高中数学计数原理的笔记-乌鲁木齐市高中数学一对一
物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取
柱,柔自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从
其类也。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。
活页作业(六)
放缩法、几何法、反证法
一、选择题
1.实数
a<
br>,
b
,
c
不全为0的等价条件是( )
A.实数
a
,
b
,
c
均不为
0
B.实数
a
,
b
,
c
中至多有一个为0
C.实数
a
,
b
,
c
中至少有一个为0
D.实数<
br>a
,
b
,
c
中至少有一个不为0
解析:实数
a
,
b
,
c
不全为0的含义是实数
a
,
b
,
c
中至少有一个不为0.
答案:D
x+yxy2.设
x
>0,
y
>0,
M
=,
N
=
+,则
M
,
N
的大小关系是(
)
2+x+y2+x2+y
B.
M
<
N
A.
M
>
N
C.
M
=
N
D.不能确定
xyxyx+y<
br>解析:
N
=+>+==
M
.
2+x2+y2+x+y2+x+
y2+x+y
答案:B
3.已知
x
=
a
+
1
?
1
?
2
(
a
>2),y
=
??
b
-2(
b
<0),则
x
,
y
之间的大小关系是( )
a-2
?
2
?
B.
x
<
y
A.
x
>
y
C.
x
=
y
D.不能确定
1
解析:易得
x
=
a
-2++2≥2+2=4(
a
>2),
a-2
?
1
?
2
?
1
?
-22<
br>而
b
-2>-2(
b
<0),即
y
=
??<
br>b
-2<
??
=4,
?
2
??
2
?
所以
x
>
y
.
答案:A
1111
4.设
M
=+++…+,则(
)
210210+1210+2211-1
B.
M
<1A.
M
=1
C.
M
>1
111
解析:
M
=++…+<
210210+1211-1
D.
M
与1大小关系不定
1
10
=2×=1.
210
答案:B
物类
之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔自取束。邪秽
在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也。是故质的张
,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。
二、填空题
abb+ma+n
5.若
a
>
b
>0,
m
>0,<
br>n
>0,则,,,,按由小到大的顺序排列为______________________.
baa+mb+n
解析:由
a
>
b
>0,
m>0,
n
>0,知
bb+mbb+n
<<1且<<
1.
aa+maa+n
aa+na+na
则>>1,即1<<.
bb+nb+
nb
bb+ma+na
答案:<<<
aa+mb+nb
6.已知
a
∈(0,+∞),则
11
,,从大到小的顺序为____________
_________.
2a2a+1a+a+1
解析:∵a+a+1>a+a=2a,
a+a+1<a+1+a+1=2a+1,
∴2a<a+a+1<2a+1.
∴
1
2a
>
1
>.
a+a+12a+1
1
1
111
答案:>>
2aa+a+12a+1
三、解答题
2
7.已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
=
(
n
+
n
)·3.
a1a2an
n<
br>求证:++…+>3.
1222n2
n
a1
证明:当
n
=1时,=
a
1
=
S
1
=6>3;
12
当
n
>1时,
a1a2an
++…+
1222n2
=
?
S1S2-S1S3-S2Sn-Sn-1
=+++…+
12
2232n2
1
-
>
1
Sn
-
?
S
n
-1
+
?
n2
?
n2
?
1
-
1
?
S
+
?
1
-
1
?
S
+…+
?
?
1
?
2232
?
2
?
?
1222
????
Snn2+n
nn
=·3>3.
n2n2
a1a2an
n
所以当
n
≥1时,
++…+>3.
1222n2
1
8.设函数
f
(
x
)定义在区间(0,+∞)上,且
f
(1)=0,导函数
f
′(<
br>x
)=,函数
g
(
x
)=
f
(
x<
br>)+
f
′(
x
).
x
(1)求函数
g(
x
)的最小值;
物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉
腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平
地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成
荫,而众鸟息焉。
1
(2)是否存在
x
0
>0,使得不等式|
g
(
x
)-
g
(
x
0
)|<对任意x
>0恒成立?若存在,请求出
x
0
的取值范围;
x
若不存在,请说明理由.
1
解:(1)由题设,易知
f
(
x
)=ln
x
,
g
(
x
)=ln
x
+.
x
x-1
∴
g
′(<
br>x
)=.令
g
′(
x
)=0,得
x
=1.<
br>x2
当
x
∈(0,1)时,
g
′(
x
)<0
,故区间(0,1)是函数
g
(
x
)的单调递减区间;
当
x
∈(1,+∞)时,
g
′(
x
)>0,故区间(1,+
∞)是函数
g
(
x
)的单调递增区间.
∴函数
g
(
x
)的最小值为
g
(1)=1.
(
2)满足条件的
x
0
不存在.理由如下:
1
假设存在
x0
>0,使得不等式|
g
(
x
)-
g
(
x
0
)|<对任意
x
>0恒成立.
x
由(1),知函数
g
(
x
)的最小值为
g
(1)=1.<
br>∴当
x
≥1时,函数
g
(
x
)的值域为[1,+∞)
,
从而可取一个
x
1
>1,使
g
(
x
1
)≥
g
(
x
0
)+1,
即<
br>g
(
x
1
)-
g
(
x
0
)
≥1.
1
故|
g
(
x
1
)-
g
(
x
0
)|≥1>,与假设矛盾.
x1
1
∴不存在
x
0
>0,使得不等式|
g
(
x
)-
g<
br>(
x
0
)|<对任意
x
>0恒成立.
x
B.lg 9lg 11=1
D.不能确定
一、选择题
1.lg 9lg 11与1的大小关系是(
)
A.lg 9lg 11>1
C.lg 9lg 11<1
解析:因为lg
9>0,lg 11>0,且lg 9≠lg 11,
所以lg 9lg
11<
?
?
lg 9+lg
11
?
2
=
?
lg
99
?
2
<
?
lg 100
?
2
=1.<
br>??
2
??
2
?
2
??????
答案:C
2.若|
a
|<1,|
b
|<1,则(
)
A.
?
C.
?
解析:假设
?
B.
?
D.
?
?
a+b
?<
br><1
?
?
1+ab
?
?
a+b
?
≥
1
?
?
1+ab
?
?
a+b
?
=1
?
?
1+ab
?
?
a+b
?
≤1
?
?
1+ab
?
?
a+b
?
≥1,
?<
br>?
1+ab
?