高中数学必修四教案全集-解透教材高中数学必修三
22.(本小题满分12分)已知
x
满足不等式
2(log
1
x)
2
?7log
1
x?3?0
,
22
求
f(x)?log
2
xx
?log
2
的最大值与最小值及
相应
x
值.
42
1
1
22.解:由
2(log<
br>1
x)
2
?7log
1
x?3?0
,∴
?3
?log
1
x??
, ∴
?log
2
x?3
,
2
2
2
22
而
f(x)?log
2
xx
?log
2
?(log
2
x?2)(log
2
x?1)
42
31
?
(log
2
x)
2
?3log
2
x?2
?
(log
2
x?)
2
?
,
24
3
3
1
当<
br>log
2
x?
时
f(x)
min
??
此时
x
=
2
2
=
22
,
2
4<
br>当
log
2
x?3
时
f(x)
max
?91
??2
,此时
x?8
.
44
?2
x?a
21.(14分)已知定义域为
R
的函数
f(x)?
2x
?1
是奇函数
(1)求
a
值;
(2)判断并证明该函数在定义域
R
上的单调性;
(3)若对任意的
t?R
,不等式
f(t?2t)?f(2t?k)?0
恒成立,求实数
k<
br>的取值范围;
21..解:(1)由题设,需
f(0)?
?1?a
2
22
1?2
?0,?a?1
,
?f(x)?
1
<
br>?2
x
x
经验证,
f(x)
为奇函数,
?a?1---------(2分)
(2)减函数--------------(3分)
证明:任取
x
,
x
?R,
x
p
x
,?x?
x?x
f
0
,
??
由(1)
?y?f(
x
)?f(
x
)?
Q
x
p
x
,
?0p2
x
p2
x
,?2
x
?2
x
p0,
(1?2
x
)(1?2
x
)f
121221
21
1
?2
x
2
1?2
x
2
1
1?2
x
1
1?2
x
1
2
2(2
x
1
?2
x
2
)
(1?2
x
1
)(1?2
x
2)
1122
12
0
??yp0
?
该函数在定义域
R
上是减函数--------------(7分) <
br>22
22
(3)由
f(t?2t)?f(2t?k)?0
得
f
(t?2t)??f(2t?k)
,
Qf(x)
是奇函数
22
?f(t?2t)?f(k?2t)
,由(2),
f(x)
是减函数
?
原问题转化为
t
2
?2tfk?2t
2
,
2
即
3t?2t?kf0
对任意
t?R
恒成立------(10分)
1
???4?12kp0,
得
k??
即为所求--- ---(14分)
3
20、(本小题满分10分)
ax?b
12
f()?
已
知定义在区间
(?1,1)
上的函数
f(x)?
为奇函数,且.
2
25
1?x
(1)
求实数
a
,
b
的值;
(2)
用定义证明:函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数;
(3)
解关于
t
的不等式
f(t?1)?f(t)?0
.
a
?
b
ax?b
12
2
20、
解:
(1)由
f(x)?
为奇函数,且
f()??
1?x
2
2
1?(
1
)
2
5
2
a
??b
x
112
2<
br>则
f(?)?
??f()??
,解得:
a?1,b?0。
?
f(x)?
2
1
1?x
2
1?(?)2
25
2
(2)证明:在区间
(?1,1)
上任取
x<
br>1
,x
2
,令
?1?x
1
?x
2
?
1
,
x
1
x
2
x
1
(1?x
2
2
)?x
2
(1?x
1
2
)
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)???
22
2222(1?x
1
)(1?x
2
)
1?x
1
1?x<
br>2
(1?x
1
)(1?x
2
)
Q
?1?x
1
?x
2
?1
?
x
1
?x
2
?0
,
1?x
1
x
2
?0
,
(1?x
1
2
)?0
,
(1?x
2
2
)?0
?
f(x
1
)?f(x
2
)?0
即
f(x
1
)?f(x
2
)
故函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数.
(3)
Q
f(t?1)?f(t)?0
?
f(t)??f(t?1)?f(1?t)
?
t?1?t
1
?
Q
函数
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
?
?
?1?t?1
?
0?t?
2
??1?1?t?1
?
故关于
t
的不等式的解集为
(0,)
.
21.(14分)定义在R
?
上的函数f(x)对任意实数a,b
?R
?
,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立,且
当x>1时,f(x)<0,
(1)求f(1) (2)求证:f(x)为减函数。 (3)当f(4)=
-2时,解不等式
1
2
f(x?3)?f(5)??1
21,(1) 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2)
法一:设k为一个大于1的常数,x∈R+,则
f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1,所以f(k)<0,且kx>x
所以kx>x,f(kx)
法二:设
x
1
,x
2?
?
0,??
?
且x
1
?x
2
令x
2
?kx
1
,则k?1
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(kx
2
)?f(x1
)?f(k)?f(x
2
)??f(k)
有题知,f(k)
<0
?f(x
1
)?f(x
2
)?0即f(x
1
)
?f(x
2
)
所以f(x)在(0,+
?
)上为减函数
法三:
设
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
且x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
1
?
x
2
xxx
)??f(
2
)
?
2
?1?f(
2
)?0
x
1
x
1
x
1
x
1
?f(x
1
)?f(x2
)?0即f(x
1
)?f(x
2
)
所以f(x)在(0,+
?
)上为减函数
2
22、
(本小题满分1
2分)
已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x-2bx+
b
(b≥1),
4
(I)求f(x)的最小值g(b);
(II)求g(b)的最大值M。
22
b
22. 解:f(x)=(x-b)-b+的对称轴为直线x=b(
b≥1),
4
31
2
b
(I)
①当1≤b≤4时,g(b)=f(b)=-b+;
②当b>4时,g(b)=f(4)=16-
b
,
4
4
?
2
b
?b? (1≤b≤4)
?
?
4
综上所述,f(x)的最小值g(b)=
?
。
31
?
16?b
(b>4)
?
?4
1
2
1b3
=-(b-)+,
∴当b=1时,M=g(1)=-;
8
4644
31
313
②当b
>4时,g(b)=16-
b
是减函数,∴g(b)<16-×4=-15<-,
44
4
3
综上所述,g(b)的最大值M= -。
4
(II) ①当1≤b≤4时,g(b)=-b+
2
22、(12分)设函
数
f(x)?log
a
(x?3a)(a?0,且a?1)
,当点
P
(x,y)
是函数
y?f(x)
图象上的
点时,点
Q(x?2a,?
y)
是函数
y?g(x)
图象上的点.
(1)写出函数
y?g(x)
的解析式;
(2)若当
x?[a?2
,a?3]
时,恒有
|f(x)?g(x)|?1
,试确定
a
的取值
范围;
(3)把
y?g(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?h(x)
的图象,函数
F(x)?2a
1?h(x)
?a
2?
2h(x)
?a
?h(x)
,(
a?0,且a?1
)在
[<
br>1
,4]
的最大值为
5
,求
a
的值.
4<
br>4
22、解:(1)设点
Q
的坐标为
(x',y')
,则x'?x?2a,y'??y
,即
x?x'?2a,y??y'
。
∵点
P(x,y)
在函数
y?log
a
(x?3a)
图象上 <
br>∴
?y'?log
a
(x'?2a?3a)
,即
y'?log
a
1
∴
g(x)?log
1
a
x?a
x'?a
1
?0
. (2)由题意
x?[
a?2,a?3]
,则
x?3a?(a?2)?3a??2a?2?0
,
1<
br>?
x?a(a?2)?a
又
a?0
,且
a?1
,∴
0?a?1
|f(x)?g(x)|?|log
a
(
x?3a)?log
a
1
|?|log(x
2
?4ax?3a
2
)|
a
x?a
1
∵
f(x)?g(x)?1
∴
?1剟log
a
(x
2?4ax?3a
2
)
∵
0?a?1
∴
a?2?2a,则
r(x)?x
2
?4ax?3a
2
在
[a?2,a
?3]
上为增函数,
∴函数
u(x)?log
a
(x
2<
br>?4ax?3a
2
)
在
[a?2,a?3]
上为减函数, <
br>从而
[u(x)]
max
?u(a?2)?log
a
(4?4
a)
。
[u(x)]
min
?u(a?3)?log
a
(9
?6a)
又0?a?1,则
(9?6a)
…
?1
?
log
log(4?4a)
?
1
a
a
?0?a?
9?57
12
(3)由(1)知
g(x)?log
a
象,
1
,而把
y?g(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?h(x)
的图
x?a
则
h(x)?log
a
1
??log
a
x
x
,∴
F(x)?2a
1?h(x)?a
2?2h(x)
?a
?h(x)
?2a
1?log
a
x
?a
2?2log
a
x
?a
log
a
x
?2ax?a
2
x
2
?x
1
,又在
[
1
,4]
的最大即
F(x)??a
2
x<
br>2
?(2a?1)x
,又
a?0,且a?1
,
F(x)
的对称轴为
x?
2a?
2
4
2a
值为
5
,
4
1
?
1
?
a
2
?4a?2?0?a
?2?6(舍去)或a?2?6
;①令
2a?
此时
F(x)
在
[
1
,4]
上递减,
2
4
4
2a
∴F(x)
的最大值为
F(
1
)?
5
??
1a
2
?
1
(2a?1)?
5
?a
2
?
8a?16?0?a?4?(2?6,??)
,此时无解;
441644
1
?4?8a
2
?2a?1?0??
1
?a?
1
,又
a?0,且a?1
,∴
0?a?
1
;此时
F(x)
在②令<
br>2a?
2
42
2
2a
[
1
,4]
上
递增,∴
F(x)
的最大值为
F(4)?
5
??16a
2<
br>?8a?4?
5
?a?
1?42
,又
0?a?
1,
444
4
2
∴无解;
③令
1
剟
2
a?1
4
2a
2
2?6且a?1
?
?
2?6剟a2
?6
?
2
4?
?
a
2
?4a?2
?
0
?
?
a剠?
1
或a
1
?
8a?2a?
1…0
?
?42
且
a?0,且a?1
∴
1
剟a2
,
2
此
2
时
F(x)
2
的最大值为
1
)?
5
??a
2
(2a?1)
?
(2a
?1)
?
5
?
(2a?1)
?
5
?a
2<
br>?4a?1?0
,解得:
F(
2a?
2
444
2a4
a
4
2a
2
4a
2
a?2?5
,又
1剟a
2
2?6且a?1
,∴
a?2?5
;
综上,
a
的值为
2?5
.
10、已知定义在
R
上
的偶函数
f(x)
在
[0,??)
上单调递增,且
f(2)?0,则不等式
f(log
2
x)?0
的解集为( )
A
.
(
1
,4)
4
B
.
(??,
1
)U(4,??)
C
.
(0,
1
)U(4,??)
4
1<
br>4
D
.
(??,
1
)U(0,4)
411、设
a?(0,
1
)
,则
a
a
,log<
br>1
a,a
2
之间的大小关系是
2
2
( )
1
2
A
.
a
a
?a?loga
B
.
a?loga?a
a
1
2
1
2
1
2
1
2
C
.
loga?a
a
?a
1
2
D
.
loga?a?a
a
1
2
1
2
12、函数
f(x)?ax
2
?
bx?c(a?0)
,对任意的非常实数
a,b,c,m,n,p
,关于
x<
br>的方程
m[f(x)]
2
?nf(x)?p?0
的解集不可能是 (
)
A
.
{1,2}
B
.
{1,4}
C
.
{1,2,3,4}
D
.
{1,4,16,64}
xx
1?2?4a
(a?R)
.
f(x)?lg
21、(
12分)设函数
3
(1)当
a??2
时,求
f(x)
的定义
域;
(2)如果
x?(??,?1)
时,
f(x)
有意义,试确定
a
的取值范围;
(3)如果
0?a?1
,求证:当
x?0
时,有
2f(x)?f(2x)
.
xx
1?2?2?4
?
0?1?2
x
?2?4
x
?0
,21、解:(1)当
a??
2
时,函数
f(x)
有意义,则令
t?2
x
3
不等
式化为:
2t
2
?t?1?0??
1
?t?1
,转化为?
1
?2
x
?1?x?0
,∴此时函数
f(x)
的定
22
义域为
(??,0)
(2)当
x??1
时,
f(x)
有
,
意
令
义,则
在
1?2
x
?4
x
a
?0?1?2
x
?4
x
a?0?a??
1?2
x
??(
1
?
1
)
3
4
x
4
x
2
x
y??(
1
x
?
1
x
)
42
x?(??,?1)
上单调递增,∴
y??6
,则有
a…?6
;
(3)当
0?a?1,x?0
时,
xx2x2x
(1?2
x
?4
x
a)
2
1?2?4a1?2?4a
2f(x)?f(2x)?2log?lg?lg
, <
br>33
3(1?2
2x
?4
2x
a)
设
2x
?t
,∵
x?0
,∴
t?1
且
0?a?1<
br>,则
(1?2
x
?4
x
ga)
2
?3(1
?2
2x
?4
2x
ga)?t
4
(a
2
?
3a)?2at
3
?t
2
(2a?2)?2(t?1)
?
t
4
(a
2
?3a
2
)?2at
3
?t<
br>2
(2a?2)?2(t?1)??(at?1)
2
t
2
?(
at
2
?1)
2
?(t?1)
2
?0
∴
2f(x)?f(2x)
22.(本题满分14分)已知幂函
数
f(x)?x
(2?k)(1?k)
(k?z)
满足
f(2)
(1)求整数k的值,并写出相应的函数
f(x)
的解析式; <
br>(2)(2)对于(1)中的函数
f(x)
,试判断是否存在正数m,使函数
g
(x)?1?mf(x)?(2m?1)x
,在区间
?
0,1
?
上的
最大值为5。若存在,求出m的值;若不
存在,请说明理由。
22.解: (
1)
Qf
?
2
?
?f
?
3
?
,<
br>?
?
2?k
??
1?k
?
?0??1?k?2,
Qk?Z,?k?0
或
k?1
;当
k?0
时,
f
?
x
?
?x
2
,当
k?1
时,
f
?
x
?
?x
2
;
?k?0
或
k?1
时,
f
?
x
?
?x
2
.
(2)
Qg
?
x
?
?1?mf
?
x
?<
br>?
?
2m?1
?
x??mx
2
?
?
2m?1
?
x?1
,
Qm?0
,
Qg
?
x
?
开口方向向下,对称轴
x?
2m?11
?1??1
2m2m
又
Qg
?
0
?
?1,g
?
x
?
在区间[0,1]上的最大值为5,
1
1
?
?1??0
m?
?
?
5
2
?
2m
?
?m??6
?
?
?
?
1<
br>?
2
5?26
?
g
?
?
1??5
m
?
??
??
?2
?
?
2m
?
2
2.(本题满分14分)已知函数
f(x)?a
x?1
(a?0
且
a
?1)
(Ⅰ)若函数
y?f(x)
的图象经过
P
?<
br>3,4
?
点,求
a
的值;
(Ⅱ)当
a
变化
时,
比较
f(lg
1
)与f(?2.1)
大小,并写出比较过程;
100
(Ⅲ)若
f(lga)?100
,求
a
的值.
3-12
22.(Ⅰ)函数
y?f(x)
的图象经过
P(
3,4)
∴
a?4
,即
a?4
.
又
a?0
,所以
a?2
.
(Ⅱ)当
a?1
时,
f(lg
因为,
f(lg
11
)?f(?2.1)
;
当
0?a?1
时,
f(lg)?f(?2.1)
100100<
br>1
)?f(?2)?a
?3
,
f(?2.1)?a
?3.1<
br>
100
x
当
a?1
时,
y?a
在
(??,??)
上为增函数, ∵
?3??3.1
,∴
a
x
?3
?a
?3.1
. 即
f(lg
1
)?f(?2.1)
.
100
1
)?f(?2.1)
.
100
当
0
?a?1
时,
y?a
在
(??,??)
上为减函数,
∵<
br>?3??3.1
,∴
a
?3
?a
?3.1
.
即
f(lg
(Ⅲ)由
f(lga)?100
知,
a?100
.
lga?1
?2
(或
lga?1?log
a
100). 所以,
lga
∴
(lga?1)?lga?2
.
∴
lga?lga?2?0
,
2
lga?1
∴
lga??1
或
lga?2
, 所以,
a?
1
或
a?100
.
10
20.(本题16分)已知函数
f(x)?
log
9
(9
x
?1)?kx
(
k?R
)是偶函数
.
(1)求
k
的值;
(2)若函数
y?f(x)
的图象
与直线
y?
1
x?b
没有交点,求
b
的取值范围;
2
(3)设
h(x)?log
9
a?3
x
?
4<
br>a
,若函数
f(x)
与
h(x)
的图象有且只有一个公共点,
求实数
3
?
?
a
的取值范围.
20.(1)因为
y?f(x)
为偶函数,
所以
?x?R,f(?x)?f(?x)
,
即
log
9
(9
?x
?1)?kx?log
9
(9
x
?1)?
kx
对于
?x?R
恒成立.
x
?xx
9?1
?l
og(9
x
?1)??x
恒成立,
2kx?log(9?1)?log(9
?1)?log
于是
9999
9
x
而
x
不恒为零,
所以
k??
1
.
-----------------4
2
(2)由题意知方程
log
9<
br>(9
x
?1)?
1
x?
1
x?b
即方程log
9
(9
x
?1)?x?b
无解.
22
令
g(x)?log
9
(9
x
?1)?x
,则函数
y?g(x)
的图象与直线
y?b
无交点.
x
1
?log
?
1?
1
?
因为
g(x)?log
9
9?
?
9
?
x
9
?<
br>9
x
?
?
1
任取
x
1
、
x
2
?
R,且
x
1
?x
2
,则
0?
9
x
1
?9
x
2
,从而
1
.
x
1
99
x
2
?
1
?
1
?
于是
log
9
?
?
1?
x
1
?
?
log
9
?
1?
x
2
?
,即
g(x
1
)?g(x
2
)
,
?
9
??
9?
所以
g(x)
在
?
??,??
?
上是单调减
函数.
1
?
因为
1?
1
x
?1
,所以<
br>g(x)?log
9
?
?
1?
x
?
?0.
9
?
9
?
所以
b
的取值范围是
?
??,0
?
.
----------------------- 6
(3)由题意知方程
3
x
?
1
x
?a?3
x
?
4
a
有且
只有一个实数根.
3
3
令
3
x
?t?0
,则关于
t
的方程
(a?1)t
2
?
4
at?1?0
(记为
(
*
)
)有且只有一个正根.
3
若
a
=1,则
t??
3
,不合, 舍去; 4
若
a?1
,则方程
(
*
)
的两根异号或有两
相等正跟.
由
??0?a?
3
或-3;但
a?3
?t??
1
,不合,舍去;而
a??3?t?
1
;
4422
方程
(
*
)
的两根异号
?
?a?1
?
?
?
?1
?
?0?a?1.
综上所述,实数
a
的取值范围是
{?3}U(1,??)
.
----------------------- 6
10. 若函数
f(x)??x?2
x
,则对任意实数
x
1
,x
2
,下列不等式总成立的是(
C )
2
x
1
?x
2
f(x
1
)?
f(x
2
)x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
B.
f(
1
)?)?
2222
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
2
f(
x
1
)?f(x
2
)
C.
f(
1
D.
f(
1
)?)?
2222
A.
f(
18. (本小题满分12分)二次函数
y?f(x)
的图象经过三点
A(?
3,7),B(5,7),C(2,?8)
.
(1)求函数
y?f(x)
的
解析式(2)求函数
y?f(x)
在区间
?
t,t?1
?
上
的最大值和最小值
18
(1)
解
A,B
两点纵坐标相同故可令f(x)?7?a(x?3)(x?5)
即
f(x)?a(x?3)(x?5)?7
将
C(2,?8)
代入上式可得
a?1
?
f(x)?
(x?3)(x?5)?7?x
2
?2x?8
…………4分
(2)
由
f(x)?x
2
?2x?8
可知对称轴
x?1
1) 当
t?1?1
即
t?0
时
y?f(x)
在区
间
?
t,t?1
?
上为减函数
?
f(x)
max
?f(t)?t
2
?2t?8
f(x)
min
?f(t?1)?(t?1)
2
?2(t?1)?8
?t
2
?9
………6
2) 当
t?1
时,
y?f
(x)
在区间
?
t,t?1
?
上为增函数
?
f(x
)
max
?f(t?1)?(t?1)
2
?2(t?1)?8?t
2
?9
f(x)
min
?f(t)?t
2
?2t?8
…………8分
3)当
1?t?t?1?1?0
即
0?t?
1
2
时
f(x)
max
?f(t)?t?2t?8
2
f(x)
min
?f(1)??9
…………10分
4)当
0?1?t?t?1?1
即
1
?t?1
时
2
22
f(x)
max
?f(t?1)?(t?1)?2(t?1)?8?t?9
f(x)
min
?f(1)??9
…………12分