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高中数学必修二
直线与圆、圆与圆的位置关系检测题(解析版)
1.
圆
(x?2)?y?4
与圆
(x?2)?(y?1)?9
的位置关系为(
)
A.内切 B.相交 C.外切 D相离
2
若直线
l:mx?ny?m?n?0
?
n?0
?
将圆
C:<
br>?
x?3
?
?
?
y?2
?
?4
的周
长分为
2:1
两部分,则直线
l
的
斜率为( )
A.
0
或
22
2222
3444
B.
0
或 C.
?
D.
2333
223.已知直线
l:y?x?a
将圆
x?y?4
所分成的两段圆弧的长度之
比为1:2,则实数
a?
( )
A.
2
B.
?2
C.
?2
D.
?22
4.已知直线
l
:
x?ky?5?0
与圆
O
:
x?
y?10
交于
A
、
B
两点且
OA?OB?0
,则<
br>k
22
?
( )
A.2
B.
?2
C.
?2
D.
2
5.已知圆
?
x?1
?
?y?4
的圆心为
C
,点
P
是直线
l:mx?y?5m?4?0
上的
点,若该圆上存在点
Q
使
2
2
得
?CPQ?30
,
则实数
m
的取值范围为( )
?
3?33?3
?
?<
br>12
?
0,
?
,
A.
?
?1,1
?
B.
?
?2,2
?
C.
?
D.
?
?
44
?
5
?
??
6.已知圆
方程为( )
A.
C.
7.过点
P(?
B.
D.
的一条直径通过直线被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线
3,1)
的直线
l与圆
x
2
?y
2
?1
有公共点,则直线
l的倾斜角的取值范围是( )
?
(0,]
C.
[0,]
D.
[0,]
(0,]
B.A.
6
3
6
3
8.已知圆
x
2
?y<
br>2
?2x?2y?a?0
截直线
x?y?2?0
所得弦的长度为4,则
实数
a
的值为( )
A.
?2
B.
?4
C.
?6
D.
?8
22
9.设点
M
?
x
0
,1
?
,若在圆
O:x+y?1
上存在点
N
,使得
?OMN?45?
,则
x
0
的取值范围是( )
?
?
?
(A)
?
?1,?1
?
(B)
?
?
10.已知直线
的值为( )
A. 或
2
?
22
?
?
11
?
,
?
(C)
?
?2,2
?
(D)
?
?,
?
??
?
22
?
?
22
?
相交于两点;且为等腰直角三角形,则实数与圆
B.
2
C. 或 D.
11.圆
x?y?2x?4y?1?
0关于直线2ax?by?2?0
?
a,b?R
?
对称,则ab的取值范围是
( )
A.
?
??,
?
B.
?
0,
?
C.
?
?,0
?
D.
?
??,
?
4
?
4
???
4
??
4
??
12.定义:曲线
C
上的点到直线
l
的距离的最小值称为曲线
C
到直线
l
的距离.已知曲线
C<
br>1
:
y?x?a
到
直线
l
:
y?x
的距离等于曲线
C
2
:
x?(y?4)?2
到直线直线
l<
br>:
y?x
的的距离,则实数
a
= .
13.已知圆
O:x?y?1
和点
M(1,4)
.
(1)过点M向圆O引切线,求切线的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线
y?2x?8
截得的弦长为8的圆M的方程;
22
14.已知圆
C
1
:x?y?6x?0
关于直线
l
1
:y?2x?1对称的圆为
C
.
?
1
??
1
??
1
??
1
?
2
22
22
(1)求圆
C
的方程;
(2)过点
?
?1,0
?
作直线
l
与
圆
C
交于
A,B
两点,
O
是坐标原点,是否存在这样的直
线
l
,使得在平行四
边形
OASB
中
OS?OA?OB?若存在,求出所有满足条件的直线
l
的方程;若不存在,请说明理由.
15.已知点
P(2,2)
,圆
C
:
x?y?8y?0
,过点
P
的动直线
l
与圆
C
交于
A,B
两点,线段
AB
的中点为
22
M
,
O
为坐标原点.
(1)求
M
的轨迹方程;
(2)当
OP?OM
时,求l
的方程及
?POM
的面积
16.已知圆C经过两点P(-1,-3),Q(2,6),且圆心在
直线
x?2y?4?0
上,直线l的方程为
(k?1)x?2y?5?3k?0
.
(1)求圆C的方程;
(2)证明:直线l与圆C恒相交;
(3)求直线l被圆C截得的最短弦长.
17.已知
?ABC
的三个顶点
A(?1,0)
,
B(1,0)
,
C(3,2)
,其外接圆为
H
.
(1)若直线
l
过点
C
,且被
H
截得的弦长为2,求直线
l
的方
程;
(2)对于线段
BH
上的任意一点
P
,若在以
C为圆心的圆上都存在不同的两点
M,N
,使得点
M
是线段
PN<
br>的
中点,求
C
的半径
r
的取值范围.
22
18.已知定点
A
?<
br>?1,0
?
,B
?
2,0
?
,圆C:
x?y?2x?23y?3?0
,
(1)过点
B
向圆C引切线l,求切线l的方程;
(2)过点A作直线
l
1
交圆C于P,Q,且
AP?PQ
,求直线
l
1
的斜率k;
(3)定点M,N在直线
l
2
:x?1
上,对于圆C上任意一点R都满足
RN?3RM
,试求M,N两点的坐标
19.
O:x?y?4
和圆
C:x?(y?4)?1
(1)判断圆
O
和圆
C
的位置关系;
(2)过圆
C
的圆心
C
作圆
O
的切线
l
,求切线
l<
br>的方程;
(3)过圆
C
的圆心
C
作动直线
m
交圆
O
于A,B两点.试问:在以AB为直径的所有圆中,是否存在这样
的圆
P
,使得圆
P
经过点
M(2,0)
?若存在,求出圆
P<
br>的方程;若不存在,请说明理由.
2222
参考答案
答案1 2.B
3.C 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.B
12.
9
4
13(1)若过点M的直线斜率不存在,直线方程为:
x?1
,为圆O的切线; 1分
当切线l的斜率存在时,设直线方程为:
y
?4?k(x?1)
,即
kx?y?k?4?0
,
∴圆心O到切线的距离为
:
|?k?4|
k
2
?1
?1
,解得:
k?
15
8
∴直线方程为:
15x?8y?17?0
.
综上,切线的方程为:
x?1
或
15x?8y?17?0
4分
14.(1)圆
C
1
化为标准为
?
x?3<
br>?
?y?9
,
2
2
设圆
C
1
的圆
心
C
1
?
?3,0
?
关于直线
l
1
:y?2x?1
的对称点为
C
?
a,b
?
,则
k
CC
1
k
l
??1
,
且
CC
1
的中点
M
?
?
a?3b
?
,
?
在
直线
l
1
:y?2x?1
上,
?
22
?
b
?2??1
a?1
a?3
所以有
{
,解得:
{
,
b
b??2
?
a?3
?
??1?0
2
所以圆
C
的方程为
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?9
.
(2)由
OS?OA?OB?BA<
br>,所以四边形
OASB
为矩形,所以
OA?OB
.
22
·?0
,即:
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. 要使
OA?OB
,必须使
OAO
B
①当直线
l
的斜率不存在时,可得直线
l
的方程为
x??
1
,与圆
C:
?
x?1
?
?
?
y?2?
?9
交于两点
A?1,5?2
,
B?1,?5?2
.
22
????
<
br>·?
?
?1
??
?1
?
?
因为
OA
OB
?
5?2?5?2?0
,所以
OA?OB
,所以当直线
l
的斜率不存在时,直线
???
l:x??1
满足条件.
②当直线
l
的斜率存在时,可设直线
l
的方程为
y?k
?
x
?1
?
.
设
A
?
x
1
,y
1<
br>?
,B
?
x
2
,y
2
?
(
x?1)2
?(
y?2)2
?9
2222
由
{<
br>得:
?
1?k
?
x?
?
2k?4k?2
?
x?k?4k?4?0
.由于点
?
?1,0
?
在圆
C
内部,所以
y?k
?
x?1
?
??0
恒成立,
?2k
2
?4k?2?
x
1,2
?
???
2k
2
?4k?2?41?k
2
k
2
?4k?4
2
?
2
?
1?k
?
2
????
,
2k
2
?4k?2k
2
?4k?4
x
1
?x
2
??
,
x
1
x
2
?
,
1
?k
2
1?k
2
·?0
,即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
, 要使
OA?OB
,必须使
OAOB
k
2
?4k?4
?k
2
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?
?0
也就是:
2
1?k
整理得:
1?k
?
2
?2
k
2
?4k?4
2
k?4k?2
2
?k??
k?0
22
1?k1?k
解得:
k?1
,所以直线
l
的方程为
y?x?1
存在直
线
x??1
和
y?x?1
,它们与圆
C
交
A,B<
br>两点,且四边形
OASB
对角线相等.
15.
(2)由
(1)可知M的轨迹是以点
N(1,3)
为圆心,
2
为半径的圆.
由于
|OP|?|OM|
,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而
ON
?PM
.
因为ON的斜率为3,所以
l
的斜率为
?
,故
l
的方程为
y??
1
3
18
x?
.
33
又
|OP|?|OM|?22
,O到l
的距离为
22
410410
16
,
|PM|?
,所以
?POM
的面积为.
55
5
16.(1)设圆C的方程为
x?y?Dx?Ey?F?0
(1分)
?
?
1?9?D?3E?F?0
?
D?
?4
?
?
由条件,得
?
4?36?2D?6E?F?0
,解
得
?
E??2
?
F??20
?
DE
?<
br>?
(?)?2?(?)?4?0
?22
∴圆的方程为
x?y?4x?2
y?20?0
22
(4分)
(2)由
(k?1)x
?2y?5?3k?0
,得
k(x?3)?(x?2y?5)?0
,
?x?3?0
?
x?3
令
?
,得
?
,即直线l过
定点M(3,-1),…(6分)
x?2y?5?0y??1
??
由
3?(
?1)?4?3?2?(?1)?20?0
,知点M(3,-1)在圆内,
∴直线l与圆C恒相交. …(8分)
(3)圆心C(2,1),半径为5,由题意知,当点M满足CM垂直于直线l时,弦长最短.
22
2
直线l被圆C截得的最短弦长为2
5?
?
?
2?3
?
?
?
1?1
?
?
=
45
.…(
12分)
22
??
17.
当直线
l
不垂直于
x
轴时,设直线方程为
y?2?k(x?3)
,则
综上,直线
l
的方程为
x?3
或
4x?3y?6?0
.
(2) 直线
BH
的方程为
3x?y?3?0
,设
P(m,
n)(0?m?1),N(x,y)
,
因为点
M
是点
P
,
N
的中点,所以
M(
3k?1
1?k
2
?3
,解得
k?
4
,
3
m?xn?y
,)
,又
M,N
都在半径为
r的
C
上,
22
?
(x?3)
2
?(y?2)
2
?r
2
,
222
?
?
?
(x?3)?(y?2)?r,
所以
?
m?x
即
?
n?y
222
222
(?3)?(?2)?r.
?
?
?
(x?m?6)?(y?n?4)?4r.
?22
因为该关
于
x,y
的方程组有解,即以
(3,2)
为圆心
r
为半径的
圆与以
(6?m,4?n)
为圆心
2r
为半径的圆有公
2222共点,所以
(2r?r)?(3?6?m)?(2?4?n)?(r?2r)
,
又
3m?n-
1]
]成立.
12m?10≤9r
2
对
?m?[0,
3?0
,所以
r
2
≤10m
2<
br>-
12m?10
在[0,1]上的值域为[而
f
?
m
?
?10m
2
-
32
32
,
10
],故<
br>r
2
≤
且
10≤9r
2
.
5
5
32
.故
C
的半径
r
5
222
又线段BH
与圆
C
无公共点,所以
(m?3)?(3?3m?2)?r
对
?m?[0,1]
成立,即
r
2
?
的取值范围为
[
18
10410
,)
.
35
∴直线l:
3x?y?23?0
故直线l的方程为x=2或
3x?y?23?0
(2)设
P?
x
1
,y
1
?
,由
AP?PQ
知
点P是AQ的中点,所以点Q的坐标为
?
2x
1
?1,2y
1
?
.
由于两点P,Q均在圆C上,故
x
1
?y
1?2x
1
?23y
1
?3?0
,
①
22
?y
1
?3y
1
?
又
?
2x
1
?1
?
?
?
2y
1
?
?2
?
2x
1
?1
?
?23
?
2y
1
?
?3?0
,即
x
1
22
22
1
?0
, ②
2
②—①得
2x
1
?3y
1<
br>?
5
?0
,
③
2
11
x
1
?
3113
214
或
由②③解得
{
或
{
,
?k?
315
3113
y
1
?y
1
?
214x
1
?
(3)设
M
?1,a
?
,N
?
1,b
?
,R
?
x<
br>1
,y
1
?
,则
?
x
1
?1?
?y
1
?3
2
??
2
?1
④
22
又
3RM?RN
得
2
?
x
1<
br>?1
?
?
?
y
1
?b
?
?3
?
y
1
?a
?
, ⑤
222
由④、⑤得<
br>6a?2b?43y
1
?b?3a?4?0
,⑥
由于关于
y
1
的方程⑥有无数组解,所以
{
??
?
22
?
6a?2b?43?0
b?3a?4?0
22
,
43
23
a?
a?
解得
{
3
或{
3
b?0
b?23
?
43
??
23
?
M1,,N1,23或M1,
?
,N
?
1,0
?
所以满足条件的定点有两组
???
????
3
?
3
???<
br>??
19.
【答案】(1)外离;(2)
3x?y?4?0
或
3x?y?4?0
; 22
(3)存在圆
P
:
5x?5y?16x?8y?12?0
或
x?y?4
,使得圆
P
经过点
M(2,0)
。
22
【解析】(1)因为圆
O
的圆心
O
(0,0)
,半径<
br>r
1
?2
,圆
C
的圆心
C
(0,4)
,半径
r
2
?1
,
所以圆
O
和圆
C<
br>的圆心距
|OC|?|4?0|?r
1
?r
2
?3
,
所以圆
O
与圆
C
外离.
(2)设切线
l
的方程为:
y?kx?4
,即
kx?y?4?0
,
所以
O
到
l
的距离
d?
|0?0?4|
k?1
2
?2
,解得
k??3
.
所以切线
l
的方程为
3
x?y?4?0
或
3x?y?4?0
.
消去
y
整理,得
(1?k)x?8kx?12?0
,
22
由△
?64k?48(1?k)?0
,得
k?
22
3
或
k??3
.
8k
?
x?x??,
12
2
?
?
1?k
设
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则有
?
①
?
xx?
12
,
?<
br>12
1?k
2
?
16?4k
2
由①得
y1
y
2
?(kx
1
?4)(kx
2
?4)?k
x
1
x
2
?4k(x
1
?x
2
)?16?
, ②
2
1?k
2
y
1
?y
2?kx
1
?4?kx
2
?4?k(x
1
?x
2
)?8?
8
2
, ③
1?k
若存在以
AB
为直径的圆
P
经过点
M(2,0)
,则
MA?MB
,所以
MA?MB?0
,
因此
(x
1
?2)(x
2
?2)?y
1
y
2
?0
,即
x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?y
1
y
2
?0
,
1216k16?4k
2
??4??0
,所以
16k?32?0
,
k??2
,满足题意. 则
222
1?k1?k1?k
22
此时以
AB
为直径的圆的方程为
x?y?
(x
1
?x
2
)x?(y
1
?y
2
)y?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
, <
br>即
x?y?
22
16812
x?y??0
,亦即
5x
2
?5y
2
?16x?8y?12?0
.
555
22
综上,在以AB为直径的所有圆中,存在圆
P
:
5x?5y?16x?
8y?12?0
或
x
2
?y
2
?4
,使得圆P
经过点
M(2,0)
.
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