酒筹切比雪夫不等式证明(多篇)

2021年1月20日发(作者：曲泽洲)
切比雪夫不等式证明
(
精选多篇
)

切比雪夫不等式证明


一、


试 利用切比雪夫不等式证明：
能以大小
0.97
的概率断言，
将一枚
均 匀硬币连续抛
1000
次，其出现正面的次数在
400
到
600之间。


分析
:
将一枚均匀硬币连续抛
100 0
次可看成是
1000
重贝努利试验
,
因此

1000
次试验中出现正面
h
的次数服从二项分布
.
解
:
设
x
表示
1000
次试验中出现正面
h< br>的次数
,
则
x
是一个随机变
量
,
且

~xb(1000,1/2).
因此

500
2
1
1000=
×
==npex,
250)
2

答题完毕，祝你开心
!
1
1(
2
1
1000)1(=
××
==pnpdx,

而所求的概率为

}5{}600400{<<=<}100100{<<=exxp
}100{<=exxp
975.0
100
1
2
=
≥

dx
.

二、


切比雪夫
(chebyshev)
不等式


对于任 一随机变量
x,
若
ex
与
dx
均存在
,
则 对任意ε
>0,

恒有
p{|x-ex|>=
ε
} <=dx/
ε
^2
或
p{|x-ex|=1-dx/
ε
^2

切比雪夫不等式说明，
dx
越小，则
p{|x-ex|>=< br>ε
}

越小，
p{|x-ex|<
ε
}越大，也就是说，随机变量
x
取值基本上集
中在
ex
附近，这进 一步说明了方差的意义。


同时当
ex
和
dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率
p{|x-ex|>=
ε
}
的一个上 界，该上界并不涉及随机变量
x
的具体概率分布，而只
与其方差
dx
和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有
相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不 等式应用广泛，但
在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。


切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过
k
倍标准差
的数据占的比 例至多是
1/k^2
。


在概率论中，切比雪夫不等式显示 了随机变数的「几乎所有」值
都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎
所有」是多少，「接近」又有多接近：


与平均相差
2
个标准差的值，数目不多于
1/4

与平均相差
3
个标准差的值，数目不多于
1/9

与平均相差
4
个标准差的值，数目不多于
1/16

……


与平均相差
k
个标准差的值，数目不多于
1/k^2
举例说，
若一班有
36
个学生，
而在一次考试中，
平均分是80
分，
标准差是
10
分，我们便可得出结论：少于
50
分
(
与平均相差
3
个标
准差以上
)
的人，数目不 多于
4
个
(=36*1/9)
。


设(x,
σ
,
μ
)
为一测度空间，
f
为定义在< br>x
上的广义实值可测函数。
对於任意实数
t>0
，


一般而言，若
g
是非负广义实值可测函数，在
f
的定 义域非降，
则有


上面的陈述，可透过以
|f|
取代
f
，再取如下定义而得：


概率论说法


设
x
为随机变数，期 望值为μ，方差为σ
2
。对于任何实数
k>0
，


改进


一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例
子：


这个分布的标准差σ
=1/k
，μ
=0
。


当只求其中一边的值的时候，有
cantelli
不等式：


证明


定义，设为集的指标函数，有

< br>又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变
数
y
和正数a
有
pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a
。取
y=(x?
μ
)2
及
a=(k
σ
)2
。


亦可从概率论的原理和定义开始证明。


设随机变量
x
有数学期望
?
及方差
?
，
则对任何正数
?
，
下列不等式
成立
2
?2
p?x?e(x)????2 ?

证明：设
x
是离散型随机变量， 则事件
x?e(x)??
表示随机变量
x
取得一切满足不等式
xi? e(x)??
的可能值
xi
。
设
pi
表示事件
x? xi
的
概率，按概率加法定理得

p?x?e(x)????
xi?e(x)???pi

这里和式是对一切满足不等式
x i?e(x)??
的
xi
求和。由于
xi?e(x)??
，即
?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??
，所以有
2?2?1
。

2?xi?e(x)?
又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘
以?2
，则和式的值将增大。


于是得到

p?x?e(x)????
xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1
?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi

因为和式中的每一项都是非负 数，所以如果扩大求和范围至随机
变量
x
的一切可能值
xi
求和，则 只能增大和式的值。因此

p?x?e(x)????1
?2??x?e(x)?i
i2pi

上式和式是对
x< br>的一切可能值
xi
求和，
也就是方差的表达式。
所
以，

?2
p?x?e(x)????2 ?
mathwang

几个经典不等式的关系


一

几个经典不等式


（
1
）均值不等式


设
a1,a2,?an?0
是实数

a?a???a12n ???
111n?+??a1a2an

其中
ai?0, i?1,2,?n.
当且仅当
a1?a2???an
时，等号成立
.
n

（
2
）柯西不等式


设
a1,a2,?an,b1,b2,?bn
是实数，则

?a
21
22?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?
2

当且仅当
bi?0(i?1,2,?,n)
或存 在实数
k
，
使得
ai?kbi(i?1,2,?,n)
时，等号成立
.

（
3
）排序不等式


设
a1?a2???an
，
b1?b2???bn
为两个数组，
c 1
，
c2
，
?
，
是
b1
，
b2, ?
，
bn
的任一排列，则

a1b1?a2b2???anbn?a1c1?a2c2???an?a1bn?a2bn?1???anb1
当且
仅当
a1?a2???an
或
b1?b2???bn
时 ，等号成立
.

（
4
）切比晓夫不等式


对于两个数组：
a1?a2???an
，
b1?b2???b n
，有


a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???a n??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1
??????
nnnn????

当且仅当
a1?a2???an
或
b1?b2???bn
时，等号成立
.

二

相关证明


（
1
）用排序不等式证明切比晓夫不等式

证明：由

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?
?????
nnn????
?n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?

而

?a1?a2???an??b1?b2???bn?? a1b1?a2b2???anbn?a1b2?a2b3???an
b1?a1b3?a2b4??? anb2?a1b4?a2b5???anb3??
?a1bn?1?a2bn???anbn?2
?a1bn?a2b1???anbn?1

根据“顺序和
?
乱序和”（在
n?1
个部分同时使用 ），可得

n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?

即得

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?
?????
nnn????

同理，根据“乱序和
?
反序和”，可得

?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1
?????
nnn????

综合即证


（
2
）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”

?
证明：构造两个数列：

a1?a2???an
n
aa?aa1aa
,x2?122,?xn?12nn?1 c
1c1c21
y1??,y2??,?yn???1
x1a1x2a1a2xna1a2?an
x1?

其中
c?
.
因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘 积的
和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

x1y1?x2y2??xnyn

总是两数组的反序和
.
于是由< br>“乱序和
?
反序和”
，
总有

．
．
．
．
．
．
．
．
．

x1yn?x2y1??xnyn?1?x1y1?x2y2??xnyn

于是

aa1a2
????n?1?1???1 c

即

a1?a2???an
?n
c

即证

a1?a2???an
?c?n
a1?a2???an
（
3
）
用 切比晓夫不等式证明
“算数—开方平均不等式”


：
?
n
证明：不妨设
a1?a2???an
，

222
a1?a2???an?a1?a2???an??a1?a2???an?a1?a2???an
. ???????
nnnn????

由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立
.
即证
.
（
4
）用切比晓
夫不等式证明“调和—算数平均不等式”

n?+??a1a2an
?
a1?a2???an
n

证明：

n111?+??a1a2an
?
a1?a2???an
n
1?11
?+??a1a2an?a1?a2???an??????
nn???
??
111?
a??a????a?12n?a1a2an
??1?.
n?
??

不妨设
a1?a2???an
，则

111????
，由切比晓夫不等式，上式成立
.
即证
. anan?1a1

（
5
）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式


证明：不妨设
a1?a2???an
，
b1?b2???bn
由切比晓夫不等式，有
a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?
?????.
nnn????

由均值不等式，有

a1?a2???an?
nb1?b2???bn?
n
所以

a1b1?a2b2???anbn
?