2012湖北高中数学竞赛-人教版高中数学必修三pdf
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
高考数学100道压轴题汇编 附详解
?
1,1?x?2
,
f
?
x
?
?
?
?
x?1,2?x?3
1.设函数
其中
a?R
,记函数
g
?
x
?
的
g
?
x
?
?
f
?
x
?
?ax,x?
?
1,3
?
,最大值与最小值的差为
h
?
a
?
。(I)求函
数
h
?
a
?
的解析式; (II)画出函数
y?h
?
x
?
的图象并指出
h
?
x
?
的最小值。
2.已知函数
f(x)?x?ln
?
1?x
?
,
数列
?
a
?
满足
0?a
n
1
?1
,
a
n?1
?f
?
a
n
?
; 数列?
b
n
?
满
2
a
11
*
n<
br>足
b
1
?,b
n?1
?(n?1)b
n
,
n?N
.求证:(Ⅰ)
0?a
n?1
?a
n
?1;
(Ⅱ)
a
n?1
?;
(Ⅲ)
2
22
若a
1
?
2
则当
,
2
n≥2时,b
n
?a
n
?n!
.
3.已知定义在R上的函数
f
(
x
) 同时满足:(1)
a
为常数);(
2
)
f(0)?f(
?
)?1
;f(x?x)?f(x?x)?2f(x)cos2x?4asinx
(
x,x?
R,
2
1212122
12
4
?
时,(
3
)当
x?[0,]
4
f(x)
≤
2
求:(Ⅰ)函数<
br>f(x)
的解析式;(Ⅱ)
常数
a
的取值范围.
22
yx
4.设
A(x
1
,y
1
),B(
x
2
,y
2
)是椭圆
2
?
2
?1(a?b
?0)
上的两点,满足
(
x
1
,
y
1
)?
(
x
2
,
y
2
)?0
,
baba
xb
椭圆的离心率
e?
3
短轴长为
,
2
2,0为坐
标原点. (1)求椭圆的
方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为
半焦距),
求直线AB的斜率k的值;(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如
1
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
5.已知数列
{a}
中各项为:
n
12、1122、111222
11??????122??????2
……
个
、……、
个
nn
(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
(2)求
这个数列前n项之和S
n
.
22
xy<
br>6
、设
F
1
、
F
2
分别是椭圆
+=
1
的左、右焦点
.
54
(Ⅰ)若
P
是该椭圆
上的
一个动点,求
PF?PF
的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过
12
0
)
D
,点
A
(
5
,的直线
l
与椭圆交于不同的两点
C
、使得
|F
2
C|=|F2
D|
?
若存在,求直线
l
的方程;若不存在,请说明理由.
7
、已知动圆过定点
P
(
1
,
0
),且与定直线
L:x=-1
相切,点
C
在
l
上
. (1)
求动圆圆心的轨迹
M
的方程;
(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.
(
i
)问:△
ABC
能否为正三角形?若能,求点
C
的坐标;若不能,<
br>说明理由
(
ii
)当△
ABC
为钝角三角形时,求
这种点
C
的纵坐标的取值范围
.
8
、定义在
R
上的函数
y=f(x)
,
f(0)
≠
0
,当
x>0
时,
f(x)>1
,且对任
意的
a
、
b
∈
R
,有
f(a+b)=f(a)f(b)
,
(
1
)求证:
f(0)=1
;(
2
)求证:对任意的
x
∈
R
,恒有
f(x)>0
;(
3
)
证明:
f(x)
是
R
上的增函数;(
4
)若
f(x)
·<
br>f(2x-x
2
)>1
,求
x
的取值范
围。
2
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9
、已知二次函数
f(x)?x
2
?2bx?c(b,c?R)满足
f(1)?0
,且关于
x
的方程
,(
0
,
1
)内。
f(x)?x?b?0
的两实数根分别在区间(
-3
,
-2
)
求实数
b
的取值范围;
(
2
)若函数
F(x)?log
上具有单调性,求实数
C
的取值范围
10
、已知函数
f(x)?f(y)?f(
1
f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,
2
b
(<
br>1
)
(
-1-
c
f(x)
在区间
,
1-
c
)
且任意的
x
、
y?(?1,1)
都有x?y
).
1?xy
?
2x
n
1
*
,x
n?1
?(n?N),求f(x
n
).
2
2<
br>1?x
n
(
1
)若数列
{x}满足x
n1
(
2
)求
1?f(
1
)?f(
1
)??f(
511<
br>11
的值
.
)?f()
n?2
n
2
?3n?1
11.在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为 A (0,-1),B (0,
1)平面内两点G、M同时满足①
GA?GB?GC?0
,
②
|MA|
=
|MB|
=
|MC|
③
GM
∥
AB
(1)求顶点C的轨迹E的方程 (2)设P、
0) ,已知
PF
2
,
Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为(
和最小值.
12.已知
?
为锐角,且
tan
?
?
{a
n
}的首项
a
a
n?1
?a
n
;
1
∥
FQ
,
RF
∥
FN
且
PF
·
RF
= 0.求四边形PRQN面积S的最
大值
2?1
,函数
f(x)?x
2
tan2
?
?x
?sin(2
?
?
?
4
)
,数列
?
1,a
n?1
?f(a
n
)
. ⑴
求函数
f(x)
的表达式; ⑵ 求证:
2
3
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⑶
求证:
1?
13.(本小题满分14分)已知数列
?
a
?
满足
a
n
n
1
111
?????2(n?2,n?
N
*
)
1?a
1
1?a
2
1?a
n
?1,a
n?1
?2a
n
?1
?
n?N
?
?
n
4
b
1
?1
(Ⅰ)求数列?
a
?
的通项公式;(Ⅱ)若数列
?
b
?
满足
44
?
4?(a?1)
,证明:
?
a
?
是
等差数列;
b
2
?1
b
3
?1b
n
?1
n
b
n
n
(Ⅲ)证明:
1
a
2
?
1
?
a
3
?
12
?
?
n?N
?
?
a
n?1
3
2
a
14.已知函数
g
?
x
?
??x
3
?a
x
2
?cx
?
a?0
?
,
(I)当
a?1
时,若函数
g
?
x
?
在区间
32<
br>(II)当
a?
?
?1,1
?
上是增函数,求实数
c
的取值范围;
4
1
时,(1)求
2
证:对任意的
x
?
?
0,1
?
,
g
?
x
?
?1
的充要条件是
c?
3
;(3)若关于
x
的实
系数方程
g
?
x
?
?0
有两个实根
?,
?
,求证:
?
?1,
且
?
是
?1
?c?a
4
2
?1
的充要条件
?a.
?2
n(1?n)
。
15.已知数列{a
前n项的积为
T
,且满足
T
n
}前n项的和为S
n
,
n
1
n
①求
a
;②求证:数列{a
n
}是等比数列;③是否存在常数a,
使得
?
S
16
、已知函数
y?f(x)
是定义域为
R
的偶函数,其图像均在<
br>x
轴的上
方,对任意的
m、n?[0,??)
,都有
f(mn
)?[f(m)]
,且
f(2)?4
,又当
x?0
时,
n<
br>对
n?N
?
都成立? 若存在,求出
n?1
?a
?<
br>?
?
S
n?2
?a
??
S
n
?a<
br>?
2
a,若不
存在,说明理由。
4
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其导函数
f'
(Ⅰ)求
F(0)、f(?1)
的值;(Ⅱ)解关于
(x)?0
恒成立。
2
x
的不
kx?2
?
等式:
?
)
?
?2
,其中
k?(?1,1).
?
f(
2
?
2x?4
?
17
、
一个函数
f
?
x
?
,如果对任意一个三角形,只要它的三边长
a,b,c
都
在
f
?
x
?
的定义域内,就有f
?
a
?
,f
?
b
?
,f
?
c
?
也是某个三角形的三边长,则称
(
I
)判断
f
1
?
x
?
?x
f
?
x
?
为
“
保三角形函数
”
.,
f
?
x
?
?x
,
f
?
x
?
?x
中,哪些
2
23
是
“
保三角形函数
”
,哪些不是,并说明理由;(
I
I
)如果
g
?
x
?
是定义在
且值域为
?<
br>0,??
?
,证明
g
?
x
?
不是
“
保三角形函数
”
;(
III
)
R
上的周期函数,<
br>若函数
F
?
x
?
?sinx
,
x?
?
0,A
?
是
“
保三角形函数
”
,求
A<
br>的最大值.(可以利
用公式
sinx?siny?2sin
x?y
co
s
x?y
)
22
18、已知数列
{a}
的前
n
项和
S
满足:
S
nn
n
?
a
(a
n
?1)
(
a
a?1
为常数,且
a?0,a?1
).
(Ⅰ)求
{a}
的通项公式;
<
br>n
(Ⅱ)设
b
n
?
2S
n
?1
,若
数列
{b
n
}
为等比数列,求
a
n
?
11
?
1?a
n
1?a
n?1
a
的值;(Ⅲ)在满足<
br>n
条件(Ⅱ)的情形下,设
c
证:
T
n
n
,
数列
{c}
的前
n
项和为
T
n
.
求
?2n?
1
3
.
1
19<
br>、数列
?
a
?
中,
a
n
?2
,a
n?1
?a
n
?cn
(
c
是常数,
n?1,2,3,
),且
a,a,a
成
123
公比不为
1<
br>的等比数列。
(
I
)求
c
的值;(
II<
br>)求
?
a
?
的通项公式。(
III
)由数列
?
a
?
中的第
1
、
3
、
nn
9<
br>、
27
、
……
项构成一个新的数列
{b}
,求
lim
b
的值。
n
n?1
n??
b
n
20
、已知圆
M:(x?5)
2
?y
2
?36,定
点N(5,0),点P为圆M
上的动点,点
Q
在
NP
5
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上,点
G
在
MP
上,且满足
NP?2NQ,GQ?NP?0
.
(
I
)求点
G
的轨迹
C
的方程;
<
br>(
II
)过点(
2
,
0
)作直线
l
,与曲线
C
交于
A
、
B
两
点,
O
是坐标原点,设
OS?OA?OB,
是否存在这样的直线
l
,使四
边形
OASB
的对角线相等(即
|OS|=|AB|
)?若存在,求出直线<
br>l
的方程;
若不存在,试说明理由
.
21.飞船返回仓顺
利到达地球后,为了及时
将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到
达区域安排三个救援中心
(记为A,B,C),B
A B
C
在A的正东方向,相距6km,C在B的北偏东
30
0
,相距4km,P为航天
员着陆点,某一时刻A接到P的求救信号,由于B、C
两地比A距P
远,因此4s后,B、C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知
该信号的传播
速度为1kms.
(1)求A、C两个救援中心的距离;(2)求在A处发现P的方向
角;
(3)若信号从P点的正上方Q点处发出,则A、B收到信号的时
间差变大还是变小,并证明你
的结论.
22.已知函数
y?|x|?1
,
y?
是方程
x
1
x
2
?2x?2?t
,
y?
1
(x?
1?t
)
(x?0)
的最小值恰好
2x
3
其中
0?t?1
.(Ⅰ)求证:
a
2
?2b
?3
;(Ⅱ)
?ax
2
?bx?c?0
的三个根,
3
2
设
(x,M)
,
(x,N)
是函数
f(x)?x?ax
2
?bx?c
的两个极值点.①若
|x
1
?x
2<
br>|?
2
,
3
6
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
求函数
f(x)
的解析式;②求
|M?N|
的取值范围.
23.如图,已知直线
l
与抛物线
x
2
?4y<
br>相切于
坐
求
点
P
(2,1),且与
x
轴交于
点
A
,
O
为
标原点,定点
B
的坐标为(2,0).
(I)若动点M满足
AB?BM?
点M的轨迹C;
2|AM|?0
,
(II)若过点B的直线
l
′(
斜率不等于零)与(I)中的轨迹C
交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
24.设
g(x)?px?
q
?2f(x),其中f(x)?lnx,且g(e)?qe?
p
?2.
(
e<
br>为自然对数的底数)
xe
(I)求p与q的关系;
(II)若
g(x)
在其定义域内为单调函数,求
p的取值范围;
(III)证明: ①
2
ln2ln3lnn2n?n?1
(
n<
br>∈N,
f(1?x)?x(x??1)
;②
2
?
2
?
?
?
2
?
4(n?1)
23n
n
≥2).
25.已知数列
{a}
的前
n
项和
S
满足:
S
nn
n
?
a
(a
n
?1)
a?10
(
a
为常数,且
,若数列
{b}
为等
na?0,a?1
).(Ⅰ)求
{a}
的通项公式;(Ⅱ)设
b
n
?
2S
n
?1
a
n
比数列,求
a
的值;(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设
c
数列
{c}
的前
n<
br>项和为
T
n
,求证:
T
n
n
?
11
?
1?a
n
1?a
n?1
,
n
?2n?<
br>1
3
.
26
、对于函数
f(x)
,若存在
x
点.如果函数
0
?R
,使
f(x
0
)?x
0
成立,则称
x
0
为
f(x)
的不动
x
2
?a
且
f(?2)??
1
.
f(x)?(b,
c?N*)
有且仅有两个不动点
0
、
2
,
bx?c
2
7
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(Ⅰ)试求函数
f(x)
的单调区间;(Ⅱ)已知各项不为零的数列
?
a<
br>?
满
n
足
4S
n
f(
11n?11
)?1
,求证:
??ln??
a
n
a
n?1
na<
br>n
20082007
;(Ⅲ)设
b
n
??
1
a
n
,
T
为数列
?
b
?
的
nn
前
n
项和,求证:
T?1?ln2008?T
.
27
、已知函数
f
(
x
)的定义域为
{x| x
≠ kπ
,
k
∈
Z
}
,且对于定义域内
f (x)·f (y)
+
1
的任何
x
、
y
,有
f
(
x
?
y
)
=
成立,且
f
(
a
)
=
1
(
a
为
f (y)
-
f
(x)
正常数),当
0 < x <
2a
时,
f
(
x
)
> 0
.(
I
)判断
f
(
x
)奇偶性;(
II
)
证明
f
(
x
)为周期函数;(
III
)求
f
(
x
)在
[2a
,
3a]
上的最小值和最
大值.
28、已知点R(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,
点M在直线PQ上
,且满足
2PM?3MQ?0
,
RP?PM?0
.
(Ⅰ)⑴当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程; (Ⅱ)
设
A(x,y)
、B(x,y)
为轨迹C上两点,且
x?1, y?0
,N(1,0),求实数?
,使
112211
AB?
?
AN
,且
?AB
??
16
3
29
、已知椭圆
W
的中心
在原点,焦点在
x
轴上,离心率为
6
,两条
3
准线间的距离
为
6.
椭圆
W
的左焦点为
F
,过左准线与
x轴的交点
M
任作一条斜率不为零的直线
l
与椭圆
W
交于
不同的两点
A
、点
A
关
B
,
于
x
轴的对称点为
C
.
(Ⅰ)求椭圆
W
的方程;(Ⅱ)求证:(Ⅲ)求
?MBC
CF?
?
FB
(
?
?R
)
;
面积
S
的最大值
.
8
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
30
、已知抛物线
C:y?ax
,点
P
(
1
,-
1
)在抛物线
C
上,过点
P
作
2
斜
率为
k
1
、
k
2
的两条直线,分别交抛物线
C于异于点
P
的两点
A
(
x
1
,
y1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
且满足
k
1
+k
2
=0.
(
I
)求抛物线
C
的焦点坐标;
(
II
)若点
M
满足
BM?MA
,求点
M
的轨迹方<
br>程
.
31.设函数
f(x)?
1
ax
3
3
?bx
2
?cx(a?b?c)
?a
,其图象在点
A(1,f(1)),B(m,f(m))
处的切线
的斜率分别为
0,
.
(Ⅰ)求证:
0
≤
b
?1
;(Ⅱ)若函数
f(x)
的递增区间为
[s,t]
,求
|s?t|
a
的取值范围;
(Ⅲ)若当
x
≥
k
时(
k
是与
a,b,c
无关的常数),恒有
f
?1
(x)?a?0
,试求
k
的最小
值.
32.如图,转盘游戏.转盘被分成8个均匀的扇
形区域.游戏规则:用力旋转转盘,转
盘停止时
箭头A所指区域的数字就是游戏所得的点数(转
盘停留的位置是随机的).假设箭头指
到区域分界
线的概率为
0.1
,同时规定所得点数为0.某同学进行了一次游戏,记所得点数为
?
.求
?
的分布列及数学期望.(数学期望结果保留两位<
br>有效数字)
33.设
F
1
,
F
2
分别是椭
圆
C
:
y
Q(x,y)
x
2
y
2
??1
(m?0)
的左,右焦点. 22
6m2m
(1)当
P?C
,且
PFPF
1
2
|PF
1
|?|PF
2
|?8
时,
?0
,
1
M
F
1
O
F
2
x
求椭圆C的左,右焦点
F
、
F
.(2)
F、
2
1
F
2
是(1)中的椭圆的左,右焦点,已
9
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
知
F
2
的半径是1,过动点
Q
的作
F
2
切线
QM
,使得
QF
1
?2QM
(
M
是
切点)
,如下图.求动点
Q
的轨迹方程.
34.已知数列
?
a
?
满足
a
n
1
(1)求证:
?
a
n?1
?2a
n
?
?5
,
a
2
?5,
a
n?1
?a
n
?6a
n?1
(n?2)<
br>.
n
是等比数列; (2)求数列
?
a
?
的通项公式
;(3)设
3b
n
n
?n(3
n
?a
n
)
,且
b
1
?b
2
??b
n
?m
对
于
n?N
?
恒成立,求
m
的取值范围。
35.
已知集合
D?
?
(x,x)x
121
?0,x
2
?
0,x
1
?x
2
?k
.(1)设
?
(其中
k
为正常数)
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?
)
2
x
1
x
2
2k
2
求
u
的取值范围;(2)求证:当
k?1
时不等式
(
u?x
1
x
2
,
12
对任意
(x,x)?D
恒成立;(3)求使不等
式
(
1
?x)(
1
?x)?(
k
?
2)
对任意
x
1
1
x
2
2
2k
(x
1
,x
2
)?D
恒成立的
k
2
的范围
.
36
、已知椭圆
2
x
C
:
2
a
2
y
+
2
b
=
1
(
a
>
b
>
0
)的离心率为
6
3
,过右焦点
F
且斜率为
1
的直线交椭圆
C
于
A
,
B<
br>两点,
N
为弦
AB
的中点。(
1
)
求直线<
br>ON
(
O
为坐标原点)的斜率
K
ON
;(
2
)对于椭圆
C
上任意
一点
M
,试
证:总存在角
?
(
?
∈
R
)使等式:
OM
=
cos
?
OA
+
sin
?
OB
成立。<
br>
37
、
1
)已知曲线
C
上任意一点
M到点
F
(
0
,的距离比它到直线
l:y??2
的距离小
1
。
(
1
)求曲线
C
的方程;
(
2
)过点
P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设AP?
?
PB.
①当
?
?1时,求直线m
的方程;②当
△
AOB
的
面积为
42
时(
O
为坐标原点),求
?
的值。
<
br>38、已知数列
{a}
的前
n
项和为
S
,对一切正整
数
n
,点
P(n,S)
都在函
n
n
nn
10
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
数
f(x)?x
n
2
?2x
的图像上,且过点
P
n
(n,S
n
)
的切线的斜率为
k
n
.
(
1
)求
数列
{a}
的通项公式.
(
2
)若
b
n
T
n
.
?2
k
n
a
n
,求数列
{b
n
}
的前
n
项和
(
3
)设
Q?{xx?k
n
,n?N
?
},R?{xx?2a
n
,n?N
?
}
,等差数列
{c
n
}
的任一
项
c
n?Q?R
,其中
c
1
是
Q?R
中的最小数,
1
10?c
10
?115
,求
{c
n
}
的通项公式<
br>.
n
n
39
、已知
S
是数列
?
a
?
的前
n
项和,
a
1
?
3
,2
a
2
?2
,且
S
n?1
?3S
n<
br>?2S
n?1
?1?0
,其
中
n?2,n?N
*.
S
n
?n
(1)
求数列
?
a
?
的通项公式
a
n
;
(2)(
理科
)
计算<
br>lim
的值
. (
文科
)
n??
n
a
n
求
S
n
.
1
40
、
)
函数
f(x)
对任意
x
∈
R
都有
f(x)
+
f(1
-
x)<
br>=
.
(
1
)求
2
11n?1
f()和
f()?f()(n?N)
的值;
2nn
(
2
)数列
12n?1
{a
n
}满足a
n
?f(0)?f()
?f()???f()?f(1),求数列{a
n
}
的通项公式。
nnn
(
3
)令
b
n
?
4
4a
n
?1
22
,T
n
?b
1
2
?b
2
?b
3
2
???b
n
,
S
n
?32?
16
试比较
n
T
n
与
S
n
的大小。
41.已知数列
?
a
?
的首项
a
n
n
1
(a
?2a?1
1
是常数
,且
a??1
),
a
n
?2a
n?1
?n
2
?4n?2
(
n?2
),数列
?
b
?
的
首项
b
。 (1)证明:
?
b
n
?
从
?a
,
b
n
?a
n
?n
2
(
n?2<
br>)
nn
第2项起是以2为公比的等比数列;(2)设
S
为数列
?
b
?
的前n项和,
且
?
S
?
是等比数列
,求实数a的值;(3)当a>0时,求数列
?
a
?
的最小
nn项。
42.已知抛物线C:
y
的距离大1。
11
2
?2px(p?0)
上任意一点到焦点F的距离比到y轴
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,M在第一象限,
且|MF|=2|NF|,求直线M N的方程;
(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提
出与原来问题有关 的新问题,我们把它称为原来问题的一
个“逆向”问题.
例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求
该正四棱锥
的体积”.求出体 积
16
后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱
3
锥底面边长为4,体积 为
16
,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥
3
的体积为
16
,求所有侧面面积之和的最小值”.
3
现有正确命题:过点
A(?
p
,0)
的直线交抛物线C:
y
2
2
?2px(p?0)< br>于P、
Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问
题。
43 .已知函数f(x)=
5?2x
,设正项数列
?
a
?
满足< br>a
=l,
a
16?8x
n
1
23n
n?1< br> (I)
?f
?
a
n
?
.
写出
a
,
a
的值; (Ⅱ)试比较
a
与
5
的大小,并说明理由; (Ⅲ)设
4
数 列
?
b
?
满足
b
=
5
-
a
,记S
n
=
?
b
.证明:当n≥2时,S
n
<< br>1
(2
n
-1).
n
n
n
4
n
i
i?1
4
12
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
44.已知函数f(x)=x-3ax(a∈R).
(I)当a=l时,求f(x)的极小
值;
(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切
线,求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|,x∈[-l,1],求g(x)
的最大值F(a)的解析式.
45.在平面直角坐标系中,已知三个点列{A
n
},{Bn
},{C
n
},其中
A
n
(n,a
n
),B
n
(n,b
n
)
C
n
(n?1
,0)
,满足向量
A
n
A
n?1
与向量
B
n
C
n
共线,且点(B,n)
3
在方向向量为(1,6)的线上a
围。
1
(1)试用
?a,b
1
??a.
a
与n表示
a
n
(n?2)
;
(2
)若
a
6
与
a
7
两项中至少有一项是
a
n
的最小值,试求
a
的取值范
46.已知
F(?2,0),F(2,0
),点P满足|PF|?|PF
1212
|?2
,记点
P
的轨迹为<
br>E
.
(1)求轨迹
E
的方程;
(2)若直线
l
过点
F
2
且与轨迹
E
交于
P
、
Q
两点.
(i)无论直线
l
绕点
F
2
怎样转动,在
x
轴上总存在定点
M(m,0)
,
使MP?MQ
恒成立,求实数
m
的值.
(ii)过
P
、
Q
作直线
x?
1
的垂线
PA
、OB
,垂足分别为
A
、
B
,
2
记
?<
br>?
|PA|?|QB|
,求λ的取值范围.
|AB|
47
.设
x
1
、
x(x
21
?x
2
)是函数f
(x)?ax
3
?bx
2
?a
2
x(a?0)
的两个极值点.
1
(1)若
x
1
??1,x
2?2
,求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)若
|x
|?|x
2
|?22,求b
的最大值;
13
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(3)若
x
48.已知
f(x)?log
a
x(0?a?
1),{a
n
}
1
?x?x
2
,且x
2
?
a,函数g(x)?f
?
(x)?a(x?x
1
)
,求证:
|g(x)|?
1
a(3a?2)
2
.
12
,若数列{
a
n
}
(1)求{
使得2,f(a
1
),f(a
2
),f(a
3
),??,f(a
n
),2n?4(n?N*)
成等差数列.
a
n
}的通项
a
n
;
(2)设
b
n
?a
n
?f(a
n
),
若
{b
n
}的前n项和是S
n
,且
2a
4
2na2n?4
?1,求证:S
n
??3.
22
1?a1?a
49.点P
22
xy
在以
F
1
,F2
为焦点的双曲线
E:
2
?
2
?1
(a?0,
b?0)
上,已知
PF
1
?PF
2
,
ab
|PF
1
|?2|PF
2
|
,O为坐标原点.(Ⅰ)求双曲线的离心
率
e
;(Ⅱ)过点P
12
作直线分别与双曲线渐近线相交于
P,P<
br>两点,且
OP?OP
12
??
27
,
4
,求
双曲线
2PP
1
?PP
2
?0
E的方程;(Ⅲ)若过点Q(m,0)
(
m
为非零常数)
的直线
l
与(2)中双
曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,
且
MQ?
?
QN
(<
br>?
为非零常数),问在
x
轴上是否存在定点G,使
F
1
F
2
?(GM?
?
GN)
?若存在,求出所有这种定点G的坐标;
若不存在,
请说明理由.
50.已知函数
f(x)?ax
f
?
(?1)?0
. 3
?3x
2
?6ax?11
,
g(x)?3x
2
?6x?12
,和直线
m:y?kx?9
,又
(Ⅰ)求
a
的值;(Ⅱ)是否存在
k
的值,使直线
m
既是曲线
y?f(x)的
切线,又是
y?g(x)
的切线;如果存在,求出
k
的值;如
果不存在,说明
理由.
(Ⅲ)如果对于所有
x??2
的
x
,都有
f(x)?kx?9?g(x)
成立,求
k
的取值范
14
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
围.
51.已知二次函数
f(x)?ax
2
?b
x?c,(a,b,c?R)
满足:对任意实数
x
,都有
且当
x?<
br>(1,3)时,有
f(x)?
1
(x?2)
2
成立。
(1)证明:
f(2)?2
。
f(x)?x
,
8
(2
)若
f(?2)?0,f(x)
的表达式。
(3)设
g(x)?f(x)?
m
x
x?[0,??)
,若
g(x)
2
图上的点都位于直线
y?
1
的上方,求实数
m的取值范围。
4
52.(1)数列{
a
n
}和{b<
br>n
}满足
a
n
?
1
,求
(b
1?b
2
???b
n
)
(n=1,2,3…)
n
证{b
n
}为等差数列的充要条件是{
a
n
}为等差数列。
(2)数列{
a
n
}和{c
n
}满足
c
53.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行,比赛采用积分
制,比赛规则规定赢一局得2分,平
一局得1分,输一局得0分;
比赛共进行五局,积分有超过5分者比赛结束,否则继续进行. 根
据以往经验,每局甲赢的概率为
1
,乙赢的概率为
1
,且每局比赛输
23
n
?a
n
?2a
n?1
(n?N*)
,探究
{a
n
}
为等差数列的
n
充分必要条件,需说明理由。[提
示:设数列{b
n
}为
b
?
a
n
?
an?2
(n
?
1,2,3
?
)
赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为
a
变量
?
满足
S
n
?2
、
a
n
?1
、
(Ⅱ
)若随机
a
n
?0
n?N
*
,1?n?5,
令S
n
?a
1
?a
2
???a
n
.(
Ⅰ)求
S
3
?5
的概率;
?
,求
?
的分布
列和数学期望.
?7
(
?
表示局数)
15
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
54.如图,
已知直线
l
与抛物线
x
(I)若动点M满足
AB?BM?
迹
C;
(II)若过点B的直线
l
?
(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交
于
不同的两点E、F(E在B、F之间),试求
?
OBE与
?
OBF
面积之比的
取值范围.
55,,,
已知
A
、
B
是椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b2
?1(a?b?0)
的一条弦,
M(2
,
2
?4y<
br>相切于点P(2,
1),且与
x
轴交于点A,定点B的坐标为(2, 0)
.
2AM?0
,求点M的轨
y
A
M
O
B
N
x
1)
是
AB
中点,以
M
为焦点,以
椭圆的右准线为相应准线的双
曲线与直线
AB
交于
N(4
,
—1).
(1)
设双曲线的离心
率
e
,试
将
e
表示为椭圆的半长轴长的函数
.(2)
当椭圆的离心率是双曲线的离
心率的倒数时,求椭圆的方程
.(3)
求出椭圆长轴长
的取值范围
.
56已知:
f(x)??4?
11
在曲线
,数列{a}的
前n项和为S,点P(a,?)
nnnn
2
a
x
n?1
16
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
y?f(
x)上(n?N
*
),且a
1
?1,a
n
?0.
(
1
)求数列
{a
n
}
的通项公式;(
2
)数列
a
n?1
2
n
{b
n
}
的
前
n
项和为
T
n
,且满足
T
?
T
n
?16n
2
?8n?3
,设定
2
a
n?1
b
1
的值,使得
数列
{b
n
}
是等差数列;
(
3
)求证:
S
n
?
1
4n?1?1,n?N
*
2
57
、已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
Sn
,并且满足
a
1
=
2,na
n
+
1
=
S
n
+
n(n
+
1).
(
1
)求数列
{a}的通项公式a
;
(2
)设
T为数列{
a
nn
n
2
n
n<
br>}的前n项和,求T
n
.
58
、已知向量
m?(
1
,
11
) (a?0)
,将函数f(x)?ax
2
?a
的图象按向量
a2a2
m
平
移后
得到函数
g(x)
的图象。
(Ⅰ)求函数
g(x)
的表达式;
(Ⅱ)若函数
g(
x)在[
值为
h(a),求h(a)
的最大值。
59<
br>、
已知斜三棱柱
ABC?ABC
的各棱长均为
2
,
侧棱
BB
与底面
ABC
所
111
1
2,2
]
上的最小
成角为
?
,
3
B
1
C
1
A
1
且侧面
ABBA?
底面
ABC
.
11
O
B
的中点;
(
1
)证明:点
B
在平面
ABC
上的射影
O
为
AB
1
A
(
2
)求二面角
C
?AB
1
?B
的大小
C
;(
3
)求点
C
到平面
CBA
的距离
.
1
1
60
、如图,已知四棱锥
S?ABCD
中,
?
SAD
是
为
a
的正三角形,平面
SAD?
平面
AB
CD
,
A
S
边长
四边
D
Q
C
17
P
B
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
形
ABCD为菱形,
?DAB?60
,
P
为
AD
的中点,
Q
为
SB
的中点
.
(Ⅰ)求证:
PQ
平面
SCD
;
(Ⅱ)求二面角
B?PC?Q
的大小.
61.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{
a
n
}的集合:
①
a
n
?a
n?2
?a
n?1
;
②
a
n
?M.其中n?N
*
,
M
2
是与n
无关的常数. (1)若
{
a
n
}是等差数列,S
n
是
其前n项的和,a
3
=4,S
3
=18,证明:{S
n
}∈
W。 (2)设数列{
b
n
}的通项为
b
6
2.数列
?
a
?
和数列
?
b
?
(
n?N
)由下列条件确定:(1)
a
n
n
n
?5n?2n
,且{b
n
}?W
,求
n
M的取值范
n围;(3)设数列{
c
n
}的各项均为正整数,且
{c}?W.证明:c
?c
n?1
+1
?0
k
,
b?0
;(2
)
1
当
k?2
时,
a
与
b
满足如下条件:
当
a
kk
k?1
?b
k?1
?0
2
时,<
br>a
k
?a
k?1
,
b?
a
k?1
?
b
k?1
2
;当
a
k?1
?b
k?1
?0
2
时,
a
k
?
a
k?1
?b
k?
1
2
,
b
k
?b
k?1
.
k
解答下列问题: (Ⅰ)证明数列
?
a
n
?b
k
?
n??
是等比数列;(Ⅱ)记数列
?
n(b
a
n
k
?a
n
)
?
的前
n
项和为
S<
br>,若已知当
a?1
时,
lim
n
b
1
?b<
br>2
??b
n
11
?0
,求
limS
.(Ⅲ)
n(n?2)
是满足
n??
n
的最大整数时,用
a
,
b
表示
n
满足的条件.
63. 已知函数
f
?
x
?
?lnx?
1
?ax,x?
?
0,
??
?
(a为实常数). (1) 当a =
0
x
时,求
f
?
x
?
的最小值; (2)若f
?
x
?
在
[2,??)
上是单调函数,求a的
取值范围; (3)设各项为正的无穷数列
{x}
满足
lnx?
1<
br>?1
?
n?N
?
,
n
*
n
x
n?1
证明:
x
≤1(n∈N).
n
*
18
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
64.设函数
f(x)?x
3
(Ⅰ)求
?ax
2
?bx<
br>(x?0)
的图象与直线
y?4
相切于
M(1,4)
.
?ax
2
?bx
的值域也是
[s,t]
,若存
(Ⅱ)是否
存在两个不
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
(0,4]
上的最大值与最小值;
等正数
s,t
(s?t)
,当x?[s,t]
时,函数
f(x)?x
3
在,求出所有这样的正数
s,t
;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)设存在
两个不等正数
s,t
(s?
t)
,当
x?[s,t]
时,函数
f(x)?x
求正数
k<
br>的取值范围.
65.
已知数列
?
a<
br>?
中,
a
n
n
1
3
?ax
2
?bx
的值域是
[ks,kt]
,
?1
,
na
n
?1
?2(a
1
?a
2
?...?a
n
)n?N<
br>*
?
(
1
)求
a,a,a
;
?
.
234
(
2
)求数列
?
a
?
的通项
a
;
(
3
)设数列
{b}<
br>满足
b
n
n
11
2
?,b?b
n
?
b
n
,
1n?1
2a
k
求证:
b
n
?1(n?k)
66
、设函数
f
?
x
?
?
?
1?x
?
2
?2ln
?
1
?x
?
.(1)求
f
?
x
?
的单调区间;(2)若
当
?
1
?
x?
?
?1,e?1
?
时,(其
中
e?2.718?
)不等式
f
?
x
?
?m
恒成立,求实数
m
的取值范
?
e
?
围;(3)试讨论关于
x
的方程:
f
?
x
?
?x
2
2<
br>?x?a
在区间
?
0,2
?
上的根的个数.
?x<
br>67
、已知
f(x)?x?ax?a(a?2,x?R)
,
g(x)?
e
,
?(x)?f(x)?g(x)
.(1)当
a?1
时,
求
?(x)
的单调区间;(2)求
g(x)
在点
(0,1)
处的切线与直线
x?1
及曲线
g(x)
所
围成的封闭图形的面积;(
3)是否存在实数
a
,使
?(x)
的极大值为3?
若存在,求出a
的值,若不存在,请说明理由.
22
xy
68
、已知椭圆<
br>C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率
为
3
3
ab
,直线
l
:
y=x+2
与以<
br>原点为圆心、椭圆
C
1
的短半轴长为半径的圆
O
相切。
(
1
)求椭
圆
C
1
的方程;
(
2
)设椭圆
C
1
的左焦点为
F
1
,右焦点为
F
2
,直
线
l
1
过点
F1
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
l
2
垂直于
l
1,垂足为点
19
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
P
,线段
PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点
M
,求点
M
的轨迹
C
2
的方程;
(
3
)设C
2
与
x
轴交于点
Q
,不同的两点
R
、
S
在
C
2
上,且
满足
QR?RS?0
,
求
|QS|
的取值范围。
22
xy
C:
2
?
2
?1
(a>b>0)的左、右焦点,点
ab
69<
br>、已知F
1
,F
2
是椭圆P
(?2,1)
在椭圆上,
线段PF
2
与y轴的交点M满足
PM?FM?0
。(1)求椭圆C
2
的方程。(2)椭圆C上任一动点M
(x,y)
关于直线y=2x的对称点为M
1
00
(x
1
,y
1
),求3x
1
-4
y
1
的取值范围。
2
x
70
、已知
A
,B,C
均在椭圆
M:
2
?y
2
?1(a?1)
上
,直线
AB
、
AC
分别过椭圆的
a
左右焦点
F、
F
,当
AC?FF
12
12
?0
时,有9AF?AF
12
?AF
1
2
2
.(Ⅰ)求椭圆
M
的方
2
程;(Ⅱ)设
P
是椭圆
M
上的任一点,
EF
为圆
N:x?
?
y?2
?
径,求
PE
?PF
的最大值.
71.如图,
A(m,3m)
和
B(n,?3n)
两点分别在射
y
?1
的任一条直
线
OS
、
OT
上移动,且
OA?OB?
?
1
,
O
为坐标
2
A
原点,动点
P
满足
OP?OA?OB
.
(Ⅰ)求
m?n
的值;
(Ⅱ)求
P
点的轨迹
C
的方程,并说明它
B
O
P
x
表示怎样的曲线?
(Ⅲ)若直线
l
过点
E
(
2
,
0
)交(Ⅱ)中曲线
C
于
M
、
N
两
点,且
ME?3EN
,求
l
的方程
.
20
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
72.
已知函数
f(x)?
1
x
2
2
?alnx
,g(x)?(a?1)x(a??1),H(x)?f(x)?g(x)
。
(1)
若
函数
f
(
x
)、
g
(
x
)在区间
[1
,
2]
上都为单调函数且它们的单调性相同,
求实数
a
的取值范围;
(2)
?、?是函数
H
(
x
)的两个极值点,
?
<
?,
x
2
?[
?
,
?
],求证:对任意的
x
1
、不等式
|H(x
1
)?H(x
2
)|?1
?
?(1,e](e?2.71828)
。
成立
73.
设
f(x)
是定义在
?
?1
,1
?
上的奇函数,且当
?1?x?0
时,
f(x)?2x
3
?5ax
2
?4a
2
x?b
.
(
Ⅰ<
br>)
求函数
f(x)
的解析式;
(
Ⅱ
)
当<
br>1?a?3
时,求
函数
f(x)
在
?
0,1
?
上的最大值
g(a)
;
(
Ⅲ
)
如果对满足
1?a?3
的一切实数
a
,
函数
f(x)
在
?<
br>0,1
?
上恒有
f(x)?0
,求实数
b
的取值范围
.
74.
已知椭圆
C
的中心为原点,点
F
(1
,0)
是它的一个焦点,直线
l
过点
F
与椭圆
C
交
于
A,B
两点,且当直线
l
垂直于
x
轴时,
OA?
OB?
5
.(Ⅰ)求
6
椭圆
C
的方程;(Ⅱ)是否存在直线
l
,使得在椭圆
C
的右准线上可以
找到一点
P
,满
足
?ABP
为正三角形.如果存在,求出直线
l
的方程;
如果不存在
,请说明理由.
75.
已知数列
?
a
?
满足
a
n
n
1
?
a
n?1
1
,(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的
a
n
?(n?2,n?N)
.
n
4
?
?1
?
a
n?1
?2
n
通项公式
a
;(Ⅱ)设
b?
1
a
n
2
,求数列
?
b
?
的前
n
项和
S
;(Ⅲ)设
nn
21
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
c
n
?
a
n
sin
(2n?1)
?
2
,数列
?
c
?
的前
n
项和为
T
.求证:对任意的
n?N
,
T
?
n
n
n
?
4
.
7
76
、已知函数
f(x)?(x
2
1
?x?)e
ax
(a?0)
(
1
)求曲线
y?f(x)在点
A(0,f(0))
处的
a
切线方程
(
2
)当
a?0
时,求函数
f(x)
的单调区间
(
3
)当
a?0
时,若
3
?
恒成立,求的取值范围。
不等式
f(x)?
3
?0,对x?
?
a
?,??
?
?
a
?
a
?
(1)
当
a?2
时,
已知函数
f(x)?
x?a
,其中<
br>a
为实数.求曲线
y?f(x)
77
、
lnx
在点<
br>(2,f(2))
处的切线方程;
(2)
是否存在实数
a
,使
得对任意
x?(0,1)?(1,??)
,
f(x)?x
恒成立
?<
br>若不存在,请说明理由,若存在,求出
a
的值并加以证明.
78
、已知
f(x)?lnx,g(x)?
1
x
2
27
直线
l
与函数
f(x)
、
g(x)
的图像都
?mx?(m?0)
,
2
相切,且与函数
f(x)
的图像的
切点的横坐标为
1
。
(Ⅰ)求直线
l
的方程及
m
的值;(Ⅱ)若
h(x)?f(x?1)?g'(x)(其中g'(x)是g(x)
的
导函数),求函数
h(x)
的最大值;
(Ⅲ)当
0?b?
a
时,比较:
a?2af(a?b)
与
b?2af(2a)
的大小,
79
、已知抛物线
C
:
y?4x
的准
线与
x
轴交于
M
点,过
M
点斜率为
k
的<
br>2
直线
l
与抛物线
C
交于
A
、
B<
br>两点
(
A
在
M
、
B
之间
)
.
(1)
F
为抛物线
C
的焦点,若
|AM|?5
|AF|
,求
k
的值;
4
(2)
如果抛物线
C
上总存在点
Q
,
使得
QA?QB
,试
求
k
的取值范围.
22
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
80、在平面直角坐标系
中,已知定圆
F:
(
F
为圆心),定直线
,
作与圆
F
内切且和直线相切的
动圆
P
,
(1)
试求动圆圆心P
的轨迹
E
的方程。(
2
)设过定圆心
F
的直
线自
下而上依次交轨迹
E
及定园
F
于点
A
、
B
、
C
、
D
,①是否存在直线
,使得成立?若存在,请求
出这条直线的方程;若不存在,
的值是否为定值?请说明理由。
②当直线绕点
F
转动时,
若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。
81.已知函数
f
?
x
?
?x
且<
br>f
?
?1?x
?
?f
?
?1?x
?
对任意
,
?
,
?mx?n
的图像过点
?
13
2
实数都成立,函数
y?g
?
x
?
与
y?f?
x
?
的图像关于原点对称。
求
f
?
x
?
与
g
(
x
)
的解析式;(Ⅱ)若
F
(
x
)
=g
(
x
)
f
?
?1?x
?
?f
?
?1?x
?
,f
?
1<
br>?
?3
(Ⅰ)
—
?
f
?
x
?
在
[-1
,
1]
上是增函数,求实数λ的取值范围;
82.设数列
?
a
?
,
?
b
?
满
足
a
nn1
?b
1
?6,a
2
?b
2?4,a
3
?b
3
?3
,且数列
?
a
n
n?1
?a
n
?
n?N
?
n
??
是
等差数列,数列
?
b
n
?2
?
n?
N
?
?
?
(
I
)求数列
?
a
?<
br>和
?
b
?
的通项
?
是等比数列。
k
公式;(
II
)是否存在
k?N
,使
a
在,说明理由。
?
1
?
?b
k
?
?
0,
?
,若存在,求出
k
,若不存
?
2
?
23
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
83.
数列
{a}
的首项
a
n
1
?1
,前
1
S
n
n
项和
S
n
与
2
2S
a
n
之间满足
a
n
?
n<
br>(n?2).
2S
n
?1
(
1
)求证:数列
{}
的通项公式;
(
2
)设存在正数
k
,使
k
的最大值
.
(1?S
1
)(1?S
2
)
?
(1?S
n
)?k2n?1
对一切
n?N*
都成立,求
84.已知<
br>22
xy
F
1
、
F
2
分别是椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左、右焦点,其左准线
ab
与
x
轴相交于点
N
,并且满足,
FF
12
?2NF
1
,|F
1
F
2
|?2.
设
A
、
B
是上半椭圆
上满足
NA?
?
NB
的两点,其中<
br>?
?[
1
,
1
].
53
(
1
)求此椭圆的方程及直线
AB
的斜率的取值范围;
(
2
)设
A
、
B
两点分别作此椭圆
的切线,两切线相交于一点
P
,
求证:点
P
在一条定直线上,并求点
P
的纵坐标的取值范
围
.
85.已知函数
f(
x)?ln(x?
3
)?
2
,g(x)?lnx.
(
1
)求函数
f(x)
是单调区间;
2x<
br>(
2
)如果关于
x
的方程
g(x)?
1
x?
m
有实数根,求实数
m
的取值集合;
2
(
3
)是否存在正数
k
,使得关于
x
的方程
f(x)?kg(x
)
有两个不相等的
实数根?如果存在,求
k
满足的条件;如果不存在,说明理
由
.
86、已知抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为
F
,直线
l
过点
A(4,0)
且与抛物线
交于
P,
Q
两点.并设以弦
PQ
为直径的圆恒过原点.(Ⅰ)求焦点坐标;
(Ⅱ)若<
br>FP?FQ?FR
,试求动点
R
的轨迹方程.
2
24
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
22xy
87
、已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的点到右焦点
ab
F
的最小距离是
2?1
,
F
到上顶点的距离为
2
,点
C(m,0)
是线段
OF
上的一个
动点
.
(
I
)求椭圆的方程
;(
Ⅱ
)
是
否存在过点
F
且与
x
轴不垂直的直线
l
与椭
圆交于
A
、
B
两点
,
使得
(CA?CB)?BA
,
并说明理由
.
88
、椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为
A
(0,2)
,右焦点
F
与点
B(2,2)
的距离为
2
。
(
1
)求椭圆的方程;
(
2<
br>)是否存在斜率
k?0
的直线
l
:
y?kx?2
,<
br>使直线
l
与椭圆相交于不同的两点
M,N
满足
|AM|?|A
N|
,若存在,求直
线
l
的倾斜角
?
;若不存在,说明理由
。
89
、已知数列
?
a
?
的前
n
项和为
S
,且对一切正整数
n
都有
S
n
n
n
1
?n
2
?a
n
。
2
(<
br>1
)证明:
a
n?1
?a
n
?4n?2
;(
2
)求数列
?
a
?
的通项公式;(
3
)设
n
?
1
??
1
?
?
1
?
???
f(n)?
?
1?
??
1?
?
?
1
?
?
?
?
a
1
??
a
2
?
?
a
n
?
,求证:
f(n?1)?f(n)
对一切
n?N
?
都成立。
?
?
2n?1
?
90
、已知等差数列
?
a
?
的前三项为
a?1,4
,2a,
记前
n
项和为
S
.
n
n
(
Ⅰ
)
设
S
k
?
2550
,求
a
和
k
的值;
(
Ⅱ
)
设
b
n
?
S
n
n
,求
b
3?b
7
?b
11
?????b
4n?1
的值.
91.已知
f
?
x
?
定义在R上的函数,对于任意的实数a
,b都有
f
?
ab
?
?af
?
b
?
?bf
?
a
?
?
1
?
的值 ,且
f
?
2
?
?1
求(2)求
f
?
2
?
的解析式(
n?N
)
f
(1)
?
2
?
?n
?
??
92. 设函数
f
?
x
?
?xx?a?b
(1)求证:
f
?
x
?
为奇函数的充要条件是
a
2
?b
2
?0
25
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(2)设常数
b
<
2
取值范围
93.已知函数
f
(x)?x
2
2?3
,且对任意x
?
?
0,1
?<
br>,
f
?
x
?
<0恒成立,求实数
a
的
.1
)(
a
为常数)(如果对任意
x?[1,2],f(x)?a
?(a?3)x?a
2
?3a
2
恒成立,求实数
a
的取值范
围;(
2
)设实数
p,q,r
满足:
p,q,r
中的某一<
br>个数恰好等于
a
,且另两个恰为方程
f(x)?0
的两实根
,判断①
p?q?r
,
②
p
2
?q
2
?r
2
,③
p
3
?q
3
?r
3
是否为
定值?若是定值请求出:若不是定值,
,且
a?(0,1)
,
1<
br>请把不是定值的表示为函数
g(a)
,并求
g(a)
的最小值;(3
)对于(
2
)
中的
g(a)
,设
H(a)?
?
1
[g(a)?27]
,数列
{a}
满足
a
6<
br>n
n?1
?H(a
n
)
(n?N
*
)
试判断
a
与
a
的大小,并证明
.
n?1n
A<
br>2
为焦点的双曲线
E
与半径为
c
的圆
O
相交
于
C
,94.如图,以
A
1
,
D
,
C1
,
D
1
,连接
CC
1
与
OB
交于点
H
,且有:
OH?(3?2
(
1
)当
c=1
时,求双曲线
E
的方程;
(
2
)试证:对任意正实数
c
,双曲线
E
的离心率为常数。
(
3
)连接
A
1C
与双曲线
E
交于
F
,是否存在
实数
?
,使AF?
?
FC
恒成立,若存在,试求出
?
的值;<
br>
1
3)HB
。其中
A
1
,
A
2<
br>,
B
是圆
O
与坐标轴的交点,
c
为双曲线的半焦距。
若不存在,请说明理由
.
95.设函数
f(x)?<
br>1
ax
3
3
?bx
2
?cx(a?b?c),其图象
在点A(1,f(1),B(m,f(m))
处的切线的斜
率分别为
0
,-<
br>a.
(
1
)求证:
0?
b
?1
;
(
2
)若函数
f
(
x
)
的递增区间为
[s
,
t]
,
a
求
|s
-<
br>t|
的取值范围
.
(
3
)若当
x
≥<
br>k
时,(
k
是
a
,
b
,
c
无关的常
数),恒有
f'(x)?a?0
,试求
k
的最小值
26
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
96.
设函数
f(x)?ax
2
?
f(x)(x
?0)
?bx?1(a,b为实数),F(x)?
?
(x?)
?
?f
(x)
(
1
)若
f(?1)?0
且对任
意实
数均有
f(x)?0
成立,求
F(x)
表达式;
(<
br>2
)在(
1
)在条件下,
当
x?[?2,2]时,g(x)?
f(x)?kx
是单调函数,求实数
k
的取值范围;
(
3
)
设
mn<0
,
m+n>0
,
a>0
且
f(x)
为偶函数,证明
F(m)?F(n)?0.
97.
在平面直角坐标系内有两个定点
F、F
和动点
P<
br>,
F、F
坐标分别为
1212
F
1
(?1,0)
、
F(1,0)
,动点
P
满足
|PF|
?<
br>1
2
|PF
2
|
2
2
,动点
P的轨迹为曲线
C
,曲线
C
关
B
两于直线
y?x
的对称曲线为曲线
C'
,直线
y?x?m?3
与曲线
C'<
br>交于
A
、
点,
O
是坐标原点,△
ABO
的面
积为
(
2
)求
m
的值。
9
8.数列
?
a
?
,
a?1,a?2a?n?3n(n?N)
⑴是否存在常数
?
、
?
,使得数列
?
a?
?
n?
?
n
?
是等比数列,若存在,
求出
?
、
?
的值,若不存在,说明理由。
⑵设
b?
1
,S?b?b?b?
?
?b
,证明:当
n?2
时,
6n?S?
5
.
2?
7
,
(
1
)求曲线
C
的方程;
n
1n?1n
2
n
n
a
n
?n?2
n?1
n123n
(n?1)(2n?1)
n
3
99
、数列
{a}
的前
n
项和为
S,a
n
n1
?10,a
n?1
?9S
n
?10
。
n
(
I
)求证:
{lga}<
br>是等差数列;(Ⅱ)设
T
是数列
?
?
n
?
3
?
的前
n
项
?
(lga
n
)(lgan?1
)
?
和,求
T
;(Ⅲ)求使
T
n
n
1
?(m
2
?5m)
对所有的
n?N
?
恒成立的整数
m
的取值
4
27
集合。
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
1
00
、已知数列{
a
}中,
a
n
1
在直线
?,点(n,2a
n?1
?a
n
)
1
2
y=x上,
其中
n=1,2,3….
(1)令
b
nn
n
(2)求数列
?
a
n
?
的通项;
⑶
?a
n?1?a
n
?1,
求证数列
?
b
n
?
是等
比数列;
n
n
n
S
设
S、T分别为数列
?
a
?
、
使得数列
?
?
b
?
的前
n
项和,是否存在实数
?
,
?
?
?
?
T<
br>n
?
?
n
?
为等差数列?若存在,试求出
?
.若不存在,则说明理由。
高考数学压轴100题解析
28
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
1
.解:(
I
)
g
?
x
?
?
?
?<
br>1?ax,1?x?2
?
1?a
?
x?1,2?x?3
?
(
1
)当
a?0
时,函数
g
?
x
?
是
?
1,3
?
增函
此时,
g
?
x
?
max
?g
?
3
?
?2
?3a
,
g
?
x
?
min
?g
?
1
?
?1?a
,所以
h
?
a
?
?1?2a
;——
2
(
2
)当
a?1
时
,函数
g
?
x
?
是
?
1,3
?
减
函
此时,
g
?
x
?
min
?g
?
3
?
?2?3a
,
g
?
x
?
m
ax
?g
?
1
?
?1?a
,所以
h
?a
?
?2a?1
;————
4
分
(
3
)当
0?a?1
时,若
x?
?
1,2
?
,则
g
?
x
?
?1?ax
,有
g
?
2
?
?g
?
x
?
?g
?
1<
br>?
;
若
x?
?
2,3
?
,则g
?
x
?
?
?
1?a
?
x?1
,有
g
?
2
?
?g
?
x
?
?g
?
3
?
;
因此,
g
?
x
?
min
?g
?
2
?
?1?2a
,—
———
6
分
而
g
?
3
??g
?
1
?
?
?
2?3a
?
?
?
1?a
?
?1?2a
,
故当
0?
a?
1
2
时,
g
?
x
?
max
?
g
?
3
?
?2?3a
,有
h
?
a
?
?1?a
;
当
1
2
?a?1
时,
g
?
x
?
max
?g
?
1
?
?1?a
,有
h
?
a
?
?a
;————
8
分
?
?
1?2a,a?0
综上所述:
?
1?a,0?a?
1
h
?
a
?
?
??
2
。————
10
分
?
?
a,<
br>1
?a?1
?
2
?
2a?1,a?1
(<
br>II
)画出
y?h
?
x
?
的图象,如右图。————
12
分
数形结合,可得
h
?
x
?
?h
?
?
1
?
min
?
2
?
?
?
1
2
。————
14
分
数,
分
数,
29
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
2.解
: (Ⅰ
)
先用数学归纳法证明
0?a
n
?1
,
n?N
*<
br>.
(
1
)当
n=1
时
,
由已知得结论成立
;
(
2
)假设当
n=k
时
,
结论成立,
即
0?a
因为
0
,
f
?
(x)?1?
k
?1
.
则当
n=k+1
时
,
1x
??0
,
所以
x?1x?1
k
f(x)
在
(0,1)
上是增函数
.
k?1
又
f(x)
在
?
0,1
?
上连续
,
所以f(0)
)
0<
a
故当
n=k+1
时
,
结论也成立
.
即
0?a
立
.————4
分
又由
0?a
n
n
?1?ln2?1
.
?1
对于一切正整数都成
?1
,
得
a
n?1n?1
?a
n
?a
n
?ln
?
1?a
n
?
?a
n
??ln(1?a
n
)?0
,
从而
a
n?1
?a
n
.
综上可知
0?a?a
n
?1.
————6
分
(Ⅱ)
构造函数
2
x
g(x)=
2
-f(x)=
x
2
?ln(1?x)?x
, 0
2
x
由
g
?
(x)??0
,
知
1?x
g(
x)
在
(0,1)
上增函数
.
又
g(x)
在
?
0,1
?
上连续
,
所以
g(x)>g(0)=0.
22
aa
nn
因为
0?a
n
?1
,
所以
g
?
a
n
?
?0
,
即
?f
?
a
n
?
>0,
从而
a
n?1
?.
————10
22
分
(Ⅲ)
因为
所以
b
n
b
11
n?1
b
1
?,b
n
?1
?(n?1)b
n
,
所以
b
n
?0
,
n?1
?
b
n
2
22
,
?
b
n
b
n?1
?
b
n?1
b
n?2
b
2
1
?b
1
?
n
?n!
b
1
2
————① , ————12
分
n
2
a
n
由
(Ⅱ)
a
n?1
?,
知
:
a
n?1
?
a
n
a
n
2
2
,
所以
a
=
a
a
1
2
a
1
?
a
3
a
2
a
n
aa
?
12
a
n?1
22
a
n?1
2
,
因为
a
1
?
2
2
, n≥2,
0?a
n?1
?a
n
?1.
所以
aa
a
n
?
12
22
a<
br>n?1
<
a
1
n
?a
1
2
n?1<
br>2
2
2?a
1
<
n
2
=
1
————② . ————14
分
2
n
由①②
两式可知
:
b
n
?a
n
?n!
.————16
分
30
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
?
?
x??x
1
?
x?0
?
?
3.(Ⅰ)在
f
(x
1
?x
2
)?f(x
1
?x
2
)?2
f(x
1
)cos2x
2
?4asin
2
x
2中,分别令
?
1
;
?
4
;
?
x
2
?x
?
x?
?
2
?
?4
?
?
f(x)?f(?x)?2cos2x?4asin
2
x,
①
?
?
x
1
?
?
?
?
?
?
4
得
②
?
f(+x)?f(x)?2a,
?
?
2
?<
br>x?
?
?x
2
?
?
?
?
?4
2
?
f(+x)?f(?x)=2cos(+2x)?4asin(+x)③
??224
由
①
+
②-③,
1?cos2(?
x)
?
1?cos2x
4
得
2f(x)?2a?2cos2x?2c
os(?2x)?4[
a]-4[a]
222
?
=
2a?
2(cos2x?sin2x)?2a(cos2x?sin2x)
∴
f(x)?a?
?
时,
?
(Ⅱ)当
x?[0,]sin(2x?)
?
[44
2
.
,1]
2
2[
2(1?a)sin(2x?)
4
?
(
1
)∵
f(x)
≤
2
,当
a<1时,
1?a?
2
(1?a)]
≤
f(x)
≤
a
?2(1?a)
≤
2
.
2
即
1?2
≤<
br>(1?2)a
≤
2?2
.
?2
≤
a
≤
1
.
(
2
)∵
f(x)
≤
2
,当
a
≥
1
时,?
2
≤
a?2(1-a)
≤
f(x)
≤
1
.即
1
≤
a
≤
4?32<
br>.
故满足条件
a
的取值范围[?
2
,
4?32
].
4.(
1
)
2b?2.b?1,e?
c
?
a
椭圆的方程为
a
2
?b
2
3
??a?2.e?3
a2
y
2
?x
2
?1
4
(
2
分)
3
(
2
)设
AB
的方程为
y?kx?
?
y?kx?3
?23k?1
22
由
?
2
?(k?4)x?23kx?1?0x?x?,x
x?
?
y
1212
22
2
k?4k?4
?x?1<
br>?
?
4
31
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
4
分)
由已知
x
1
x
2
y
1
y
2
1k
2
3k3
0?
2
?
2
?x
1
x
2
?(kx
1
?3)(kx
2
?3)?(1
?)x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
4444
ba
k
2
?413k?23k3
?(?
2
)??
2
?,解得k??
2
44
k?4k?4
4
(
7
分)
(
3
)当
A为顶点时,
B
必为顶点
.S
△
AOB
=1
(
8
分)
当
A
,
B
不为顶点
时,设
AB
的方程为
y=kx+b
?
y?kx?b
?2kb
?
2
222
?
(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2
k<
br>2
?4
?x?1
?
?
4
b
2
?4<
br>
x
1
x
2
?
2
k?4
x
1
x
2
?
y
1
y
2
(kx?b)(kx<
br>2
?b)
?0?x
1
x
2
?
1
?0
代入整理得:
2b
2
?k
2
?4
(
11
4
4
分)
11|b|4k
2
?4b
2
?16
2
S??|b||x
1
?x
2
|?|b|(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
|?
22
k
2
?4
4k
2
??1
2|b|
所以三角形的面积为定值
.
(
12
分)
5(
1
)
a
n
12
?(10
n
?1)?10
n
??(10
n
?1)
99
………………………………
(2
分
)
分
)
10
n
?110
n
?1
1
nn
)?(?1)
…………………………………
(4
?(10?1)?(10
?2)
?(
33
9
n
10
记:
A
=
?1
3
,
则
A=
33??????3
为整数
个
n
?
a
n
= A (A+1)
,
得
证
………………………………………………………
(
6
分
) (2)
32
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
112
a
n
?10
2n
?10
n
?
999
…………………
………………………………
(8
分
)
S?
1
(10
n
2
9
12
?10
4
????????10
2n
)?(10?10
2
???????10
n
)?n
99
1
?11
n?
1?0
?
1
n?2
(1
2
0?
891
(12n?198
……………………………………………
210)
分
)
6
、解:(Ⅰ)易知
a?
1
222
5,b?2,
c?1,?F
1
?(?1,0),F
2
(1,0)
2
设
P
(
x
,
y
),则
PF?PF
41
x?4?x?1?x?3
55
?x?[?5,5]
,
?(?1?x,?y)?(1?x,?
y)?x
2
?y
2
?1
?当x?0
,即点
P
为椭圆短轴端点时,
PF?PF
有最小值
3
;
12
12
当
x??5
,即点
P
为椭圆长轴端点时,
PF?PF
有最大值
4
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线
l
易知
点
A
(
5
,
0
)在椭圆的外
部,当直线
l
的斜率不存在时,直线
l
与椭圆无交点,所在直线
l
斜率存在,设为
k
直线
l
的方程为
y?k(x?5)
?x
2
y
2
??1
由方程组
?
,得(5k
2
?4)x
2
?50k
2
x?125k
2
?20
?0
4
?
5
?
y?k(x?5)
?
依题
意
??20(16?80k
当
?
2
)?0,得?
55
?k?
55
22
00
55
时,设交点
?k?
55
C
(x,y)、D(x,y)
,
CD
的中点为
R
(x,y)
,
11
22
x
1
?x
2
50k25k
则
x
1
?x
2
?
2
,x
0
?
?
2
2
5k?45k?4
33
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
25k?20k
?y?k(x?5)?k(?5)?.
2
00
5k
2
?4<
br>2
5k
2
?4
又
|F
2
C|=|F
2
D|
?FR?l?k?k
0?(?
?k?k
F
2
R
F
2
R
??1
20k
)
2
2
0k
2
5k?4
?k????1
22
25k4?20k
1?
2
5k?4
∴
20k
2
=20k
2
-
4
,而
20k
2
=20k
2
-
4
不成立,
所以不存在直线<
br>l
,
使得
|F
2
C|=|F
2
D|
综上所述,不存在直线
l
,使得
|F
2
C|=|F
2D|
7
、解:
(1)
依题意,曲线
M
是
以点
P
为焦点,直线
l
为准线的抛物线,
所以曲线
M
的方程为
y
2
=4x.
?
(2)(i)由题意得,直线AB的方
程为:y??3(x?1)由
?
y
2
??3(x?1)
消去 y
得:
?
y?4x
假设存在点
C
(-
1
,
y
),使△
ABC
为正三角形,则
|BC|=|AB|
且<
br>|AC|=|AB|
,即
16
2
?
22
(
3?1)?(y?23)?(),
?
3
相减得:4
2
?(y?23)
2
?(
4
)
2
?(y?
23
)
2
,解得y??
143
(不符,舍)
?
12
2
16<
br>2
339
)?()
?
(?1)
2
?(y?
3
3
?
3
112316
3x
2
?10x?3?0,解
得x
1
?,x
2
?3.所以A(,),B(3,?23),|AB|?x1
?x
2
?2?.
3333
因此,直线l
上不存在点
C
,使得△
ABC
是正三角形
.
(
ii
)解法一:设
C
(-
1
,
y
)使
△
ABC
成钝角三角形,
?
由
?
y??3(x?1)
得
y?23,此时A,B,C三点共线,故y?23.
?
x??1
,
,
34
123
2
28
43y
16256
又|AC|
2
?(?1?)
2
?(y?)???y2
,|AB|
2
?()
2
?
339339
当|
BC|
2
?|AC|
2
?|AB|
2
,即28?43y?y
2
?
28432562
?y?y
2
?,即y?3
时,
9399
∠
CAB
为钝角
.
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
当|AC|
2<
br>?|BC|
2
?|AB|
2
,即
2843256
?y
?y
2
?28?43y?y
2
?
939
y??
10
3 时?CBA为钝角.
3
2562843y
???y
2
?28?43y?y
2
993
又|AB|
2
?|AC|
2
?|BC|
2
,即
即:y
2?
442
2
3y??0,(y?)?0
33
3
.
该不等式无解,所以∠
ACB
不可能为钝角
.
因此,当△
ABC
为钝角三角形时,点
C
的纵坐标
y
的取值范围是
:
.
解法二:
以
AB
为直径的圆的方程为
: <
br>528528
(x?)
2
?(y?3)
2
?()
2<
br>圆心(,?3)到直线L:x??1 的距离为
333333
所以,以AB为直径的圆
与直线L相切于点G(?1,?
23
).
3
y??
10323
或y?(y?23)
39
.
当直线
l
上的
C
点与
G
重合时,∠
ACB
为直角,当
C
与
G
点不重合,且
A
,
B
,
C
三点不共线时,
∠
ACB
为锐角
,即△
ABC
中∠
ACB
不可能是
钝角
.
因此
,要使△
ABC
为钝角三角形,只可能是∠
CAB
或∠
CBA
为钝角
.
过点A且与AB垂直的直线为:y?
233123
?(x?)
.令x??1得y?
3339
.
.
过点B且与AB垂直的直线为:y?
23?
310
(x?3),令x??1得y??3
33
?
又由
?
y??3(x?1)
解得y?23,所以,当点C的坐标为(?1,23)时,
?
x??1
A
,
B
,
C
三点共
线,不构成三角形
.
因此,当△
ABC
为钝角三角形时,点
C
的纵坐标
y
的取值范围是:
y??
10323
或y?(y?23).
39
35
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
2
8
、解:
1a=b=0f(0)=[f(0)]
()令,则∵
f(0)
≠
0
∴
f(0)=1
(
2
)令
a=x
,
b=-x
则
f(0)=f(x)f(-x)
∴
f(?x)?
1
f(x)
由已知
x>0
时,f(x)>1>0
,当
x<0
时,
-x>0
,
f(-x
)>0
∴
f(x)?
1
f(?x)
?0
又<
br>x=0
时,
f(0)=1>0
∴
对任意
x
∈
R
,
f(x)>0
(3)
任
取
x
2
>x
1
,则
f(x
2
)>0
,
f(x
1
)>0
,
x
2
-x
1
>0
∴
f(x
2
)
f(x
?f(
x
2
)?f(?x
1
)?f(x
2
?x
1
)?1
1
)
∴
f(x
2
)>f(x
1
)
∴
f(x)
在
R
上是增函数
(
4
)
f(x
)
·
f(2x-x
2
)=f[x+(2x-x
2
)]=f(
-x
2
+3x)
又
1=f(0)
,
递增
∴
由
f(3x-x
2
)>f(0)
得:
x-x
2
>0
∴
0
9
、解:(
1
)由题意知
f(1)?1?2b?c?0
,∴
c??1?
2b
记
g(x)?f(x)?x?b?x
2
?(2b?1)x?b
?c?x
2
?(2b?1)x?b?1
则
1
5
g(?3)?5?7b?0
g(?2)?1?5b?0
?
5
?
b
?
7
g(0)??1?b?0
g(1)?b?1?0
即
b?(
1
5
,
5
7
)
(
2
)令
u=
f(x)
。∵
0?
1
5<
br>?b?
5
7
?1
∴
log
b
u<
br>在(
0
,+∞)是减函数
而
?1?c?2b??b,函数f(x)?x
2
?2bx?c的对称轴为x??b
f(x)
在
R
上
36
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
∴
f(x)在区间(?1?c,1?c)
上为增函数,
从而
F(x)?log
b
f(x)在(?1?c,1?c)
上为减函数。
且
f(x)在区间(?1?c,1?c)
上恒有
f(x)
>0
,
只需
f(?1?c)?0
,
且
c??2b?1(
1
5
?b?
5
7
)所以?
17
7
?c?
?2
10
、解:(
1
)
?1?x<
br>2
n
?2|x
n
|?|
2x
n
1
1
?x
2
|?1又x
1
?.
n
2
?|
2x
n
1?x
2
|?1
n
f(x
1
1
)?f(
2
)??1
而
f(x
n?1
)?f(
2x
n
1?x
2)?f(
x
n
?x
n
)?f(x
n
)?f(x
n
)?2f(x
n
).
n
1?x
nx
n
?
f(x
n?1
)
x
?2
?{f
(x
n
)}是以?1为首项,以2为公比的等比数列,故f(x
n
)??2<
br>n?1
f(
n
)
(
2
)由题设,有
f(0)?f(0)?f(
0?0
1?0
)?f(0)
,故f(0)?0
又
x?(?1,1),有f(x)?f(?x)?f(
x
?x
1?x
2
)?f(0)?0,
得
f(?x)??f(x),故知f(x)在(?1,1)
上为奇函数
.
由
1
1
1
k
2
?3k?1
?<
br>1
(k?1)(k?2)?1
?
(k?1)(k?2)
?
1<
br>?
k?1k?2
1?
11
(k?1)(k?2)
1
?
(k?1)(k?2)
得
f(
1
k
2
?3k?1
)?f(
1
k?1
)?f(?
1
k?2
)?f(<
br>1
k?1
)?f(
1
k?2
)
于是
?
n
f(
11
k?1
k
2
?3k?1)?f(
2
)?f(
1
n?2
)??1?f(
1
n?2
).
37
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
故
1?f(1
)?f(
1
)??f(
511
11
)?f()?0.
2
n?2
n?3n?1
11.解:(
1
)设
C ( x , y )
,
△
33
GA?GB?2GO
,
由①知
GC??2GO
,?
G
为
?
ABC
的重心
,
G(
x
,
y
)
…………………………………………(
2
分)
由②知
M<
br>是△
ABC
的外心,
?
M
在
x
轴上。
由③知
M
(
x
,
0
),
3
由
|MC| ? |MA|
得
xx
()2
?1?(x?)
2
?y
2
33
2
x
化简整理得:
?y
2
?1
(
x
≠
0
3
)…………………………
(6
分
)
(
2
)
F
(
2
,
0
2
x
)恰为
?y
2
?1
的右焦点
3
设
PQ
的斜率为
k
≠
0
且
k
≠±
2
)
2
2
,则直线
PQ
的方程为
y = k ( x
-
?
y?k(x?
由
?
?
2)
2222
?
(3k?1)x?62kx?6k?3?0
22
?
?
x?3y?3
?0
62k
2
3k
2
?1
设
P(x
1 , y
1
)
,
Q (x
2
,y
2
)
则
x
1
+ x
2
=
2
6k
=
2
?3
3k?1
,
x
1
·
x
2
……
(
8
分)
1?k
2
则
| PQ | =
=
1?k
2
·
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
23(k
2
?1)
3?k
2
2
22
23(k?1)
62k6k?3
2
·
(
2
)?4?
2
=
3k
2
?1
3k?13k?1
RN
⊥
PQ,
把
k
换成
?
得
| RN
| =
k
-7-
1
………………………
38
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
(
10
分
)
22
16(k?1)
| RN |
=
2
?
S =| PQ |
·
2
2
(3k?1)(k?3)
=
2?
8
)
1
3(k
2
?
2
)?10
k
?3(k
2
?
k
2
?
18
)?10?
k<
br>2
2?S
81
≥
2
,
?
≥
16
,
?
3
≤
S < 2
,
(
当
k =
±
1
时取等
k
2
2?S
2
号
)
……(
12
分)
又当
k
不存在或
k =
0
时
S = 2
综上可得
3
2
≤
S
≤
2
,
?
S
max
= 2
3
2
……………………………………(
14
分)
12.解:⑴
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
?
2(2?1)
1?(2?1)
2
?1
又∵
?
为锐角
∴
2
?
?
?
4
∴
sin(2
?
?
?
4
)?1
f(x)?x
2
?x
⑵
a
n?1
?a
2
1
n
?a
n
∵
a
1
?
2
∴
a
2
,a
3
,?a
n
都大于0
∴
a
2
n
?0
∴
a
n?1
?a
n
⑶
1
11
a
?
1111
n?1
a
2
???n
?a
n
a
n
(1?a
n
)a
n1?a
,∴
1
n
1?a
??
n
a
n
a
.
n?1
∴
11111
1?a
?
?a
?
?<
br>????
1
?
1
?
?
?
1
?
1
1
1
2
1?a
n
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n?1
?
111
a
??2?
1
a
n?1
a
n?1
∵
a?(
1
2
)
2
?
1
2
?
3
4
,
a
33
23
?(
4
)
2
?
4
?1
, 又∵
n?2a
n?1
?a
n
S
min
=
39
,
∴
a
n?1
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
1
111
?a?1
,
∴
1?2??2
,∴
1???
?
??2
3
a
n?1
1?a
1
1?a
2
1?a
n
1
3
(
本小题满分
14
分
)
解:(
1
)
?a
故数列
{a
3
分
?a
n
?1?2
n
,
a
n
?2
n
?1
…………………………………………
4
n
n?1
?2a
n
?1
,
?a
n?1
?1?2(a
n
?1
)
……………………
2
分
?1}
是首项为
2,公比为
2
的等比数列。……………………
分
分
<
br>(
2
)
?
4
b
1
?1
4
b
2
?1
4
b
3
?1
?
4
b
n
?1
?(a
n
?1)
b
n
,
?4(b
1
?b
2
???b
n
?n)
?2
nb
n
……………
5
2(b
1
?b
2
?<
br>?
?b
n
)?2n?nb
n
①
2(b1
?b
2
???b
n
?b
n?1
)?2(n?
1)?(n?1)b
n?1
②
②—①得
2b
分
n?1
?2?(n?1)b
n?1
?nb
n
,即
n
b
n
?2?(n?1)b
n?1
③……………………
8
?(
n?1)b
n?1
?2?nb
n?2
④
④—③得
2nb<
br>n
n?1
?nb
n
?nb
n?1
,即
2b<
br>n?1
?b
n
?b
n?1
……………………
9
分
所以数列
{b}
是等差数列
(
3
)
?
1
设
S?
a
n
?
1
2
n?1
?1
?
1
2
n?1
?2
?
11
2
a
n?1
………………………………
11
分
1
11
????
a
2
a
3
a
n?1
,则S?
111
11111
?(S?)
?(????)
?
a
2
2a
n?1
a
2
2a
2
a<
br>3
a
n
…………
13
分
S?
21
212
????
………………………………
14
a
2
an?1
3a
n?1
3
分
40
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
14.
(
本小题满分
16
分
(
1)当
a?1
时,
g(x)??
1
x
3
3
?
1
2
x?cx
,
g
?
(x)??x
2
?x?c
………………
1
2
分
?g(x)
在(—
1
,
1
)上为单调递增函数,
?g
?
(x
)?0
在(—
1
,
1
)上恒成
立…………
2
分
??x
2
?x?c?0
在(—
1
,
1
)上恒成立……………………
3
分
?c?2
………………………………………………………
4
分
(
2
)设
g
?
(x)?f(x)
,则
15、①
a
1
?1
;③
a?
4
3
41
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
16
、解:
(1)
由
f(m·n)
=
[f(m)]
n
得:
f(0)
=
f(0×0)
=
[f(0)]
0
∵函数f(x)
的图象均在
x
轴的上方
,∴f(0)<
br>>
0,∴f(0)
=
1 ……3
分
∵f(2)=
f(1×2)
=
[f(1)]
2
=
4
,又<
br>f(x)
>
0
∴f(1)
=
2,f(
-
1
)
=
f(1)
=
2 ……3
分
(2)
?
?
f
?
?
?
kx?2
?
?
?kx?2
?
?2?f2
??
?
??
?2?
22
?
2x?4
?
?
?
2x?4
?
?
2
?
kx?2
?
f
??
?f
?
?1
?
?
2
?
x?4
?
?
kx?2
?
f
??
?f
?
1
?
2
?
x?
4
?
又当
x?0
时,其导函数
f'
?
x
?
?0
恒成立,∴
y?f
?
x
?
在区间
?<
br>0,??
?
上为单调递增
函数
∴
kx?2
x
2
?4
?1?kx?2?x
2
?4?
?
k
2
?1
?
x
2
?4kx?0
①当
k?0
时,
x?
?
0
?
;
②当
?1?k?0
时,
x
?
?
x?
?4k
?
4k
?
4k
?
;
,∴
x?,0
?0??x?0
?
2
??
1?k
2
?<
br>1?k
2
?
1?k
?
③当
0?k?1
时,<
br>x
?
?
x?
?
4k
?
4k
?0?0
?x?
?
1?k
2
?
1?k
2
,∴
x?<
br>?
?
0,
4k
?
2
?
1?k?
?
综上所述:当
k?0
时,
x?
?
0
?
;当
?1?k?0
时,
x?
?
?
当
0
?k?1
时,
x?
?
?
0,
4k
?
。
2
?
1?k
?
?
4k
?
;
,0
2
?
?
1?k
?
17
、解:(
I
)
f
?
x
?
,f
?
x
?
是“保三角形函数”,
f
?
x
?
不是“保三角形函
123
数”.
1
分
任给三角形,设它的三边长分别为
a,b,c
,则
a?b?c
,不妨假设
a剟c,bc
,
a?b?a?b?c?0
,所以
f
1
?
x
?
,f
2
?
x
?
是“保三角形函数”
.
由于
分
3
42
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
对于
f
?
x
?
,
3
,
3
,
5
可作为一个
三角形的三边长,但
3?3?5
,所
222
3
以不存在三角形以3,3,5
为三边长,故
f
?
x
?
不是“保三角形函<
br>222
3
数”.
4
分
(
II
)设
T?0
为
g
?
x
?
的一个周期,由于其值域为
?
0,??
?
,所
以,存
在
n?m?0
,使得
g
?
m
?
?1
,g
?
n
?
?2
,
取正整数
?
?
n?m
,可知
?
T?m,
?
T?m,n
这三个数
可作为一个三角形
T
的三边长,但
g
?
?
T
三边长
.
?m
?
?1
,
g
?
?
T?m
?
?1,g
?
n
?
?2
不能作为任何一个三角形的
故
g
?
x
?
不是
“
保三角形函
8
数
”
.
分
(
5
?
6
III
)
A
的最大值为
.
9
分
一方面,若
A?
5
?
,下证
F?
x
?
不是
“
保三角形函数
”.
6
取
?
,
5
?
,
5
?
?
?
0,A
?
,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但
266
s
in
?
2
?1,sin
5
?
15
?
1不能作为任何一个三角形的三边长,故
F
?
x
?
?,sin?<
br>6262
不是
“
保三角形函数
”.
另一方面,以下证明A?
5
?
时,
F
?
x
?
是
“
保三角形函数
”
.
6
对任意三角形的三边
a,b
,c
,若
a,b,c?(0,
5
?
)
,则分类讨论如下:<
br>
6
(
1
)
a?b?c…2
?
,
此时
a…2
?
?b?c?2
?
?
5
??
5
?
?
?
,同理,
b,c?
?
,<
br>
663
3
43
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
∴
a,b,c?
(
?
,
5
?
)
,故
sina,sinb,sinc
?(
1
,1]
,
sina?sinb?
1
?
1?1…sinc
.
362
22
同理可证其余两式
.
∴
sina,sinb,sinc
可作为某个三角形的三边长.
(
2
)
a?b?c?2
?
此时,
a?b
?
c
?
?
,可得如下两种情况:
22
a
?b
?
时,由于
ca?b
?
≤≤
a?b?c
,所以
,
0??
22222
.
由
sinx
在
(0,?
]
上的单调性可得
0?sin
c
?sin
a?b≤1
;
2
22
a?b
?
?
22时,
0?
c
?
?
?
a?b
?
?
,
222
?
2
?
?
?
上的单调性可得
ca?b
同样,由
sinx
在
?
0,
0?sin?
sin?1
;
??
22
总之,
0?sin
c?sin
a?b
≤1
.
22
又由
a?b?c?
5
?
及余弦函数在
?
0,
?
?
上单调递减,得<
br>
6
cos
a?b
a?bc5
?
?cos?cos?
cos?0
,
22212
∴
sina?sinb?2sin
a?b
cos
a?b
?2sin
c
cos
c
?s
inc
.
2222
同理可证其余两式,所以
sina,sinb,
sinc
也是某个三角形的三边
长.故
A?
5
?
时,
F
?
x
?
是
“
保三角形函数
”
.
6
综上,
A
的最大值为
5
?
.
6
18
、解:(Ⅰ)
S
1
?
a
(a
1
?1),
a-1
∴
a
1
?a,
44
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
当
n
?2
时,
a?S?S?
a
a?
a
a,
n
nn?1
a?1
n
a?1
n?1
a
n
?a
a
n?1
∴
a
,即
{a}
是等比数列.
n
n
?a?a
n?1
?a
n
……………………;
4
分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
b
则有
故
分
再将
a?
1
代入得
b
3
n
2?
?
n
a
(a
n
?1)<
br>(3a?1)a
n
?2a
a?1
?1?
n
aa
n
(a?1)
,若
{b}
为等比数列,
n
3a
?23a
2
?2a?2
b
2
?b
1
b
3<
br>,
b
1
?3,b
2
?,b
3
?,
a
a
2
1
3a?2
2
3a
2
?2a?2
a?
()?3?
aa
2
3
2
而
,解得,
………………………………
7
?3
n
成立,
以所
a?
1
3
.
……………………………………………………………
…
8
分
(
III
)证明:由(Ⅱ)知
1
a
n
?()
n<
br>3
,所以
113
n
3
n?1
c
n
?
???
1
n
1
n?1
3
n
?13
n?1<
br>?1
1?()1?()
33
3
n
?1?13
n?1
?1?111
?
n
?
n?1
?1?
n?1?
n?1
3?13?13?13?1
11
?2?(
n
?
n?1
)
3?13?1
,
…………………………………………………
得
9
分
由
所以
从而
11111111
?,
????,
3
n
?13
n
3
n?1
?13
n?1
3
n
?13
n?1
?13
n
3
n?
1
1311
c
n
?2?(
n
?
n?1
)?
2?(
n
?
n?1
)
3+13?133
111111
T
n
?c
1
?c
2
??c
n
?[2?(
?
2
)]?[2?(
2
?
3
)]?[2?(
n?
n?1
)]
333333
111111
?2n?[(?
2
)?(
2
?
3
)??(
n
?
n?1<
br>)]
333333
111
?2n?(?
n?1
)?2n?333
,
……………………
12
分
.
即
T
n
?2n?
1
3
.
……………………
45
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
……
14
分
19
、解:(
I
)
a
所以
(2?c)
2
1
?2
,
a
2
?2?c
,
a
3
?2?3c
,因为
a
1
,
a
2
,
a
3
成等比数列,
?2(2?3c)
,解得
c?0
或
c?2
.
?a
2
?a
3
,不符合题意舍去,故
c?2
.
……
当
c?0
时,
a
分)
1
4
分(文
6
(
II
)当
n≥2
时,由于
a
2
?a
1
?c
,
a
3
?a
2
?2
c
,……
a
n
?a
n?1
?(n?1)c
,所以
a
n
?a
1
?[1?2??(n?1)]c?
n(
n?1)
。
c
2
又
a
1
,,)
?2
,
c?2
,故
a
n
?2?n(n?1)?n
2
?n?2(n?23
n
.当
n=1
时,上式也成立,
所以<
br>a?n
2
?n?2(n?1,2,)
……8
分
n?
1
(
III
)
b
n
=3
2n-2
-3n-1
+2, ∴
lim
b
=9. ……12
分
n??
b
n
NP?2NQ
?
?
Q20
、解:(
1
)
?
?
GQ?PN?0
??
为
PN
的中点且
GQ
⊥
PN
?
GQ
为
PN
的中垂线
?
|PG|=|GN|
∴短半轴长
5
,
b=2
,∴点
G
的轨迹
N
为焦点的椭圆,∴
|GN|+|GM|=|MP|=6
,故
G
点的轨
迹是以
M
、
其长半轴长
a?3
,半焦距
c?
22<
br>xy
方程是
??1
94
………
5
分
(
2
)
因为
OS?OA?OB
,所以四边形
OASB
为平行四边形
若存在
l
使得
|
OS
|=|
AB
|
,则四边形
OASB
为矩形
?OA?OB?0
46
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
?
若
l
的斜率不存在,直线
l
的方程为
x=2
,由
?
?
x
?
x?2
?
2
得
?
y
2
25
??1
y??
??
4
?
9
3
?
x?2
?OA?OB?
16
?0,与OA?OB?0
矛盾,故
9
1122
l
的斜率存在
.
………
7
分
设
l
的方程为
y?k(x?2),A(x,y),B(x,y)
?
y?k(x?2)
?
由
?
x
2
y
2
?(9k
2
?4)x2
?36k
2
x?36(k
2
?1)?0
?
1
?
?
4
?
9
36k
2
36(k
2
?1)
?x
1
?x
2
?
2
,
x
1
x
2
?
9k?49k
2
?4
①
y
1
y
2
?[k(x
1
?2
)][k(x
2
?2)]
20k
2
?k[x<
br>1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4]??2
9k?4
2
②
……………
9
分
3
2
把①、②代入<
br>xx
12
?y
1
y
2
?0得k??
∴存在直线
l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?0
使得四边形OASB
的对角线相
等
.
21、
解:(1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面
直角坐标系,则
则
A
C?5?323219km
A?3,03,B,05,C,23
??
?
????
??
?
??
2
2
即A、C两个救援中心的距离为
219km
(2)
∵|PC|?|PB|
,所以P在BC线段的垂直平分线上
又
∵
,所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上,
|PBP|?|A|?4
且
AB?6
∴双曲线方程为
x
2
y
2
??1?
x?0
?
45
47
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
BC的垂直平分线的方程为
x
?3y?7?0
联立两方程解得:
x
??8
∴
P?8,53,k?tan∠PAB??3
PA
??
∴∠PAB=120°所以P点在
A点的北偏西30°处
(3)如图,设
P
Q?h,PB?x,PA?y
∵QB??QAx?h?y?h
2222
?
xy
2
?
2x
2
?h
2
??y
2
h
2
?
?
x?y
?
·
x?y
x
2
?h
2
??y
2
h
2
又∵
x?y
x
2
?h
2
?y
2
?h
2
?1
∴QB?QA
?PB?PA
∴
QB
1
?
QA
1
?
PB<
br>1
?
PA
1
即A、B收到信号的时间差变小
<
br>22
、
解:(Ⅰ)三个函数的最小值依次为
1
,
1?t
,……………………
…
3
分
由
f(1)?0
,得
c??a?b?1
∴ f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c?x
3
?ax2
?bx?(a?b?1)
?(x?1)[x
2
?(a?1)x?(a?b?1)]
,
故方程
x
2
?(a?1)x?(a?b?1)?0
的两根是
1?t
,
1?t
.
故
1?t?1?t??(a?1)
,
1?t?
1?t?a?b?1
.
………………………
4分
(1?t?1?t)
2
?(a?1)
2
,即
2?2(a?b?1)?(a?1)
2
∴
a
2
?2b?3
.
…………………………………………………………
5分
(Ⅱ)①依题意x,x
是方程
f'(x)?3x
2
12
?2ax?b?0
的根,
故有
x
1
?x
2
??
2a3
,
x?
b
1
x
2
3
,
1?t
,
48
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
且
△
?
(2a)
2
?12b?0
,得
b?3
.
由
|x
2a
2
2
?3b23?b
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?3
?
3
………………………
7分
23?b
3
?
2
3
;得,
b?2
,
a
2
?2b?3?7
.
由(
Ⅰ
)知
1?t?1?t??(a?1)?0
,故
a??1
,
∴
a??7
,
c??(a?b?1)?7?3
∴
f(x
)?x
3
?7x
2
?2x?7?3
.
…………………………
………………
9分
②
|M?N|?|f(x
1
)?f(x
)|
?|(x
3
2
?x
3
)?a(x
2
x
2
121
?
2
)?b(x
1
?x
2
)|
?|x
1
?x
2
|?|(x
1
?
x
2
)
2
?x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?b|
?
23?b
3
|(?<
br>2a
3
)
2
?
b
3
?a?(?
2a
3
)?b|
?
4
3
49?
27
(3?b)
2
(或
27
(
a
2
3
2
)
2
).
………………………………………
11分
由(<
br>Ⅰ
)
(a?1)
2
?(1?t?1?t)
2
?2?2
1?t
2
∵
0?t?1
,∴
2?(a?1)
2
?4
,
又
a??1
,
∴
?2?a?1??2
, ?3?a??2?1
,
3?22?a
2
?9
(或
2?b
?3
)
…………………
13分
∴
0?|M?N|?
4
3
27
(3?2)
2
.
……………………………
……
15分
23.(本小题满分
12
分)
解
:(
I
)由
x
2
?4y得y?
1
4
x2
,
?y
?
?
1
2
x.
∴直线
l
的斜率为
y
?
|
x?2
?1
,………
1
分
故
l
的方程为
y?x?1
,∴点
A
坐标为(
0
)
……………………………………
2
分
1
,
49
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
设
M(x,y)
则
AB?(1,0),BM?(x?2,y),AM?(x?1,y)
,
由
AB?BM?2|AM|?0
得
(x?2)?y?0?2?(x?1)
2
?y
2
?0.
<
br>2
x
整理,得
?y
2
?1.
……………………………
……
4
2
分
∴动点
M
的轨迹
C
为以原点为中心,焦点在
x
轴上,长轴长为
22
,
短轴长为
2
的椭
圆
……………………………………………………………
5
分
(
II
)如图,由题意知直线
l的斜率存在且不为零,设
l
方程为
y=k(x
-
2)(k
≠
0)
①
2
x
将①代入
?y
2
?1
,整理,得
<
br>2
(2k
2
?1)x
2
?8k
2
?x?(8
k
2
?2)?0
,
由△
>0
得
0
<
1
.
设
E(x
1
,
y
1
)
,
F(x
2
,
y
2
)
2
则
?
8k
2x?x
2
?
2
,
?
?
1
2k?1
?
2
?
xx?
8k?2
.
12
?<
br>2k
2
?1
?
②………………………………………………………
7
分
令
?
?
S
?OBE
S
?
OBF
,则
?
?
x?2
|BE|
,由此可得
BE?
?
?BF,
?
?
1
,且0?
?
?1.
|BF|x
2
?2
由②知
(x
1
?2)?(
x
2
?2)?
?4
,
2k
2
?1
2
2k?1
2
(x
1
?2)?(x
2
?2)?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?.?
2k
2
?14
?
1
2
??,即k??.??????
10分
8
(1?
?
)
2
(1?<
br>?
)
2
2
14
?
11
?
0?k
2
?,?0???,
2
222
(1?
?
)<
br>解得3?22?
?
?3?22.
又
?
0?
?
?1,
50
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
?3?22?
?
?1
.
∴△
OBE
与△
O
BF
面积之比的取值范围是(
3
-
2
2
,
1
)
.
……
12
分
24.(本小题满分
14
分)
解:(
I
)由题意
g(x)?px?
q
?2lnx,
x
qqq
?2,?pe??2?qe??2,
eee
11
?(p?q)e?(p?q)?0,?(p?q)(e?)?0,
ee
1
而e
??0,?
p
?
q
.
?????????????
3分e
又g(e)?pe?
2
p2pxx?p
p<
br>(
II
)由(
I
)知:
g(x)?px??2lnx
,
g
?
(x)?p?
2
??
?2
,
2xxx
x
令
h(x)=px
2
-
2x+p.
要
使
g(x)
在(
0
,
+
∞)为单调函数,只需
h(
x)
在(
0
,
+
∞)满足:
h(x)
≥
0
或
h(x)
≤
0
恒成立
.
………………
………………
4
分
①
p?0时,h(x)??2x
,?x?0,?h(x)?0,?g
?
(x)??
2x
?0,
<
br>x
2
+
∞)∴
g(x)
在(
0
,单调递减,
∴
p=0
适合题意
.
………………………
5
分
<
br>②当
p>0
时,
h(x)=px
2
-
2x+p
图象为开口向上抛物线,
称轴为
x=
1
∈(
0
,
+
∞)
.
∴
h(x)
min
=p
-1
.
只需
p
-
1
≥
0
,即
p
≥
1
ppp
时
h(x)
≥
0
,
g
′
(x)
≥
0
,
∴
g(x)
在
(0,+
∞
)
单调递增,∴
p
≥
1
意
.
…………………………
7
分
③当
p<0
时,
h(x)=px
2
-
2x+p图象为开口向下的抛物线,其对称
51
适合题
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
轴为x=
1
?
(
0
,
+
∞),
p
只需
h(0)
≤
0
,即
p
≤
0
时
h(0)
≤(
0,+
∞
)
恒成立
.
∴
g
′
(x)<0
,∴
g(x)
在(
0,+
∞)单调递减,∴
p<0
适合题意
.
p
≥
1或
p
≤
0.
……………………………………
9
综上①②
③可得,
分
(
III
)证明:①即证:
l
nx
-
x+1
≤
0 (x>0)
,
设
k(x)?lnx?x?1,则k
?
(x)?
1
?1?
1?x
.
xx
当
x
∈(
0
,
1
)时,
k
′
(x)>0
,∴
k(x)
为单调递增函数;
当
x
∈(
1
,∞)时,
k
′
(x)<0
,∴
k(x)
为单调递减函数;
∴
x=1
为
k(
x)
的极大值点,∴
k(x)
≤
k(1)=0.
即
lnx
-
x+1
≤
0
,∴
lnx
≤
x
-
1.
………………………………
11
分
.
②由①
知
lnx
≤
x
-
1,
又
x>0
,
?
n?N*,n?2
时
,
令
x?n
2
,
得
lnxx?11
???1?
xxx
lnn
2
1<
br>?1?.
n
2
n
2
lnn11
?
2
?(1?
2
),
2
nn
ln2ln3lnn1111
?2
?
2
?
?
?
2
?(1?
2
?1?
2
?
?
?1?
2
)
2
23223n
11111111
?[(n?1)]?(
2
?
2
?
?
?
2
)]?[(n?1)?(??
?
?)]
2
22?33?4n(n?1)
23n
1111111
?[n?1?(????
?
??)]
22334nn?1
111
?[n?1?(?)]
22n
?1
2n
2
?n?1
?
4(n?1)
∴结
论成
52
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析) 立
.
………………………………………………………………………
…
14
分
25.解:(Ⅰ)
当
n?2
时,
a
n
?a
a
n?1
a?1
a
1
?0,
(a
1
?1),
a
aa
a
n
?S
n?S
n?1
?a
n
?a
n?1
,
a?1a?1
S
1
?
∴
∴
a
,
即
{a}
是等比数列.
n
n
?a?a
n?1
?a<
br>n
………………;
4
分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
b
则有
故
所以
2
2
?
?
n
a
(a
n
?1)
(3a?1)a
n
?2a
a?1
?1?
n
aa
n
(a?1)
,若
{b}
为等比数列,
n
(
III
)证明:由(
Ⅱ)知
由
所以
从而
即
3a?23a
2
?
2a?2
b
2
?b
1
b
3
,
b
1
?3,b
2
?,b
3
?,
2
aa
113a?2
2
3a
2
?2a?2
n
b?3
a?a
?
()?3?
n
aa
2
33
1
a?
3113
n
3
n?1
1
n
c
n
????
a
n
?()
1
n
1
n?1
3
n<
br>?13
n?1
?1
3
1?()1?()
33
213
n
?1?13
n?1
?1?111
?
n
?<
br>n?1
?1?
n
?1?
n?1
?2?(
n
?
n?1
)
3?13?13?13?1
3?13?1
11111111
?,????,
3
n
?13
n
3
n?1
?
13
n?1
3
n
?13
n?1
?13
n
3
n?1
1311
c
n
?2?(
n
?
n?1
)?2?(
n
?
n?1
)
3?13?133
111
111
T
n
?c
1
?c
2
??c
n
?[2?(?
2
)]?[2?(
2
?
3
)]?[2?(<
br>n
?
n?1
)]
333333
111
111111<
br>?2n?[(?
2
)?(
2
?
3
)??(
n
?
n?1
)]
?2n?(?
n?1
)?2n?
33
3333
333
1
T
n
?2n?
3
而
,解得,再将代入得成立,
.
,所以
,
得
,
.
.…………………………
14
分
2
x
26
、解:(Ⅰ)设
?a
?x?(1?b)x
2
?cx?a?0(b?1)
bx?c
53
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
c
?
2?0??
?
a?0
?
?
1?b
∴
?
?
?
?
c
b?1?
??
2?0?
a
?2
?
1?b
?
由
f(
?2)?
?2
??
1
??1?c?3
1?c2
2
∴
x
2
f(x)?
c
(1?)x?c
2
又∵
b,c?N*
∴
c?2,b?2
∴
f(x)?
x
(x?1)
……………………
3
分
于
是
2(x?1)
2x2(x?1)?x
2
2x
2
?2xf
?
(x)??
4(x?1)
2
2(x?1)
2
由
f
?
(x)?0
得
x?0
或
x?2
;
由
f
?
(x)?
0
得
0?x?1
或
1?x?2
<
br>故函数
f(x)
的单调递增区间为
(??,0)
和
(2,??
)
,
单调减区间为
(0,1)
和
(1,2)
……………………
4
分
(Ⅱ)由已知可得
2S?a?a
,
当
n?2
时,
2S?a?a
22
nnnn?1n?1n?1
两式相减得
(a
∴
a
n
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?1)?0
??a
n?1
或
a
n
?a
n?1
??1
2
,若
a
n
??a
n?1
,则
a
2
?1
这与
a
n
?
1
矛盾
?a?a
111
?a
1
??1
当
n?1
时,
2a
nn?1
∴
a?a??1
∴
a??n
……………………
6
分
于是,待证不等式即为
1
?ln
n?1
?
1
.
n
n
为此,我们考
虑证明不等式
1
?ln
x?1
?
1
,x?0
x?1xx
令
1?
1
?t,x?0,
则
t?1
,
x?
1
xt?1
再令
g(t)?t?1?lnt
,
g
?
(t)?1?
1
由
t?(1,??)
知
g
?
(t)?0
t
n?1n
t?1?lnt
∴当
t?(1,??)
时,
g(t)
单调递增
∴
g(t)?g(1)?0
于是
即
1
?ln
x?1
,x?0
①
xx
令
h(t)?lnt?1?
1
,
h
?
(t)?
1
?
1
?
t?1
由
t?(1,??)
知
h
?
(t)?0
ttt
2
t
2
∴当
t?(1,??)
时,
h(t)
单调递增
∴
h(t)?h(1)?0
于是
lnt?1?
1
t
54
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
即
ln
x?1
?
x
1
,x?0
x?1
②
……………………
10
分
……
11
分
由①、②可知
所以,
1x?11
?ln?,x?0
x?1
xx
1n?11
1n?11
,即
1??ln??
?ln?
a
n
na
n
n?1nn
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
b
在
即
T
n
?
1
n
则
T
n
11
?1???
23
?
1
n
1n?11
中令
?ln?
n?1,2,3,
n?1nn<
br>?
123
l?nl?n?
200812
,2007
,并将各式
相加得
11
??
23
2008
l?n
20081
11
?1???
?
2007232007
?1?ln2008?T
2007
27
、解:(
1
)∵定义域
{x| x ≠
kπ
,
k
∈Z
}
关于原点对称,
f
(a
-
x)·f (a)
+
11
+
f
(a
-
x)
= =
又
f
(?
x
)
= f [
(
a
?
x
)
?
a]=
f (a)
-
f
(a
-
x)1
-
f (a
-
x)
f (a)·f
(x)
+
11
+
f
(x)
1
+
1
+
f (x)
-
f (a) f
(x)
-
1
2f (x)
= = =
?
f
(
x
),对于定义域内
f (a)·f
(x)
+
11
+
f
(x)
-
2
1
-
1
-
f
(x)
-
f (a) f
(x)
-
1
的每个
x
值都成立
∴
f<
br>(
x
)为奇函数
----------------------------
--------------------------------------------------
------
(
4
分)
(
2
)易证:
f
(
x + 4a
)
=
f
(
x
),周期为
4a
.
---------------
---------------------------
(
8
分)
f (a)·f (
-
a)
+
11
-
f
2
(a)
f2a
)
=
(
fa +
a
)
= f [a
?
]= =
(
3
)((?
a
)
f
(
-
a)
-
f (a)
-
2f (a)
55
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
=
0
,
f (2a)·f
(
-
a)
+
1
1
f3a
)
=
(
f2a + a
)
= f [2a
?
]= =
((?
a
)
f (
-
a)
-
f
(2a)
-
f (a)
=
?
1
.
3
a]
上单调递减为此,先证明
f
(
x
)在
[2a
,
必须证明
x
∈(
2a
,
3a
)时,
f
(<
br>x
)
< 0
,
设
2a < x <
3a
,则
0 < x
?
2a < a
,
f
(2a)·f (x)
+
1
1
=
?
>
0
,∴
f
(
x
)
<
∴
f
(
x
?
2a
)
=
f (x)
f
(2a)
-
f
(x)
0---------------------
(
10
分)
设
2a < x
1
< x
2
<
3a
,
则
0 < x
2
?
x
1
< a
,∴
f
(
x
1
)
< 0
f
(
x
2
)
< 0 f
(
x
2
?
x
1
)
>
0
,
f
(x
1
)·f (x
2
)
+
1
>
0
,∴
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
∴
f
(
x
1
)?
f
(
x
2
)
=
,
f
(x
2
-
x
1
)
∴
f
(
x)在
[2a
,
3a]
上单调递减
--------------
------------------------------------
(
12
分)
∴ f
(
x
)在
[2a
,
3a]
上的最大值为
f
(
2a =
0
,最小值为
f
(
3a
)
=
?
1
28、解:(Ⅰ)设点M(x,y),由
2PM?3MQ?0
得P(0,<
br>?
y
),Q(
x
,0
).
2
3
由
RP?PM?0,
得(3,
?
y
)·(
x
,
3y
)=0,即
y
22
2
?4x
又点Q在x轴
的正半轴上,
?
方程是
y
2
x?0
故点M的轨迹C的
?4x(x?0)
.……6分
56
(Ⅱ)解法一:由题意可知N为抛
物线C:y
2
=4x的焦点,且
全国名校高考数学复习优质专题汇编(
附经典解析)
A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。
当直线AB斜率不存在时,
得A(1,2),B(1,-2),|AB|
?4?
16
,
3
不合题
意;………7分
当直线AB斜率存在且不为0时,设
l
AB
: y?k(
x?1)
,代入
y
2
?4x
得
k
2
x2
?2(k
2
?2)x?k
2
?0
则|AB
|
?x?x
2(k
2
?2)416
12
?2?
k<
br>2
?2?4?
k
2
?
3
,解
k
2<
br>?3
…………………10分
代入原方程得3x
2
?10x?3?0
,由于
x
1
?1
,所
以
x
1
1
?3,x
2
?
3
,
由
AB?
?
AN
,
3?
1
?
?
x
2
?x
1
3
x?x
??
4
.
……………………13分
N1
3?13
解法二:由题设条件得
?
?
?
y
2
1
?4x
1
(1)
?
?
y
2
2
?4x
2
(2)
?
x
2<
br>?x
1
?
?
(1?x(3)
?
1<
br>)
?
y
2
?y
1
??
?
y
1
(4)
?
?
?
(x
2
?x
22
16
1
)?(y
2
?y
1
)?
3
(5)<
br>由(3)、(4)得
?
?
x
2
?x
1
??
(1?x
1
)
?
y
2
?(1?
?<
br>)y
1
代入(2)得(1?
?
)
2
y2
1
?4x
1
?4
?
(1?x
1
)<
br>再把(1)代入上式并化简得
(
?
?1)x
1
?1
(6)
??
9分
同样把(3)、(4)代入(5)并结合(1)
化简后可得(
1?x
1
)
?
?
16
3
(7)
??
11分
由(6)、(7)解得
?
?
?
?
?
43
或
?
?
?
?4
,又,故
4
. ?
?
?
x
x
1
x
1
?1
?<
br>?
3
1
?3
?
?
1
?
3
得
得
57
全国名校高考数学复习优质专题汇编(附经典解析)
29
、解:(Ⅰ
)设椭圆
W
22
xy
的方程为
2
?
2
?1
,由题意可知
ab
y
A
?
c6
?,?
a3
?
?
222
?
a?b?c,
解得
a?6
?
2
a
?
2??6,
?
c
?,
c?2
,
B
M
F
C
O
x
b
?2
,
所以椭圆
W
的方
分
程为
x
2
y
2
??1
.……………………………………………
4
62
(Ⅱ)解法
2
a
1
:因为左准线方程为
x?
???3
,所以点
M
c
坐标为
(?3,0)
.
于是
可设直线
l
的方程为
y?k(x?3)
.
?<
br>y?k(x?3),
?
2
2222
2
得
(1?3k)
x?18kx?27k?6?0
.
?
xy
?1
?
?
2
?
6
由直线
l
与椭圆
W
交于
A
、
B
两点,可知
??(18k
2
)
2
?4(1?3k
2
)(27k
2
?6)?0
,解得
k
2
?
2
.
3
22
设点
A
,<
br>B
的坐标分别为
(x,y)
,
(x,y)
,
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