高中数学奥林匹克竞赛训练题(205)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（205）（无答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.设函数当 时，函数取得最大值。
f(x)?4x
4
? 3x
2
?10x?26?4x
4
?19x
2
?6x?34< br>x?
y?f(x)

tan25
0
tan25
0cos10
0
?tan25
0
sin10
0
?
2.= 。
3tan25?

tan185
0cos10
0
?sin10
0
0
3.已知则的最小值为 。
5x?16y?33z?136(x、y、z?R
?
)
x
3
?y
3
?z
3
?x
2
?y
2
?z
2

4.在三棱柱中，正方形的边长为4，平面平面，AB=3,BC=5.若在线段上有一点D，使得,则的值为 。
ABC?A
1
B1
C
1
AAC
11
C
ABC?
AAC
11
CBC
1
AD?A
1
B
BD

BC
1
5.复数满足，且的最大值和最小值之和为，
则 .
z
1
、z
2
(z
1
)z
1
?( z
2
)z
2
?(z
1
z
2
)?(z
1
z
2
)
z
1
?
43
(z
1< br>z
2
?z
2
z
1
)
2016
?
11
?z
2
?
z2z
1
6.已知所有的正整 数均在个集合中，满足当为素数时，属于两个不同
的集合，则当的最小值为 。
n
i?j
i,j
n

7.已知椭圆C过点M（1，2）， 两个焦点为坐标原点，平行于OM的直线
与椭圆C交于A、B两点，则面积的最大值为 。
(0,?6),O
l?OAB

至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后 者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而 前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

- 1 - 3

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者， 琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。 作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

8.已知正整数满足且则满足题意的六元数组（）有 组。
?
2a?b?4c?4xyz,
a、b、c、x、y、za?b?c?1,x?y?z?1
?a、b、c、x、y、z

?
2x?y?4z?4abc,
二、解答题（共56分）

9.（1 6分）
1
2
2(1?x
n
?1)
已知数列
y
n
?1

2
满足，。
?
x
n
?
、
?
y
n
?
x
1
?1,x
n?1
?x
n
证明：（1）；
xxyy?
nn?1nn
y
1
?0,y
n?1
?
?1n
y?
?1

（2）若。
a
n
?x
n
?y
n
,则a
n
?2 (n?1,2,…)

10.（20分）设函数满足。证明：存在当且仅当，。
f:R ?Rf(f(x))?xf(x)?a(a?Z)
?
?R,使得f(
?
)?0
?
k
3
a
其中，n?Z
?

k?1
n
11.（20分）将整数1，2，3，…，20162填入一个2016×2016的方格
表中，每格填一个数，且任意两格中所填的数不同，现将任意两格的
中心连出一个向量，方向均是依所填 的数从小到大。若方格表中每行
每列所填各数之和相等，求所连出的全部向量之和。

加试

一、（40分）在四边形ABCD中，E为CD上一点，使得分别为AD、BC 、
BD、AC上的点，且满足.联结MQ。PN分别与AE、BE交于点U、V。若
UE=VE ,试判断四边形ABCD的形状。
?AED??BEC,M、N、P、Q
AMCNBPCQCE
??

DMBNDPAQDE
二、（40分）已知函数满足，求。
f :R
?
?R
?
f(f(n))?2016n?215f(n)f(n)

三、（50分）记表示不超过实数的最大整数，，设互不相同的个奇素数
至于负者歌于途， 行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而 酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者， 众宾欢也。

- 2 - 3