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平面向量
应试技巧总结
一.
向量 有关概念:
:
既有大小
又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表 示,
.向量的概
念
1
。如:注意不能说向量就是有向线段,为什么 ?(向量可以平移)
rruuua
(答:
_____
=(-
1,3< br>按向量已知
A
(
1,2
)
,
B
(
4 ,2
)
,则把向量)平移后得到
的向量是
AB
)
(
3,0
)
0
;
,注意:长度为2
.零向量
0
零向量的方向是任意的的
向量叫零向量,记作:
r uuu
ruuu
AB
共线的单位向量是:长度为一个单位长度的
向量叫做单位 向量
(
与
)
;
3
.
单位向量
AB
ruuu
?
||
AB
相等向量:
长度相等且
方向相同的两个向量叫相 等向量,相等向量有传递性;
4
.
baba
,
、记作:
:方 向
相同或相反的非零向量叫做平行向量,∥
5
.平行向量(也叫共线向量)
。规定
零向量和任何向量平行
:
提醒
①相等向量一定是共线向量,
但共线向量不一定
相等;
但两
, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平
行包含两个向量共线
条直线平行不包含两条直线重合;
r
0
)
;
(因为有③平行向
量无传递性!
ruuuuuur
、
ACAB
?
共线共线;④三点
C
、
B
、
A
aa
。如:长度相等
方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是-
6
.
相反向量
rrrr
)
两个
向量相等的充要条件是它们的起点相同,终
2< br>,则)若。
(
(下列命题:
1
ba
?
ba
?
ruuuuuuruuruuruu
。
)若(是平行四边形。
,则
4 3
点相同。
()若是平行四
边形,则
DCDCAB
??
AB ABCDABCD
.
rrrrrrrrrrrr
_______
)
若
(
5
,
则。
(
6
)
若,
则。
其中正确的是
cb
//
a
//
a
?
b
,
b
?
cb
,
ca
?
ca< br>//
4
(答:
()
(
5
)
)
二.向量的表示方法
:
1
,注意起点在前,终点在后;
. 几何
表示法:用带箭头的有向线段表示,如
ABcab
,
.符号表 示法:用一个小写的英
文字母来表示,
如,
2
等;
i
为轴、
轴方向相同的两个单位向量,
3
.
坐标表示法:
在平面内建立直角坐 标系,以与
y
x
jrrr
??
??
aaa
yx,
=为向量基底,则平面内的
任一向量,称可表示为的坐标,
yx
,?
axi
?
yj
?
??
a
y
,
x
的坐标表示。如果
向量的起
点在原点
,叫做向量那么向量的坐标与向量的 终点坐标相同。
ee
是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的 :如果和
三.平面向量
的基本定理
21
?
aeea
。
如
=
任一向量,有且只有一对实数、+,使
???
21
2
211
rrrr
,则
若
______
(
1
)
1,2)(1,(
??
1),
c
?
a
?
(1,1),
b
??
crr
31
)
;
(答:
ba
?
22
(< br>2
)
下列向量组中,
能作为平面内所有向量基底的是
uruururuur
A. B.
(5,7)
??< br>1,2),2)
ee
?
(
?
e
(0,0),
e
?
(1,
?
2112
uruurruruu
13
C. D.
(6,10)
e
??
(3,5),
e
)
??
(,
?
e
(2,
?
3),
e
;
rr
ruuurruruuruuuruuuruuu
ba
,
可用
2121
42
(答:
B
)
向量
,
则上的中线的边分别是
)
(
3
已知,
且
ACBC
,
b
,
BE
??
ADB EAD
,
aBCABC
?
表示为
_____
rr
42
(答:
)
;
ba
?
33
???????????????
sr
?
ACr?
CDDB
2
CD
?
sAB
?
的值是已知)
4
(
在,则中,
点,边上,且
BCABC
?
D
.
___
(答:
0
)
? ?
aa
,它的长度和方向规定如下:的积是一个向量,记作与向量
四.
实数与 向量的积
:
实数
rr
????
??
????
aaaa
的的方向与当 的方向相同,
当
>0
时,的方向与
<0
时,
2,1
?
aarr
?
??
a
0
a
?
≠
0
,
注意
方向相反,当
0
=时,
:
。
:
五.平面向量的数量积
rruuuuuurr
?
ba
< br>,
.
两个向量的夹角
:对于非零向量,
,
作
1
bOB
?
OA
?
a
,
??
AOB
??< br>?????
?
bababa
=反向,
当,
的夹角,
当 同向,
当=
0
0
??
时,
时,
=称为向量,
,
?
ba
垂直。
,
时,
2
rr
?
?
ba
我们把数量,
2
.
平面向量的数量积
:
,
如果两个非零向量它们的夹角为,
cos||
a
||< br>brr
?
baabba
cosba
??
。规定:零向
量与,记作:=与,即的数量积(或内积或点积)叫做
。
如
任一向量的数量积
是
0
,
注意数量积是 一个实数,不再是一个向量
?????????
5|
?
|
AB
|
?
3|
AC
|4|
BC
??
AB
?< br>BC
,
_________
1
)
△
ABC
中,
,
,则
(
)
;
(答:-
9
rrrrrurrrrur
?
11
____
(
2
)
已知,
则等于,与的夹角为
dckb
?
(1,),
a
?
kb
,
d
??
),
b
?
( 0,
?
c
?
aa
4
22
;
(答:
1
)
rrrrrr
(
3
,则
b
?
a
3
a
?
bg
??
2,
b
?
5,
a
等于已知
____
)
;
(答:
23
rr rrrrrrr
)
(
4
o
(答:
)
b
?
a
与
ab
?
aa
?
b
?< br>b
,
a
____
是两个非零向量,且已知,则的夹角为)
30
r
?
ab
cos||
b
如< br>。
0
,它是一个实数,但不一定大于为
上的投影在
.
3
.
??????
,则向量,且在向量上的投影为
______
已知,
5|
??
3|
b
|
a
|
b a
12
?
ab
?
12
)
(答:
5
rababbaa
在
4
.
等于的模与的几何意 义:数量积上的投影的积。
||
a
??
?
ba
,
:设
两个非零向量,
则:
,
其夹角为
5
.
向量数量积的性质
rrrr
0
b
?
a
?
b
?
a
?
①;
rrrrrr
rr
;②当,同向时,=,与
222
baabaabb< br>反向时,特别地,
当
??
ba
a
?
a
?a
?
a
?
a
,
a
rrrrrr
??
ba
、
ba
0
a< br>?
b
?
,且不同向,=-;当
0
>为锐
角时,
是为锐角的必要非充分条件
;
?
barrrr
??
ba
、
ba
0
a
?
b
??
,且
0
当为 钝角时,
<
是为钝角的必要非充分条件
;不反向,
rrrrrrba
?
?
?
ba
?
cos
,
。夹角
如
;④的计算公式:③非零向量
|||
b
||
a
?
b
|
?
arrba
????
?? ?
?
),)
b
?
(
a
?
(3,22
,
的取值范围是,
如果与的夹角为锐角,
则
______
(
1
)
已知
ba
41
?
?
?
? ??
且或
(答:
)
;
0
?
3331
????????????
?
FQ
,
OF
?
FQ
?
1
OF
??
S
的取值范
(
2
)
已知,则,若夹角的面积为,且
OFQ
?
S
??
;
(答:
)
)(,
34
rrrrrrrr
22
围是
_________
①,已知与之 间有关系式
)
(
3
),
yy
?
(cos,sin) ,(cos
a
?
x
,sin
xbba
0
k
?
,3
ka
?
b
?
a
?
kb
其中
rrrrrr
;②求用表示的大小与的
最小值,
并求此时的夹角< br>?
ba
?
ba
?
bakrr
1
2
1
?
k
o
?
60
?
)
(答:①,
;
②最小值为
0)
??
ab
(
?
k
2
k
4
:六.向量的运算.
1
.
几何运算
:
①向量加法:利用“平行四边 形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不
共线的向
uuuruuurruuurrrA C
量,
如此之外,
向量加法还可利用
“三角形法则”
:
设, 那么向量叫做与
abAB
?
a
,
BC
?
rruuu ruuuruuurra
?
b
?
AB
?
BC
?AC
;的和,即
buuurruuurrrruuuruuuruuur
②向量的减法:用“三角形法则”
:设,由减向
量
CA
?
AB?
AC
那么
a
?
b
?
AB
?
a
,
AC
?
b
,
的终点指向被减向量的终点。注意:此处减 向量
与被减向量的起点相同。
如
uuuruuuruuuruu uruuuruuuruuuruuuruuuruuur
(
1
)
化简:①< br>___
;②
____
;③
_____
?
) (
AC
?
BD
(
AB
?
CD
)
? ?
DCAD
?
ABAB
?
BC
?
CD
??
uuuruuurrCB
0
)
;
(答:①;②
; ③
ADuuurruuurruuurrrrr
(
2
)
若正方形的边 长为
1
,
,则=
_____
c
?
,BC
?
b
,
ACaAB
?
|
?
c|
a
?
b
ABCD
(答:
;
22
)
uuuruuuruuuruuuruuur
OB
?
OC
?
OB
?
OC< br>?
2
OA
,则的形状且满足
3
()
若
O是
所在平面内一点,
ABCABCVV
为
____
(答:直角三角形)
;
uuuruuuruuurrPA
?
BP
?
CP
?
0
,的中点,的边所在平面内有一点,满 足
4
()
若为
BCABC
?
ABC
?
PD uuur
|
AP
|
??
uuur
设的值为
___< br>
,则
?
;
|
PD
|
(答:
2
)
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