2018高中数学新教材电子版-高中数学各种教学方法
课堂练习(四)
(建议用时:45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.下列不等式恒成立的是( )
1
A.
x
+≥2
x
1
B.sin
x
+≥2
sin
x
1
x
D.e+
x
≥2
e
C.+≥2
[解析] 根据
立.
[答案] D
ab
ba
a
+
b
2
≥
ab
知,条件需
a
>0,
b>0.∴A,B,C均不成立,D中,∵e>0,∴成
x
2.
a
,
b
为非零实数,那么不等式恒成立的是( )
A.|
a
+
b
|>|
a
-
b
|
B.
a
+
b
2
≥
ab
?
a
+
b
?
≥
ab
C.
??
?
2
?
2
D.+≥2
ba
ab
[解析]
a
,
b
为非零实数时,A,B,D均不一定成立.
?
a<
br>+
b
?
-
ab
=
?
a
-
b
?
≥0恒成立.
而
???
2
?
?
2
???
22
[答案]
C
3.设
a
>0,
b
>0,且
a
+
b<
br>≤4,则有( )
11
A.≥
ab
2
C.
ab
≥2
[解析]
4≥
a
+
b
≥2
ab
,∴
ab
≤2.
∴
11111
≥,+≥2·≥1.
ab
2
ab
ab
11
B.+≥1
ab
D.
11
≤
a
2
+
b
2
4
[答案] B
4.设0<
a
<
b
,
a
+
b
=1,则下列不等式正确
的是( )
A.2<2
ab
<
a
+
b
<
a
+
b
B.2
ab
<
b
<
a
+
b
<
a
+
b
C.2
ab<
a
+
b
<
b
<
a
+
b
D.2
ab
<
a
+
b
<
a
+
b
<
b
2222
2222
2222
2222
[解析]
∵0<
a
<
b
,且
a
+
b
=1,
∴0<
a
<
b
<1,
∴
a
+
b
>2
ab
,
b
>
a
+
b
,且a
+
b
>
b
.
故2
ab
<
a
+
b
<
b
<
a
+
b
.
[答案] C
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为
a
和
b(
a
<
b
),其全程的平均时速为
v
,则( )
A.
a
<
v
<
ab
C.
ab<
br><
v
<
B.
v
=
ab
D.v
=
2222
222222
a
+
b
2
a
+
b
2
[解析]
设甲、乙两地之间的距离为
s
.
∵
a
<
b
,∴<
br>v
=
2
sab
2
ab
2
ab
==<
=
ab
.
ss
?
a
+
b
?
sa
+
b
2
ab
+
222
2
s
ab<
br>2
abab
-
aa
-
a
又
v
-a
=-
a
=>=0,∴
v
>
a
.
a
+
ba
+
ba
+
b
[答案] A
二、填空题
?
abc
??
bca
?
6.已知a
,
b
都是正数,则
?
++
??
++
?
≥________.
?
bca
??
abc
?
[解析]
∵
a
,
b
都是正数,
∴++≥3,
且++≥3. abc
bca
bca
abc
?
abc
??
bc
a
?
∴
?
++
??
++
?
≥9.
?
bca
??
abc
?
[答案] 9
1127.设
A
=+,
B
=(
a
>0,
b
>
0且
a
≠
b
),则
A
,
B
的大小关系是_
_______.
2
a
2
ba
+
b
?
a
-
b
?
[解析] 法一(比较法):
A
-
B
=>0(
a
>0,
b
>0且
a
≠
b
),
则
A
>
B
.
2
ab
?
a
+b
?
法二:
A
>
1
2
ab
,
B
<
1
ab
,故
A
>
B
.
[答案]
A
>
B
8.已知不相等的三个正数
a
,
b
,
c
且
abc
=1,则
a
+
b
+
c
与3的大小关系是________.
[解析] ∵
a
,
b
,
c
是不相等的三个正数,且
abc
=1
,
333
3
333333
∴
a
+
b
+
c
>3
abc
=3.
[答案]
a
+
b
+
c
>3
三、解答题
111<
br>9.设
a
>0,
b
>0,
a
+
b
=
1,求证:++≥8.
333
abab
[证明]
∵
a
>0,
b
>0,
a
+
b
=1,
∴2
ab
≤
a
+
b
.
11
因此
ab
≤,≥4.
2
ab
111
?
11
?
1
则++=(
a
+
b
)
?
+
?
+≥2
ab
·2
1
abab
?ab
?
abab
+4=8.
10.已知
a
,
b
,
c
大于0,求证:
(
a
+
b
+
c
)
?
?
1
+
1
+
1
?
≥
9
.
?
?
a
+
bb
+
ca
+
c
?
2
[证
明] ∵
a
,
b
,
c
大于0,
∴(
a<
br>+
b
)+(
b
+
c
)+(
c
+a
)
3
≥3?
a
+
b
??
b
+
c
??
c
+
a
?>0,
3
111111
++≥3··>0,
a
+
bb
+
ca
+
ca
+
bb
+
ca
+
c<
br>∴(
a
+
b
+
c
)
?
?
1
+
1
+
1
?
≥
9
.
?
?
a
+
bb
+
ca
+
c
?
2[能力提升练]
当且仅当
a
=
b
=
c
时,等号成立.
1
.设
a
,
b
,
c
为正数,则“
abc
=1
”是“
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
[解析] 当
a
=
b
=c
=2时,有
111
1
1
a
+
1
b<
br>+
1
c
≤
a
+
b
+
c
”的
( )
a
+
1
b
+
1
c
≤
a
+
b
+
c
,但
abc
≠1,所以必要性不成立;<
br>当
abc
=1时,
a
+
b
+
c
=<
br>bc
+
ac
+
ab
=
bc
+
ac<
br>+
ab
,
a
+
b
+
c
=
a
bc
?
a
+
b
?+?
b
+
c
?+
?
a
+
c
?111
≥
ab
+
bc
+
ac
,所以充分性成立,故“
abc
=1”是“++
2
a
bc
≤
a
+
b
+
c
”的充分不必要条件.
[答案] A
2.当
a
,
b
为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是(
)
A.
C.
a
+
b
2
22
B.
ab
a
2
+
b
22
a
-1
+
b
-1
?
-1
?
D.
??
?
2
?
≥
ab
及
a<
br>+
b
≥2
ab
,且
a
≠
b
,
2
ab
=
ab
,
2
[解析] 由
∴a
+
b
2
≥
a
2
+
b
22
∴A,B,C中,
ab
最小.
a
-1
+
b
-1
?
-1
2
ab
?
而
??
=<
br>a
+
b
.
?
2
?
∵
a
≠
b
时,
a
+
b
>2
ab
>0,
∴(
a
+
b
)
ab
>2
ab
>0,
2
ab
<
ab
.
a
+
b
a
-
1
+
b
-1
?
-1
?
综上可知,
??最小,应选D.
?
2
?
[答案] D
3.若
a>0,
b
>0,
a
+
b
=2,则下列不等式对一切满足
条件的
a
,
b
恒成立的是________(写
出所有正确命题的编
号).
11
2233
①
ab
≤1;②
a
+
b
≤2;③
a
+
b
≥2;④
a
+
b≥3;⑤+≥2.
ab
[解析]
利用特殊值
a
=
b
=1排除②④.
?
a
+
b
?
=
?
2
?
=1,∴①正确. 由平均值不等式
ab
≤
????
?
2
??
2
?
22由
a
+
b
=
a
+(2-
a
)=2a
-4
a
+4=2[(
a
-1)+1]≥2,∴③正确. 111
?
11
?
由+=
?
+
?
(a
+
b
)
ab
2
?
ab
?
1
?
ba
?
1
=
?
2++
?
≥(
2+2)=2,
ab
?
22
?
∴⑤正确.
[答案]
①③⑤
111
4.设正数
a
,
b
,
c
满
足
a
+
b
+
c
=1,求++的最小值.
3
a
+23
b
+23
c
+2
[解] 因为
a
,
b
,
c
均为正数,且
a
+
b
+
c
=1,所以(3
a
+2)+(3
b
+2)+(
3
c
+2)=9.
222222
于
3<
br>2)]≥3
是
?
1
+
1
+
1
??
3
a
+23
b
+23
c
+2
???
[(3
a
+2)+(3
b
+2)+(3
c
+
11
3
·3?3
a
+2??3
b
+2??3c
+2?=9,当且仅当
a
=
b
=
c
=时,等
?3
a
+2??3
b
+2??3
c
+2?3
111111
号成立,即++≥1,故++的最小值为1.
3
a
+23<
br>b
+23
c
+23
a
+23
b
+23
c
+2