高中数学多题一解校本教材-高中数学不等式的例题及答案
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
3
1.(2017·合肥模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为2
，
则C＝( )
A.30° B.45° C.60°
D.75°
13
解析 法一
∵S
△ABC
＝
2
·AB·AC·sin A＝
2
，
13
即
2
×3×1×sin A＝
2
，∴sin A＝1，
由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.
sin Bsin
C1sin C
法二
由正弦定理，得
AC
＝
AB
，即
2
＝，
3
3
sin
C＝
2
，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝120°时，A＝30°，
33
S
△ABC
＝
4<
br>≠
2
(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，
3
S
△ABC
＝
2
，符合条件，故C＝60°.故选C.
答案 C
2π
23
2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b
，c，若A＝
3
，a＝2，b＝
3
，
则B等于( )
π
A.
3
π5π
C.
6
或
6
5π
B.
6
π
D.
6
2π
23
解析 ∵A＝
3
，a＝2，b＝
3
，
ab
∴由正弦定理
sin
A
＝
sin B
可得，
23
3
b31
sin
B＝
a
sin A＝
2
×
2
＝
2
.
2π
π
∵A＝
3
，∴B＝
6
.
答案 D
a＋c
3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos
2
＝
2c
(a，b，c分别为角A，B，C的对
2
B
边)，则△ABC的形状为(
)
A.等边三角形 B.直角三角形
D.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形
a＋c
解析 因为cos
2
＝
2c
，
2
B
a＋c
a
所以2cos
2
－1＝
c
－1，所以c
os B＝
c
，
2
B
a
2
＋c
2
－b
2
a
222
所以＝，所以c＝a＋b
.
2acc
所以△ABC为直角三角形.
答案 B
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜
cos 2B”的( )
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析
因为在△ABC中，a＞b?sin A＞sin B?sin
2
A＞sin
2
B?2sin
2
A＞2sin
2
B?1
－2sin
2A＜1－2sin
2
B?cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos
2A＜cos 2B”的充
分必要条件.
答案 C
5.(2016·山东卷)在△
ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，
a
2
＝2b
2
(1－sin A)，则A＝( )
3π
A.
4
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
6
b
2
＋c
2
－a
2
2b
2
－a
2<
br>22
解析 在△ABC中，由b＝c，得cos
A＝
＝
2
，又a＝2b
(1－
2bc2b
sin
A)，所以cos A＝sin A，
π
即tan
A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝
4
，故选C.
答案 C
二、填空题
6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，
1
cos C＝－
4
，3sin A＝2sin
B，则c＝________.
解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又
a＝2，所以b＝3，故c
2
?
1
?
＝a
2
＋b<
br>2
－2abcos
C＝4＋9－2×2×3×
?
－
4
?
＝16，所以c＝4.
??
答案 4
7.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的
边分别为a，b，c，若
角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S
△
A
BC
＝________.
1
解析
因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得
sin
A
＝
31
，解得sin A＝
2
，因为0°＜A＜180°，所以A
＝30°或150°(舍去)，此时C
sin 60°
13
＝90°，所以S
△ABC
＝
2
ab＝
2
.
3
答案
2
2π
b
8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝
3
，a＝3c，则
c
＝________.
解析
在△ABC中，a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·cos A，
2π
将A＝
3
，a＝3c代入，
?
1
?
?
－
2
?
， 可得(3c)
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·
??
整理得2c2
＝b
2
＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c
2
，
?
b
?
2
b
得2＝
?
c
?
＋
c
，
??
b
可解得
c
＝1.
答案 1
三、解答题
9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC<
br>1
的面积为315，b－c＝2，cos A＝－
4
.
(1)求a和sin C的值；
π
??
(2)求cos
?
2A＋
?
的值.
6
??
115
解 (1)在△ABC中，由cos
A＝－
4
，可得sin A＝
4
.
1
由S
△
ABC
＝
2
bcsin A＝315，
得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos
A，可得a＝8.
ac15
由＝，得sin C＝.
sin Asin C8ππ
π
??
(2)cos
?
2A＋
?
＝cos
2A·cos
6
－sin 2A·sin
6
6
??15－73
31
2
＝
2
(2cosA－1)－
2
×2sin A·cos A＝.
16
10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是
BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
sin
B
(1)求
sin C
；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解 (1)由正弦定理得
ADBDADDC
＝，＝
sin
B
sin∠BAD
sin C
sin∠CAD
.
sin
BDC1
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以
sin
C
＝
BD
＝
2
.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以
31
sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝
2
cos
B＋
2
sin B.
3
由(1)知2sin B＝sin C，所以tan
B＝
3
，
即∠B＝30°.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin
2<
br>A≤sin
2
B＋sin
2
C－sin Bsin
C，则A的取值
范围是( )
π
??
A.
?
0，
?
6
?
?
?
π
?
B.
?
，π
?
?
6
?
π
??
C.
?
0，
?
3
??
?
π
?
D.
?
，π
?
?
3
?
解析
由已知及正弦定理有a
2
≤b
2
＋c
2
－bc，
由余弦定理可知a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos
A，
1
于是b
2
＋c
2
－2bccos
A≤b
2
＋c
2
－bc，∴cos A≥
2
，
在△ABC中，A∈(0，π).
π
由余弦函数的性质，得0
.
答案 C
12.
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S
△
ABC
＝23
，
a＋b＝6，
acos B＋bcos A
＝2cos C，则c＝( )
c
A.27 B.4 C.23 D.33
acos B＋bcos A
解析 ∵
＝2cos C，
c
由正弦定理，
得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin
Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，
π
1
由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos
C＝
2
，∴C＝
3
，
13
∵S
△ABC
＝23＝
2
absin
C＝
4
ab，∴ab＝8，
?
?
a＝2，
?
?<
br>a＝4，
2
又a＋b＝6，解得
?
或
?
c
＝
a
2
＋b
2
－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c
??<
br>?
b＝4
?
b＝2，
＝23，故选C.
答案 C
13.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，
则A
B的取值范围是________.
解析
如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作
CF∥AD交AB于点F，则BF
∴BF＝2
2
＋2
2
－2×2×2cos 30°＝6－2.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，
BE2
＝，
sin 75°sin
30°
6＋2
2
∴BE＝
1
×
4
＝6＋2.
2
∴6－2
答案
(6－2，6＋2)
?
π
?
14.设f(x)＝sin xcos
x－cos
2
?
x＋
?
.
4
??
(1)求f(x)的单调区间；
?
A
?
(
2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f
?
2
?
＝0，a＝1，求
??
△ABC面积的最大值.
π
??
1＋cos
?
2x＋
?
2
?
sin 2x
?
解
(1)由题意知f(x)＝
2
－
2
sin 2x
1－sin
2x
1
＝
2
－＝sin 2x－
22
.
ππ
由－
2
＋2kπ≤2x≤
2
＋2kπ，k∈Z,
ππ
可得－
4
＋kπ≤x≤
4
＋kπ，k∈Z；
π3π
由
2
＋2kπ≤2x≤
2
＋2kπ，k∈Z,
可得
π3π
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
44
π
?π
?
所以f(x)的单调递增区间是
?
－＋kπ，＋kπ
?(k∈Z)；
4
?
4
?
3π
?
π
?
?
(k∈Z). 单调递减区间是
?
＋kπ，＋kπ
4
?<
br>4
?
11
?
A
?
(2)由f
?
2<
br>?
＝sin A－
2
＝0，得sin A＝
2
，
??
3
由题意知A为锐角，所以cos A＝
2
.
由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos
A，
可得1＋3bc＝b
2
＋c
2
≥2bc，
即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立.
2＋32＋3
1
因此
2
bcsin
A≤
4
.所以△ABC面积的最大值为
4
.