高中数学必修二知识点-高中数学趣味活动方案
高中数学选修4-1练习题(一)
1.如图,已知在△
ABC中,
CD
⊥
AB
于
D
点,
BC
=BD
·
AB
,则∠
ACB
=______.
2.如图
,已知在△
ABC
中,∠
ACB
=90°,
CD
⊥
AB
于
D
,
AC
=6,
DB
=5,则
AD
的长为________.
3.如图所示,已知在△
ABC
中,
∠
C
=90°,正方形
DEFC
内接于△
ABC
,
DE
∥
AC
,
EF
∥
BC
,
AC
=1,
BC
=2,则
AF
∶
FC
等于________.
4.如图,平行四边形
ABCD
中,
AE
∶
EB
=
1∶2,△
AEF
的面积为6,则△
ADF
的面积为________.
5.如图,△
ABC
中,∠
BAC
=90°,
AB
=4 cm,
AC
=3 c
m,
DE
∥
BC
且
DE
把△
ABC
的周长
分为相等的两
部分,则
DE
=________.
6.在△
ABC
中,点
D
在线段
BC
上,∠
BAC
=∠
A
DC
,
AC
=8,
BC
=16,则
CD
为____
____.
7.如图,已知在梯形
ABCD
中,上底长为2,下底长为6
,高为4,对角线
AC
和
BD
相交于点
P
,
(1)若
AP
长为4,则
PC
=________;
(2)△
ABP
和△
CDP
的高的比为______.
8
.(2010·广东卷)如图,在直角梯形
ABCD
中,
DC
∥
AB
,
CB
⊥
AB
,
AB
=
AD
=<
br>a
,
CD
=,点
E
,
F
分别
2为线段
AB
,
AD
的中点,则
EF
=________
.
AE
2
9.如
图,已知
AD
∥
EG
∥
BC
,
AD
=6,
BC
=9,=,则
GF
的长为________.
AB
3
解析:
∵
AD
∥
EG
∥
BC
,
2
a
EGAEEFBE
=,=.
BCABADBA
AE
2
BE
1
∵=,∴=,
A
B
3
AB
3
EF
1
EG
2
∴=,=. <
br>AD
3
BC
3
又∵
AD
=6,
BC
=9,
∴
EF
=2,
EG
=6,
∴
GF
=
EG
-
EF
=4.
∴
答案: 4
10.如图,在直角梯形
ABCD
中,上底
AD
=3,下底
BC
=33,与两底垂直的腰
AB
=6,在
AB
上选取
一点
P
,使△
PAD
和△
PBC
相似,这样的点
P
有________个.
解析:
设
AP
=
x
,
(1)若△
ADP
∽△
BPC
,则=,
即
3x
2
=,所以
x
-6
x
+9=0,解得
x=3.
6-
x
33
ADAP
BPBC
(2)若△ADP
∽△
BCP
,则=,
ADAP
BCBP
x
3
=,解得
x
=,
2
33
6-
x
所以符合条件的点
P
有两个.
答案: 两
即
3
11.如图,在△
ABC
中,
AD
⊥
BC
于
D
,
DE
⊥
AB<
br>于
E
,
DF
⊥
AC
于
F
.
求证:
AE
·
AB
=
AF
·
AC
.
证明: ∵
AD
⊥
BC
,
∴△
ADB
为直角三角形,
又∵
DE
⊥
AB
,由射影定理知,
AD
2
=
AE
·
AB
.
2
同理
可得
AD
=
AF
·
AC
,∴
AE
·
AB
=
AF
·
AC
.
12.如图所示,在△
A
BC
中,
AD
为
BC
边上的中线,
F
为
A
B
上任意一点,
CF
交
AD
于点
E
.
求
证:
AE
·
BF
=2
DE
·
AF
.
证明: 过点
D
作
AB
的平行线
DM
交
A
C
于点
M
,交
FC
于点
N
.
在△
BCF
中,
D
是
BC
的中点,
DN
∥
B
F
,
1
∴
DN
=
BF
.
2
∵
DN
∥
AF
,∴△
AFE
∽△
DNE<
br>,
∴
AEDE
=.
AFDN
1
AE<
br>2
DE
又
DN
=
BF
,∴=,
2
AFBF
即
AE
·
BF
=2
DE
·
AF<
br>.
13.如图,△
ABC
中,
AB
=
AC
,
AD
是中线,
P
为
AD
上一点,
CF
∥
AB
,
BP
延长线
交
AC
,
CF
于
E
,
F
,
2
求证:
PB
=
PE
·
PF
.
证明: 如图,连结
PC
,
易证
PC
=
PB,∠
ABP
=∠
ACP
.
∵
CF
∥
AB
,∴∠
F
=∠
ABP
,
从而∠
F
=∠
ACP
,
又∠
EPC
为△
CPE
与△
FPC
的公共角,
从而△
CPE
∽△
FPC
,∴=
2
CPPE
,
FPPC
∴
PC
=
PE
·
PF
,
2
又
PC
=
PB
,∴
PB
=
PE
·
PF
.
14.已知:在Rt△
ABC
中,∠
ACB<
br>=90°,
M
是
BC
的中点,
CN
⊥
AM<
br>,垂足是
N
,
求证:
AB
·
BM
=
AM
·
BN
.
2
证明:
∵
CM
=
MN
·
AM
,
又∵
M
是
BC
的中点,
2
∴
BM
=
MN
·
AM
,
BMMN
=,
AMBM
又∵∠
BMN<
br>=∠
AMB
,∴△
AMB
∽△
BMN
,
ABAM
∴=,
BNBM
∴
AB
·
BM
=
AM
·
BN
.
∴
15.如图,在等腰三角形
ABC
中,
AB
=
AC
,底边
BC
上的高
AD
=10 cm,腰
AC
上的高
BE
=12 cm.
AB
5
(1)求证:=;
BD
3
(2)求△
AB
C
的周长.【解析方法代码108001159】
解析:
(1)证明:在△
ADC
和△
BEC
中,
∵∠
ADC=∠
BEC
=90°,∠
C
=∠
C
,∴△
AD
C
∽△
BEC
,
ACAD
105
∴===.
B
CBE
126
∵
AD
是等腰三角形
ABC
底边
BC
的高线,
∴
BC
=2
BD
,又
AB
=<
br>AC
,
ACAB
5
AB
5
∴==,∴=.
BC
2
BD
6
BD
3
5
(2)设
BD<
br>=
x
,则
AB
=
x
,
3
在Rt△
ABD
中,∠
ADB
=90°,
22
2
根据勾股定理,得
AB
=
BD
+
AD
,
?
5
?
222
∴
?
x
?
=
x<
br>+10,解得
x
=7.5.
?
3
?
5
∴<
br>BC
=2
x
=15,
AB
=
AC
=
x
=12.5,
3
∴△
ABC
的周长为40 cm.
1
6.如右图,在平行四边形
ABCD
中,过点
B
作
BE
⊥<
br>CD
,垂足为
E
,连结
AE
,
F
为
AE
上一点,且∠
BFE
=∠
C
.
(1)求证:△
ABF
∽△
EAD
.
(2)若
A
B
=4,∠
BAE
=30°,
AD
=3,求
BF
的
长.
解析: (1)证明:∵
AB
∥
CD
,∴∠
BAF<
br>=∠
AED
.
又∵∠
BFE
=∠
C
,∠<
br>BFE
+∠
BFA
=∠
C
+∠
EDA
,
∴∠
BFA
=∠
ADE
.
∴△
ABF
∽△
EAD
.
483
(2)∵
AE
==,
sin 60°3
又
BFABAB
33
=,∴
BF
=·
AD
=.
ADAEAE
2
17.如图,梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
EF
经过梯形对角线的交点
O
,且<
br>EF
∥
AD
.
(1)求证:
OE
=
OF
;
(2)求+的值;
112
(3)求证:+=.
OEOE
ADBC
ADBCEF
解析:
(1)证明:∵
EF
∥
AD
,
AD
∥
BC
,
∴
EF
∥
AD
∥
BC
.
OEAEOFDF
∵
EF
∥
BC
,∴=,=.
BCABBCDC
【解析方法代码108001160】
∵
EF
∥
AD
∥
BC
,∴
AE
=
DF
ABDC
.
∴
OE
BC
=
OFBC
,∴
OE
=
OF
.
(2)∵
OE
∥
AD
,∴
OEBE
AD
=
AB
.
由(1)知,
OE
BC
=
AE
AB
,
∴
OEOEBEAEBE
+
AE
AD
+
BC
=
AB
+
AB
=
AB
=1.
(3)证明:由(2)知OEOE
2
OE
2
OE
AD
+
BC
=
1,∴
AD
+
BC
=2.
又
EF
=2
O
E
,∴
EFEF
AD
+
BC
=2,
∴
1
AD
+
1
BC
=
2
EF
.
18.一块直角三角形木板,如图所示,∠
C
=90°,
AB
=5
cm,
BC
=3 cm,
AC
=4 cm.
根据需要,要把它加工成
一个面积最大的正方形木板,设计一个方案,应怎样裁才能使
正方形木板面积最大,并求出这个正方形木
板的边长.
解析:
如图(1)所示,设正方形
DEFG
的边长为
x
cm,过点
C作
CM
⊥
AB
于
M
,交
DE
于
N
,
因为
S
11
△
ABC
=
2
AC
·
BC
=
2
AB
·
CM
,
所以
AC
·
BC
=
AB
·
CM
,
即4×3=5·
CM
,所以
CM
=
12
5
.
因为
DE
∥
AB
,所以△
CDE
∽△
CAB
.
12
-
x
所以
CNDE
5
x<
br>CM
=
AB
,即
12
=
5
.
5
所以
x
=
60
37
.
如图(2)所示,设正方形
CDEF
的边长为
y
cm,
因为
EF
∥
AC
,
所以△
BEF
∽△
BAC
.
所以
BF
B
C
=
EF
AC
,即
3-
y
3
=
y
12
4
,所以
y
=
7
.
因为
x
=
60
37
,
y
=
12
7
=60
35
,所以
x
<
y
.
所以当按图(2)的方法裁剪时,正方形面积最大,其边长为
12
7
cm.