无土栽培营养液配方2019年考研数学一真题及答案解析

2020年12月1日发(作者：姜俊贤)
2019年研究生统一入学考试数学（一）

一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.当
A
B

C

D

时，若 与 是同阶无穷小，则 等于（
C
）

，则 2.设函数
A 可导点，极值点
B 不可导点，极值点
C 可导点，非极值点
D 不可导点，非极值点


是


的（
B
）
3.设

是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是（
D
）
A
B
C

D
4. 设函数
可取为（
D
）



。如果对上半平面（ 都有

）内的任意有向光滑封闭曲线

，那么函数

A
B
C
D



5. 设是阶实对称矩阵， 是阶单位矩阵。若
A
B


C

D
，且 ，则二次型 规范形为（
C
）



6.如图所示，有 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
和增广矩阵分别记为 ，则（
A
）
A
B
D
充分必要条件是（
C
）


组成的线性方程组的系数矩阵

C



7.设
A
B
C

为随机事件，则


D


，则 （
A
） 8.设随机变量 和


相互独立，且都服从正态分布
A 与 无关，而与 有关
B 与有关，而与 无关
C 与，
D 与，
都有关
都无关

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

9. 设函数

10.微分方程

可导，

满足条件

，则

。

11. 幂级数 在

的特解




。
。

12. 设 为曲面


内的和函数


的上侧，则



为阶矩阵，若

。


。

13. 设 ， 线性无关，且 ，则线性方程组 的通解为



14.设随机变量 的概率密度为

。
，


为

的分布函数，

为

的数学期望，则


三、解答题：15—23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 设函数
（1）求


是微分方程
；
满足条件


的特解。（本题满分10分）
解：
因 的解可以通过分开变量法求解，
，
所以
有 ，
，
于是方程两边同时乘以
有

时的特解，



所以

解得
最后
有
（2）求曲线
解： 由（1）
得

，
，
。
凹凸区间及拐点。
令
解得
当时
当
当

当
所以

，
或 。
时，

；

时，
时，

；
；
时，
。


的拐点是





当
曲线是凹的；
当
曲线是凸的。
16. 设 ，

为实数，函数
（本题满分10分）
（1）求 ，；
解：由题意得
在点（ ,

）处的方向导数中，沿方向 的方向导数最大，最大值为 。
时，
时，





， 所
以


另一方面因为方向导数最大值为10， 所
以


解得
，
（2）求曲面
解：
当

。
（ ）的面积。
时，
，
时，面积 为
， 因
故，在













17. 求曲面 （ ）与 轴之间图形的面积。（本题满分10分）



解：
面积
































=