闯祸了数学人教A版高中必修5等差数列前n项和优秀学案

2020年11月25日发(作者：边楚善)

2.3 等差数列的前n项和

2.3 等差数列的前n项和(第1课时)

学习目标：

理解并掌握等差数列前n项 和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列前n
项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等 差数列前n项和公式推导的过程,记忆公式的两种形
式;用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用 公式能熟练解决直三求二问题;会利用等
差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n
的 最值.
合作学习

一、设计问题,创设情境

1.一个堆放铅笔 的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一
支,最上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支铅笔?
问题就是 1+2+3+....+100=?

这 是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一
个求等差数列前1 00项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,
第一个数与最后一个数 一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一
组,…,每组数的和均相等,都等于1 01,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法
运算,迅速准确的得到了结果.
我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?



二、信息交流,揭示规律
2.公式推导
设等差数列{a
n
}的首 项为a
1
,公差为d,S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=?,由学生讨论,研究高斯算法
对一般等差数列 求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用a
1
和d表示,得
S
n
=a
1
+(a
1
+d)+(a
1
+2 d)+(a
1
+3d)+…+[a
1
+(n-2)d]+[a
1+(n-1)d],有以下等式
a
1
+[a
1
+(n-1)d] =(a
1
+d)+[a
1
+(n-2)d]=(a
1
+2d )+[a
1
+(n-3)d]=…,问题是一共有多少个 ,
似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

思路二:
上面 的等式其实就是a
1
+a
n
=a
2
+a
n-1=a
3
+a
n-2
=…,为回避个数问题,做一个改写
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n-2
+a
n-1
+a
n
,S
n
=a
n
+a
n-1
+a
n-2
+…+a
3
+a
2
+a
1
,两式左右分别相加,得
2S
n
=(a
1
+a
n
)+(a
2
+a
n-1
)+(a
3
+a
n-2
)+…+(a
n-2
+a
3
)+(a
n -1
+a
2
)+(a
n
+a
1
),
2S
n
=n(a
1
+a
n
)
于是有 .这就是倒序相加法.