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从小丘西行百二十步,隔篁竹,闻水声,如鸣珮环,心乐之。伐竹取道,下见小潭,水尤清冽。全
石以为底,近岸,卷石底以出,为坻,为屿,为嵁,为岩。青树翠蔓,蒙络摇缀,参差披拂。珮通:佩
高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式学案
北师大版选修4_5
1.掌握定理1和定理2及其证明,并能灵活应用.
2.理解定理3和定理4及其证明,并能简单应用.
3.会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题.
1.二元均值不等式
(1)定理1:
对任意实数a,b,有a2+b2≥____(此式当且仅当a=b时取
“=”号).
(2)定理2:
对任意两个正数a,b,有______≥(此式当且仅当a=b
时取
“=”号).
我们称______为正数a与b的算术平均值,______为
正数a与b
的几何平均值.
定理2可叙述为:两个正数的__________不小
于它们的
__________.
【做一做1-1】函数y=+x(x>3)的最小值是( ).
A.5
B.4 C.3 D.2
【做一做1-2】“a>b>0”是“ab<”的( ).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.三元均值不等式及其推广
(1)定理3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥____(此式
当且仅当
a=b=c时取“=”号).
(2)定理4:
对任意三个正数a,b,c,有≥(此式当且仅当a=b=c时取“=”
号).
定理4可叙述为:三个正数的__________不小于它们的
__________.
(3)n个正数的算术几何平均不等式:
一般地,对n个正数a1,a2,…,an
(n≥2),我们把数值
______________,__________分别称为这n个正数的
算术平均值与几
何平均值,且有______________≥,此式当且仅当__________
__时取
“=”号,即n个正数的算术平均值不小于它们的__________.
【做一做2】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1.求证:++≥36.
欧阳修
,字永叔,庐陵人。四岁而孤,母郑,守节自誓,亲诲之学。家贫,至以荻画地学书。幼敏悟过人,读书辄成诵。
及冠,嶷然有声。修始在滁州,号醉翁,晚更号六一居士。天资刚劲,见义勇为,虽机阱在前,触发之不顾。放逐
流离,至于再三,志气自若也。
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从小丘西行百二十步,隔
篁竹,闻水声,如鸣珮环,心乐之。伐竹取道,下见小潭,水尤清冽。全石以为底,近岸,卷石底以出,为坻,为
屿,为嵁,为岩。青树翠蔓,蒙络摇缀,参差披拂。珮通:佩
答案:
1.(1)2ab (2) 算术平均值 几何平均值
【做一做1-1】A
原式变形为y=+x-3+3.
∵x>3,∴x-3>0,∴>0.
∴y≥2+3=5.
当且仅当x-3=,即x=4时等号成立.
【做一做1-2】A
当a>b>0时,>=ab成立,当ab<时,
不能推出“a>b>0”,故选A.
2.(1)3abc (2)算术平均值 几何平均值
(3)
a1=a2=…=an 几何平均值
【做一做2】分析:本题需变式出现积为定值的情况,而
条件中
是和为定值x+y+z=1,所以对所证不等式的左边需变形出现积为
定值的情况.
证明:++=++
?
=14+++
?
?
y
+
z
?
??
4z9y
+y+
z
≥14+4+6+12=36.
当且仅当=,=,=,且x+y+z=1,即x=,y=,z=时取等
号.
对定理1和定理2的理解
剖析:(1)a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的
:前者只要求a,
b都是实数,而后者要求a,b都是正数.有些同学易忽略这一点,
例如:(
-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立,而≥不成立.
(2)这两个不等式都
带有等号,应从两方面理解,“当且仅当……
时,取‘=’号”这句话:
①当a=b时,取等号,其意义是a=b?=;
②仅当a=b时,取等号,其意义是=?a=b.
综合起来,其意义是:a=b是=成立的充要条件.
(3)从这两个不等式我们可以
得到如下结论:+≥2(ab>0);
≤≤≤(a>0,b>0).
(4)式子中的a,b可以是数字,也可以是复杂的代数式.
题型一
利用平均值不等式证明不等式
【例1】若x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.
分析:本题是有条件的证明不等式问题,要巧用“x+y=1”来
证明.
反
思:利用平均值不等式证明不等式时,要注意把握平均值不等
式的结构特点,以便灵活地用于解题,另外
,式子的灵活变形,进行
拆项、凑项,也是常用的方法.
欧阳修,字永叔,庐陵人。
四岁而孤,母郑,守节自誓,亲诲之学。家贫,至以荻画地学书。幼敏悟过人,读书辄成诵。及冠,嶷然有声。修
始在滁州,号醉翁,晚更号六一居士。天资刚劲,见义勇为,虽机阱在前,触发之不顾。放逐流离,至于再三,志
气自若也。
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