拉力应等于重物的重力
G.
就是
O
C
绳的拉
力产生两个效果，使
OB
在
O
点受到向左的作用力
< br>F
1
，使
OA
< br>在
O
点受到斜向下沿
绳长方向的
作用力
F
2
，
F
1
、
F
2<
/p>
是
G
的两个分力
.
由平行四边形可作出力的分解图如
下图所示，当逐渐增大所挂
物体的质量
,
哪根绳子承受的拉力最大则最先断
.
从图
中可知：表示
F
2
的有向线段最长
,F
2
分力最大，故
OA
绳子最先断
.
B
2
、
如图所
示，
物体的质量为
2kg
，
两根轻绳
AB
和
AC
的一端连接于竖直墙
上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方
向与水平线成θ
=60
0
的拉
力
F
，若要使两绳都能伸直，求拉力
F
的大小范围。
【解析
】作出
A
受力图如图所示，由平衡条件有：
θ
-F
2
-F
1
cos
θ
=0,
y
F
1
Fsin
θ
+F
1
sin
θ
-mg=0
F
要使两绳都能绷直，则有：
F
1
?
0
,
F
2
?
0
由以上各式可解得
F
的取值范围为：
< br>20
3
N
?
F
?
40
3
N
。
θ
F
2
θ
x
G
F
θ
C
θ
A
3<
/p>
、如图所示，质量为
m
的物体，置于水平
长木板上，物体
与木板间的动摩擦因数为
μ。
< br>现将长木板的一端缓慢抬起，
要使
物体始终保持静止，<
/p>
木板与水平地面间的夹角
θ
不能超过多少
？
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
?
【灵犀一点】这是一个斜面问题。
当
θ
增大时，重力沿斜面
的分力增大。
当此分力增大到等于最大静摩擦力时，
物体处于动
与不动的临界状态。此时是
θ
最大。
【解析】依题意可知，当
mgsinθ=μmgcosθ
物体处于临界状态，即
tan
θ=μ
则
θ≤a
rc
o
tμ
讨论：
tan
θ=μ
是一重要临界条件
。其意义是：
tan
θ<μ
时，重力沿
斜面向下的
分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；
ta
n
θ=μ
时，重力沿斜面向下的分力等
于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；
tan
θ>μ
时，重力
沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，
物体将向下做加速运动。
【思维总结】对于此题的动态是否处
于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置
于斜面上，如
ta
n
θ≤μ，则物体保持静止；如
tan
θ>μ，则物体不能保持静止，而加
速下滑。②、将物体以一初速度置于斜面上，如
tan
<μ，则物体减速，最后静止；如
t
an
θ=μ，则物体保持匀速运动；如
tan
< br>θ>μ，则物体做加速运动。因此，
tan
θ=μ
这
一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
- 1 -
4
、如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体
A
和
B
，
物体
A
放在倾角为
α
的斜面上，已
知物体
A
的质量为
m
< br>，物体
B
和斜面间动摩擦因数为
μ（μ
an
θ），滑轮的摩擦不计，要使物
体静止在斜面上，求物体
B
质量的取值范围．
【灵犀一点】摩擦力可能有两个方向
【解析】以
B
为研究对象，由平衡条件得：<
/p>
T
?
m
B
g
再以
A
为研究对象，它受重力、斜面对
A
的支持力、绳的拉力和斜面对
A
的摩擦作
用．假设
A
处于临界
状态，即
A
受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有
：
N
?
mg
c
os
?
T
?
f
m
?
mg
?
0,
f
m
?
?
N
或：
T
?
f
m
?
mg
?
0,
f
m
?
?
N
综上所得，
B
的质量取值范围是：
m<
/p>
(sin
?
?
?
cos
?
)
?
m
B
?
m
(sin
?
?
?<
/p>
cos
?
)
二、动力学中的临界极值
问题的解读
所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物
理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”
．某种物理现
象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还
是“不出现”
，需
视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的
条件下，某物理量出现极大值或极小值的
情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的
。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程
，从而找出临界条件或
达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临
界和极值是物理中的
常见题型，同学们在刚刚学过的必修
1
中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律
中都涉及到临界和极
值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○
1
临界点是一个
特殊
的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达
到
极值。○
2
临界点的两侧，物体的受
力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否
用变化的观点正确分析其运动规律是
求解这类题目的关键，
而临界点的确定是基础。
○
3
许
多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”
、
“最大”
、
“至
少”
、
“不相撞”
、
< br>“不脱离”……
等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词
语其内含规律就能找
到临界条件。○
4
有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物
理量在变化过程中
会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时
物体所处的状态即为
临界状态。○
5
临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较
大，
审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○
6
确
定临界点一般用极端分析法，即把
问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能
出现的状态和满足的条件。解题常用
的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别
式法或根据物理过程的特点求极值法等
。
5
、如图所示，水平面上两物体<
/p>
m
1
、
m
2
经一细绳相连，在水平力
F
的作用下处于静止
状态，则连结两物体绳中的张力可能为
( )
A
、零
B
、
F/2
C
、
F
D
、大于
F
解析：
当
m
2
与平面间的摩擦力与
F
平衡时，
绳中的张力
为零，所以
A
对；当
m
2
与平面间的最大静摩擦力等于
F/2
时，则绳中张力为
F/2
，所以
B
对
，当
m
2
与平面间没有摩擦力时，则绳
中张力为
F
，所以
C
< br>对，绳中张力不会大于
F
，因
- 2 -
而
D
错
。
6
、如图所示
,
在光滑水平面上叠放着
A
、
B
两物体
,
已知
m
A
=6
kg
、
m
B
=
2 kg
，
A
、
B
间
动摩擦因数
μ=0.2，
在物体
A
上系一细线
,
细线所能承受的最大拉力是
20N
，
现水平向右
拉细线，
g
取
10 m/s
2
，则
( )
A.
当拉力
F<12 N
时
,A
静止不动
B.
当拉力
F>12 N
时
,A
相对
B
滑动
C.
当拉力
F=16 N
时
,B
受
A
的摩擦力等于<
/p>
4 N
D.
无论拉力
< br>F
多大
,A
相对
B
始终静止
解析
设
A
、
B
共同运动时的最大加速度为
a
max
,
最大拉力
为
F
max
< br>对
B:
μ
m
A
g=m
B
a
max
a
max
=
?
m
A
g
m
B
=6 m/s
2
对
A
、<
/p>
B
系统
:F
ma
x
=(m
A
+m
B
)a
max
=48 N
当
<
br>故 ,
F
max
=48 N
时
,A
、
B
相对静止。
因为地面光滑
,
A
错
,
当
F
大于
12
N
而小于
48
N
时
,A
相对
B
静止
,B
错。
当
F=16 N
时
其加速度
a=2
m/s
2
。
对
B:f=4
N,
故
C
对。
因为细线的最大拉力为
20 N,
所以
A
、
B<
/p>
总是相对静止
,D
对。正确选项为
CD
。
点评：刚好
相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即
f
静
=f
m
，此时系统的加
速度仍相等。
7
、如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的
< br>A
、
B
两物体，
B
的质量是
A
的
2
倍，
B
受到向右的恒力<
/p>
F
B
＝
2 N<
/p>
，
A
受到的水平力
F
A
＝
(9
－
2
t
) N(
t
的单位是
s)
．从
t
＝
0
开始计时，则
( )
A
、
A<
/p>
物体在
3 s
末时刻的加速度是初始时刻
的
B
、
t
＞<
/p>
4 s
后，
B
物
体做匀加速直线运动
C
、
t
＝
4.5 s
时，
A
物体的速度为零
D
、
t
＞
4
.5 s
后，
A
、
B
的加速度方向相反
<
/p>
解析：对于
A
、
B
整体根据牛顿第二定律有
F
A
＋
F
B
＝
(
m
A
＋
m
B
)
a
，开始时合力为
11
N,3
秒末
合力为
5N
，故
A
正确．设
A
、
B
< br>间的作用力为
F
N
，则对
B
进行分析，由牛顿第二定律
5
倍
11
- 3 -
F
A
＋
F
B
16
－
4
t
可得：
F
N
＋
F
B
＝
m
B
a
，解得
F
N
＝
m
B
－
F
＝
N
．当
t
＝
4
s
时，
F
N<
/p>
＝
0
，
A
、
B
两物体
m
A
＋
m
B
B
3
开始分离，此后
B<
/p>
做匀加速直线运动，故
B
正确；而
A
做加速度逐渐减小的加速运动，
当
t
＝
4.5 s
时，<
/p>
A
物体的加速度为零而速度不为零，故
C
错误．
t
＞
4
.5 s
后，
A
所受合
外力反向，即
A
、
B
的加速度方向相反，故
D
正确．当
t
＜
4 s
时，
A
、
B
的加速度均为
a
F
A
＋
F
B
＝
.
综上所述，选项
A
、
B
、
D
正确．
m
A
＋
m
B
点评：相互
接触的两物体脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零，即
N=0
。
8
、如图所示，质量均为
M
的两个木块
A
、<
/p>
B
在水平力
F
的
作下，
一起沿光滑的水平面运动，
A
与
B
的接触面光滑，且与水平面的夹角
为
60
°，求使
A
与
B
一起运动时的水平力
F
的范围。
答案：
F<
/p>
≤
2
3
Mg
F
A
B
60
°
<
/p>
9
、不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量
M
＝
15kg
的重
物，重物静止于地面上，有一质量
m
＝
10kg
的猴子从绳的另一端沿绳上
爬，如右图所示，不计滑轮
摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子向上爬
的最大加速度为
(
g
取
10m/s
2
)(
）
A
、
25m/s
2
C
、
．
5m/s
2
C
、
10m/s
2
D
、
15m/s
2
解析：本题的临界
条件为
F
＝
Mg
，
以猴子为研究对象，其受向上的拉力
F
′和
mg
，
由
牛顿第二定律可知，
F
′－
mg<
/p>
＝
ma
，而
F<
/p>
′＝
F
，故有
F
－
mg
＝
ma
，所以最大加速度为
a
＝
5m/s
2
.
点评：此题中的临界条件是：地面对物体的支持力为零。
10
、如图
5
所示
，一质量为
0.2kg
的小球系着静止在光滑的倾角
为
53
°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上
，绳与斜面平行，当
斜面以
10m/s
2
加速度水平向右作匀加速直线运动时，
求线对小球的拉
2
力和斜面对小球的弹力。
（
g=10m/s
）
?
【灵犀一点】要考虑到小球可
能离开斜面的情况，用极限法把加
速度推到两个极端进行分析。
图
5
【解析】当
a
?
0
时，小球受到三个力（重力、绳的拉力、斜面的
支持力）作用，此时绳平行于斜面；
当
a
较大时，小球将“飞离”斜面，此时绳与斜面
的夹角未知。
F
设小球
处在刚要离开斜面的临界状态时加速度值为
a
0
，
此时斜
ma
面对小球的支持力为零，斜面加速向右运动，对小球有：
mg
cot
?
?<
/p>
ma
0
,
a
0
?
g
cot
?
?
7.5
m
/
s
2
mg
因为
a
=10m/s
>7.5m/s
，则小球离开斜面向右加速运动，如图
2
2
?
图
6
- 4 -
地位英文-miota
地位英文-miota
地位英文-miota
地位英文-miota
地位英文-miota
地位英文-miota
地位英文-miota
地位英文-miota
-
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