高中数学-直线与圆的位置关系练习题

高中数学-直线与圆的位置关系练习题
课后训练
1．若圆
x
＋
y
－2
x
＋4
y
＋
m
＝0与
x
轴相切，则
m
的值为( )．
A．1 B．7 C．3或7 D．－3或－7
22
2．直线
m
(
x＋1)＋
n
(
y
＋1)＝0(
m
≠
n
)与圆
x
＋
y
＝2的位置关系是( )．
A．相切 B．相离
C．相交 D．不确定
22
3．直线(1＋3
m)
x
＋(3－2
m
)
y
＋8
m
－12 ＝0(
m
∈R)与圆
x
＋
y
－2
x
－6< br>y
＋1＝0的交点个数
为( )．
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
22
4．若曲线
y?1?4?x
2与直线
y
＝
k
(
x
－2)＋4有两个交点，则实数k
的取值范围是
( )．
A．
?
?
5
??
53
?
，??
?
B．
?
，
?

?
12
??
124
?
?
5
?
?
12
?
?
13
??
34
?
C．
?
0，
?
D．
?
，
?

5．已知实数
r
是常数，如果
M
(
x
0
，
y
0
)是圆
x
＋< br>y
＝
r
内异于圆心的一点，那么直线
x
0
x
2222
＋
y
0
y
＝
r
与圆
x
＋
y
＝
r
的位置关系是( )．
A．相交但不经过圆心
B．相交且经过圆心
C．相切
D．相离
6．过点
M
( 3,2)作
222
O
：
x
2
＋
y
2
＋4
x
－2
y
＋4＝0的切线方程是________________．
22
7．过点(1，
2
)的直线
l
将圆(
x
－2)＋
y
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小
时，直线
l
的斜率
k
＝__________.
22
8．由动点
P
向 圆
x
＋
y
＝1引两条切线
PA
，
PB
，切 点分别为
A
，
B
，∠
APB
＝60°，则动
点P
的轨迹方程为__________．
222
9．已知圆
x
＋
y
－6
mx
－2(
m
－1)
y
＋10< br>m
－2
m
－24＝0(
m
∈R)．
(1)求证：不论
m
为何值，圆心总在同一条直线
l
上．
(2)与
l
平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？
10．已知直线< br>l
被两平行直线
l
1
：2
x
－5
y
＝－9与
l
2
：2
x
－5
y
－7＝0所截线段AB
的中
22
点恰在直线
x
－4
y
－1＝0上 ，已知圆
C
：(
x
＋4)＋(
y
－1)＝25.
(1)求两平行直线
l
1
与
l
2
的距离；
(2)证明直线
l
与圆
C
恒有两个交点；
(3)求直线
l
被圆
C
截得的弦长最小时的方程．
1

参考答案
?
x
2
?y
2
?2x?4y?m?0，
2
1. 答案：A 根据题意，得
?
消去
y
，得
x
－2
x
＋
m
＝0，因
?
y?0，
为已知圆与
x
轴相切，所以Δ＝4－4
m
＝0，所以
m
＝1.故选A.
2. 答案：C 直线方程可化为
mx
＋
ny
＋
m
＋
n
＝0.由于圆心(0,0)到该直线的距离为
|m ?n|
?m?n?
2
?m?n?
2
?2??
2
?0
(
m
≠
n
)，∴圆心到直线的距离小于半径，即，又
222
22
m?nm?n
m?n
直线与圆相交．
3. 答案：B
4. 答案：B 如图所示，因为直线
y
＝
k
(
x
－2)＋4过定点(2,4)，且点
C
的坐标为(－2,1)，
35
，而曲线
y?1?4?x
2
与直线
y
＝
k
(
x－2)＋4相切时，
k
的值为或
412
53
不存在，所以
k
的取值范围为
?k?
.故选B.
124
所以
k
的最大值为

5. 答案：D
6. 答案：
y
＝2或5
x
－12
y
＋9＝0 由题意可知，所求 切线不可能垂直于
x
轴，故切线
斜率必定存在．设切线方程为
y
－2 ＝
k
(
x
－3)，即
kx
－
y
＋2－3< br>k
＝0，由圆心到切线的距离
等于半径，得
|?2k?1?2?3k|
k
2
???1?
2
?1
，解得
k?
5
或< br>k
＝0，代入切线方程即可求得．
12
7. 答案：
2
由 数形结合思想可知满足题设条件的直线与过圆心(2,0)和点(1，
2
)
2
的直线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，
2
)的直线的斜率为2
2
??2
，故所求直线的斜率为.
1?2
2
8. 答案：
x
＋
y
＝4 因为∠
APB
＝60°，故∠
APO
＝30°，设
P
(
x
，
y
)，因为
22
sin?APO?
|AO|
1
，即
?
|PO|
2
1
x
2
?y
2
，所以
x
＋
y< br>＝4.
22
22
9. 答案：(1)证明：将圆的方程配方得(
x< br>－3
m
)＋[
y
－(
m
－1)]＝25.
2

设圆心为(
x
，
y
)，则
?
?
x?3m，

?
y?m?1，
消去
m
得
l
：
x
－3
y
－3＝0.
∴圆心恒在直线
l
：
x
－3
y
－3＝0上． (2)解：设与
l
平行的直线是
l
′：
x
－3
y
＋
b
＝0，圆心(3
m
，
m
－1)到直线
l
′的距离为
d?
|3m?3?m?1??b||3?b|
?
.
1010
∵半径
r
＝5，∴当
d
＜
r
，
即
?510?3?b?510?3
时，直线与圆相交；当
d
＝
r
，即
b??510?3
时，直线
与圆相切；当
d
＞r
时，即
b??510?3
或
b?510?3
时，直线与圆相离 ．
10. 答案：(1)解：两平行直线
l
1
与
l
2的距离
d?
|9???7?|
2
2
???5?
2
?
1629
.
29
(2)证明：设线段
AB
的中点P
的坐标为(
a
，
b
)，由
P
到
l< br>1
，
l
2
的距离相等，得
|2a?5b?9|
2? 5
22
?
|2a?5b?7|
2?5
22
，
经整 理，得2
a
－5
b
＋1＝0，又点
P
在直线
x－4
y
－1＝0上，
所以
a
－4
b
－1＝0.
解方程组
?
?
2a?5b?1?0,

?
a?4b?1?0,
?
a??3,
得
?

b??1,
?
即点
P
的坐标为(－3，－1)，
所以直线
l
恒过点
P
(－3，－1)．
2222
将点
P
(－3，－1)代入圆
C
：(
x
＋4)＋(
y
－1)＝25，可得(－3＋4)＋(－1－1)＜25，
所以点
P
(－ 3，－1)在圆内，从而过点
P
的直线
l
与圆
C
恒有两个交 点．
(3)解：当
PC
与直线
l
垂直时，弦长最小，
k< br>PC
＝－2，所以直线
l
的斜率为
线
l
的方程为x
－2
y
＋1＝0.
1
，所以直
2
3