高二数学经典例题 (52)

高中数学例题：利用空间向量求空间角和距离
1．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧
棱SD的中点，且 SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：A 解析： 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系
O－xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P
?
?< br>?
0，－
aa
?
2
，
2
?
?
.
→→
则CA＝(2a,0,0)，AP＝
?
?
?
－a ，－
aa
?
→
2
，
2
?
?
，CB ＝(a，
设平面PAC的一个法向量为n，
?
设n＝(x，y，z)，则
?
→
?
n·CA＝0，
?
?
→
n·AP＝0，


解得
?
?
?
x＝0，
?
?
y＝z，

可取n＝(0,1,1)，
→
→
则cos〈CB，n〉 ＝
CB·na1
→
＝
|CB||n|
2a
2
·2< br>＝
2
，
→
∴〈CB，n〉＝60°，

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a,0)，

∴直线BC与平面PAC所成的角是90°－60°＝30°.



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