高中数学奥林匹克竞赛训练题(201)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（201）（无答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.设，集合，。当只有一个元素时，= 。
?7?
x、y?R< br>A?
?
?
x,y
?
x
2
?3xy?4y2
?
?
B?
?
(x,y)kx?y?2
?
(k ?0)
AB
k

2
??
2.设的三边长，且则= 。
a、b、c为?ABC
b?ccos
AA
?8,(b?c)sin?15.
a

22
3.设s为方程的非实数根，则= 。
x
7
?1
s(s?1)(s
2
?s?1)(s
2
?s?1)

4.定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体。设等腰四面体DBMN的外
接球半径为R，的外接圆半径为r，已知,则的取值范围是 。
?BMN
DB?MN?a,DM?BN?b,DN?BM?c
r

R
5.设且，则的取值范围是 。
10
a
i
2
a
i
2

a
i
?R(i?1,2,…,10)
?
2
?1
?
2
a?1a?1
i?1
i
i?1
i
10
6.已知抛物线上两点 切线互相垂直，则切线交点的轨迹方程
y?4x
A
?
x
1
, y
1
?
与B
?
x,
2
y
?
2
为 。

7.设正整数数列单调递增，满足，则= 。
?
a
n
?
a
n?2
?3a
n?1
?a
n
,a
6
?280a
7

至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携， 往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也 。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐 闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也 。名之者谁？太守自谓也。

8.对集合的元子集，满足的任意两个元素（可以相同）之和均不 为3
的整数次幂，则的最大值为 。
?
1,2,…,242
?
kTTk

二、解答题（共56分）

9.（16分）证明：
?
1
?n (
n
2?1)(n?Z
?
)

k?0
n?k
n?1
10.（20分）设A、B、P为椭圆上三点，满足,其中，。
x
2
y
2
m
2
?n
2
2mn
??1OP?OA?OB< br>m?n?0

222222
abm?nm?n
（1）求线段AB中点的轨迹C的方程
（2）过曲线C上任一点Q作曲线C的切线，与椭圆交于E、F两点，
x
2
y2
证明：QE=QF.
2
?
2
?1

ab
11.
（20分）设有个互异的正偶数与个互异的正奇数之和为2015，求< br>的最大值。
mn
20m?15n

加试

一、（40 分）如图1，设D为的边BC上任意一点，EF为的内切圆的内
切圆的外公切线，EF与AD交于点K， 的内切圆，与AB切于点N，证明：
?ABC?ACD
P与?ABD
Q
?AB C
1
I与AC切于点M
?MKN+?BAC?180
0

2
二、（40分）设，证明：
x
k
??3(k?1,2,…,n)
< br>三、（50分）设为互不相等的正整数，满足下列三式：
a、b、c、d、x、y、z、w

a+b+c+d=x+y+z+w,
a
2
+b
2
+c< br>2
+d
2
=x
2
+y
2
+z
2+w
2
,
证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数
a
3+b
3
+c
3
+d
3
=x
3
+y3
+z
3
+w
3
,
解。

至于负者歌 于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒， 泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧 哗者，众宾欢也。

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