六年级下册数学知识点《世纪金榜》2019人教A版数学必修四习题：第二章 平面向量 单元质量评估 含答案

2020年11月18日发(作者：奚涛)

单元质量评估
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小 题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 如图e
1
,e
2
为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为 ( B )

A.2e
1
+3e
2

C.3e
1
-2e
2







B.3e
1
+2e
2

D.-3e
1
-3e
2

2.已知向量a=(1,
2
),b=(,8),若a∥b,则实数的值为 ( A )
A.2 B.-2 C.±2 D.0
3.已知非零向量m,n的夹角为,且n⊥(-2m+n),则错误！未找到引用源。
= ( B )
A.2 B.1 C. D.
4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是 ( D )
A.a·b=2









B.a∥b
D.b⊥(a+b)
( C )
C.|a|=|b|
5.已知向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为
A.1 B.2 C.-1 D.-2

- 1 -
6.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p
与q的夹角是 ( A )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
7.在△AOB中,G为AB边上一点,OG是∠AOB的平分线,且
=+m(m∈R),则= ( C )
A. B.1 C. D.2
8.若非零向量a,b的夹角为锐角θ,且=cos θ,则称a被b“同余”.已知
b被a“同余”,则向量a-b在向量a上的投影是 ( A )

9.已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,
则 ·的最小值为 ( C )
A.-2 B.- C.- D.2
10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于
( D )
A. B.
C.


D.
- 2 -
11.已知O为△ABC内一点,满足4
积之比为 ( D )
A.1∶1 B.1∶2
=+2,则△AOB与△AOC的面
C.1∶3 D.2∶1
12.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足
=
( A )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线
上)
13.已知平面向量a与b的夹角等于
|2a-b|=.
,如果|a|=4,|b|=,那么
14.已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b=
3 .
15.若向量a,b夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为.
16 .已知|
=2λ
|=1,|
+λ
|=m,∠AOB=π,点C在∠AOB内且

·=0.若
(λ≠0),则m=
三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答时应写出文字说明,证明过程
或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设

=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
- 3 -
(1)当m=8时,将用和表示.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
解;(1)当m=8时,=(8,3).
设=+y,
则(8,3)=(2,-1)+y(3,0)=(2+3y,-).
所以解得
即=+.
(2)因为A,B,C三点能构成三角形,
所以,不共线.又=(1,1),=(m-2,4),
所以1×4-1×(m-2)≠0,解得m≠6.
18.(本小题满分12分)已知|a|=3,b=(1,).
(1)若a,b共线且方向相同,求a的坐标.
(2)若a与b不共线,为何值时,a+b与a-b互相垂直?
解;(1)设a=(,y),
因为|a|=3,b=(1,),且a与b共线,
所以解得或
又因为a,b方向相同,所以a的坐标为(,).
(2)因为a+b与a-b互相垂直, < br>所以(a+b)·(a-b)=a
2
-
2
b
2
=|a |
2
-
2
|b|
2
=0.
由已知|a|=3,b=(1,),所以|b|=.
- 4 -

所以9-3
2
=0,解得=±.
所以当=±时,a+b与a-b互相垂直.
19.(本小题满分12分)在边长为3的正三角形ABC中,设
=2,=2.
(1)用向量,表示向量,并求的模.
(2)求·的值.
(3)求与的夹角的大小.
解;(1)因为=2,=2,
所以=+=+(-)=+.
又·=||·||cos A=3×3×=.
故||==

==.
(2)=-+,
所以·=·
=--·+=-×3
2
-×+×3
2
=-.
(3)||=
- 5 -

=
==,
所以cos <
所以与
,>===-,
的夹角为120°.
20.(本小题满分12分 )已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF
交于点P.
求证;(1)BE⊥CF.
(2)AP=AB.
解;(1)如图,建立直角坐标系Oy,其中A为原点,

不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),
C(2,2),E(1,2),F(0,1).
=
=(-1,2),
=-=(0,1)-(2,2)
-=(1,2)-(2,0)
=(-2,-1).
因为
所以
·
⊥
=-1×(-2)+2×(-1)=0,
,即BE⊥CF.
=(,y-1),=(-2,-1).
- 6 -
(2)设P(,y),则

因为∥,所以-=-2(y-1),
即=2y-2.
同理由∥,得y=-2+4,
两式联立得;=,y=,即P.
所以
所以|
=
|=|
+=4=,
|,即AP=AB.
21.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α).设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值.
(2)若a⊥b,问;是否存在实数t,使得向量a- b和向量m的夹角为,若存在,
请求出t;若不存在,请说明理由.
解;(1)因为α=,所以b=.
所以m=a+tb=
所以
.
|m|===
,

- 7 -
所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.
(2)存在满足题意的实数t.
当向量a-b和向量m的夹角为时,
则有cos =.又a⊥b,
所以(a-b) ·(a+tb)=a
2
+(t-1)a·b-tb
2
=5-t,
|a-b|===,
|a+tb|===.则有
=,且t<5,
整理得t
2
+5t-5=0,解得t=.
所以存在t=满足条件.
22.(本小题满分12分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=2.
(1)若△ABC为等边三角形,且AD∥BC,E是CD的中点,求·.
(2)若AC=AB,cos ∠CAB=,·=,求||.

解;(1)因为△ABC为等边三角形,且AD∥BC,
- 8 -

所以∠DAB=120°.
又AD=2AB,所以AD=2BC.
因为E是CD的中点,
所以=(+)=(++)
=(++)=+.
又=-,
所以·=·(-)=--·
=×16-×4-×4×2×=11.
(2)因为AB=AC,AB=2,所以AC=2.
因为·=,所以·(-)=.
所以·-·=.
又·=||||cos ∠CAB=4×=,
所以·=+·=.
所以||
2
=|-|
2
=+-2·
=4+16-2×=.即||=.
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