2018江西高中数学上册课本内容-初中生写高中数学
2018年高考数学大题压轴题选讲含答案
1.已知数集
A?
?
a
1
,a
2
,...a,
n
??(1a
1
?a
2
?
有性质
P
:对任意的k
?
2?k?n
?
,
?...a
n
n?,
具
2)
?i,j
?
1?i?j?n
?
,使得
a
k
?a
i
?a
j
成立.
(Ⅰ)分别判
断数集
?
1,3,4
?
与
?
1,2,3,6
?是否具有性质
P
,并说明理由;
(Ⅱ)求证
a
n
?2
a
1
?a
2
?...?a
n?1
?
n?2
?
;
(Ⅲ)若
a
n
?72
,求数集
A
中
所有元素的和的最小值.
2.已知数列
满足:
,
. (其中 为自然对数的底数, )
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)设
,是否存在实数 ,使得
对任意
成立?若存在,求出
的
一个值;若不存在,请说明理由.
3.数列
?
x
n
?
满足:
x
1
?1
,
x
n?1
?
x
n
?4
,
n?N
*
x
n<
br>?1
(Ⅰ)判断
x
n
与
2
的大小关系,并证明你的结
论;
(Ⅱ)求证:
x
1
?2?x
2
?2??x
n
?2?2
.
2
?
a
n
?
?
a
n
?4
4.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,
a
n?1
?
a
n
?2
,其中
n?
N
*
,
?
,
?
为非零常数.
(1)若
?
?3
,
?
?8
,求证:
?
a
n
?1
?
为等比数列,并求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)若数列
?
a
n
?
是公差不等于零的等差数列.
①求实数
?
,
?
的值;
②数列
?
a<
br>n
?
的前
n
项和
S
n
构成数列
?<
br>S
n
?
,从
?
S
n
?
中取不同的四
项按从小到大排列组成四项子数列.试问:
是否存在首项为
S
1
的四项子数列
,使得该子数列中的所有项之和恰好为2017?若存在,求出所有满足条
件的四项子数列;若不存在,
请说明理由.
5.已知数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
,
S
n
为数列
?a
n
?
的前
n
项和,
a
2
?4b
1
,
S
n
?2a
n
?2
,
nb
n?1
?
?
x?1
?
b
n
?n
2
?n
?
n?N
*
?
.
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
试卷第1页,总7页
(2)证明
?
?
b
n
?
?
为等差数列.
n
??
a
n
b
n
,n为奇数
2
(3)若数列
?
c
n
?
的通项公式为
c
n
?{
,令
P
n
?c
2
n?1
?c
2n
.
T
n
为
?
P
n
?
的前
n
项的和,求
a
n
b
n
,
n为偶数
4
?
T
n
.
6.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,
a
n?
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)求证:对任意的
n?N
*
,都有
①
n
a
n?1
?
n?2
?
.
n?1
123
???
222
a
1
a
2
a<
br>3
?
n
a
n
2
?3
;
②
111
???
a
n
a
n?1
a
n?2
?<
br>1
a
nk?1
?
2
?
k?1
?
k?
1
(
k?2,k?N
).
*
7.在数列
?
an
?
中,若
a
1
,a
2
是整数,且
a
n
?{
5a
n?1
?3a
n?2
,a
n?
1
?a
n?2
为偶数,
(
n?N
*
,且
n?3
).
a
n?1<
br>?a
n?2
,a
n?1
?a
n?2
为奇数,
(Ⅰ)若
a
1
?1
,
a
2
?2
,写出<
br>a
3
,a
4
,a
5
的值;
(Ⅱ)若在数列
?
a
n
?
的前2018项中,奇数的个数为
t
,求
t
得最大值;
(Ⅲ)若数列
?
a
n
?
中,
a
1
是奇数,
a
2
?3a
1
,证明:对任意
n?N
*
,
a
n
不是4的倍数.
8.设等差数列
?
a
n?
的公差为
d
1
,等差数列
?
b
n
?
的公差为
d
2
,记
c
n
?max
?
b
1
?a
1
n,b
2
?a
2
n,???
b
n
?an
n
?
?
n?1,2,3???
?
,其中
max
?
x
1
,x
2
,???
x
s
?
表示
x
1
,x
2
,???x
s
这
s
个数中最大的数
(1)若
a
n
?2n,
b
n
?4n?2
,求
c
1
,c
2
,c3
的值,并猜想数列
c
n
的通项公式(不必证明)
111?
?2
n
(2)设
a
n
??n,b
n
??n?2
,若不等式 对不小于2的一切自然数n都
???????
c
2<
br>?2c
3
?2c
n
?2n
成立,求
?
的取值
范围
(3)试探究当无穷数列
?
c
n
?
为等差数列时,
d
1
、
d
2
应满足的条件并证明你的结论
9.已知数列
?
a
n
?
满足上:
a
1
?1
,
a
n?1
?a
n
2
?2a
n
?3?bn?N
*
.
??
试卷第2页,总7页
(1)若
b?1
,证明:
数列
?
?
a
n
?1
?
?
是等差数列; <
br>2
(2)若
b??1
,判断数列
?
a
2n?1
?
的单调性并说明理由;
(3)若
b??1
,求证:
a
1
?a
3
???a
2n?1
?
10.在数列
?<
br>a
n
?
中,
a
1
?
3n?4
.
6
38a
n
?1
20
19
,
a
n?1
?
,
b
n
?
,其中
n?N
*
.
4a
n
?422a
n
?1
2
⑴
求证:数列
?
b
n
?
为等差数列;
2
⑵
设
c
n
?b
n
b
n?1
cosnπ
, <
br>n?N
*
,数列
?
c
n
?
的前
n<
br>项和为
T
n
,若当
n?N
*
且
n
为
偶数时,
T
n
?tn
恒
成立,求实数
t
的取值范围;
⑶ 设数列
?
a
n
?
的前
n
项的和为S
n
,试求数列
?
S
2n
?S
n
?<
br>的最大值.
11.(本小题满分16分)已知数列
?
a
n
?
的奇数项是首项为
1
的等差数列,偶数项是首项为
2
的等比数列,<
br>数列
?
a
n
?
前
n
项和为
S
n
,且满足
S
5
?2a
4
?a
5
,a<
br>9
?a
3
?a
4
.
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)若<
br>a
m
a
m?1
?a
m?2
,求正整数
m的值;
(3)是否存在正整数
m
,使得
不存在,说明理由.
12.(本小题满分16分)设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,满足
a
n
?S
n
?An<
br>2
?Bn?C
(A?0,n?N
*
)
.
(1)当
C?1
时,
①设
b
n
?a
n<
br>?n
,若
a
1
?
39
,
a
2
?
.求实数
A,B
的值,并判定数列
?
b
n
?<
br>是否为等比数列;
24
B?1
的值;
A
*
S2m
恰好为数列
?
a
n
?
中的一项?若存在,求出所有
满足条件的
m
值,若
S
2m?1
②若数列
?
an
?
是等差数列,求
n
311
?
?
1?
2
?
2
, (2)当
C?0
时,若数列
?
an
?
是等差数列,
a
1
?1
,且
?n?N,
?
?
n?1
i?1
a
i
a
i?1<
br>求实数
?
的取值范围.
1
13.(本小题满分13分)已知二次函数
y?f(x)
的图象的顶点坐标为
(?1,?)
,且过坐标原点
O<
br>.数列
{a
n
}
3
?
的前
n
项和为
S
n
,点
(n,S
n
)(n?N)
在二次函数y?f(x)
的图象上.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
?2
(Ⅱ)
设
b
n
?a
n
a
n?1
cos(n?1)
?
,(n?N)
,数列
{b
n
}
的前
n
项
和为
T
n
,若
T
n
?tn
对
n?N
?
恒成立,求
试卷第3页,总7页
实数
t
的取值范围;
(Ⅲ)在数列
{a
n
}
中是否存在这样一些项:
a
n
1
,a
n
2
,a
n
3
,,a
n
k
,
(1?n
1
?n
2
?n
3
??n
k
?,k?N
?
)
,
?
q(0?q?5,q?N)
为公比的等比数列
{a}
,k?N
?
?若存在,这些项都能够构成以
a
1
为首项,写出
n
k
关
n
k
于
k
的表达式;若不存在,说明理由
.
14.(本小题满分12分)设数列
{a
n
}
的首项为1,前n
项和为S
n
,且
S
n+1
?n
2
?a
n?
1
(
n?N
*
).
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)设
b
n
?
1
,
T
n
是数列
{b
n}
的前n项和,求
T
n
.
a
n
a
n
?1
15.(本小题满分13分)设数列
?
a
n
?
满足:
①
a
1
?1
;
②所有项
a
n
?N*
;
③
1?a
1?a
2
?...?a
n
?a
n?1
?...
.
设集合
A
m
?
?
n|a
n
?m,m?N*
?
,将集合
A
m
中的元素的最大值记为
b
m
,即
b
m
是数列
?
a
n
?
中满足不等式
a
n
?m
的所有项的项数的最大值.我们称数列
?
b
n
?
为数
?
a
n
?
的伴随数列.例如,数列1,
3,5的伴随数
列为1,1,2,2,3.
(Ⅰ)若数列
?
a
n<
br>?
的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列
?
a
n?
;
(Ⅱ)设
a
n
?3
n?1
,求数列?
a
n
?
的伴随数列
?
b
n
?
的前30项之和;
2
(Ⅲ)若数列
?
a
n
?
的
前
n
项和
S
n
?n?c
(其中
c
常数),
求数列
?
a
n
?
的伴随数列
?
b
m
?
的前
m
项和
T
m
.
16.(本
小题满分12分)已知正项数列
{a
n
}
的首项
a
1
?1
,前
n
项和
S
n
满足
a
n
?
(1)求证:
{S
n
}
为等差数列,并求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)记数列
{
值范围.
17.已
知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
,设数
列
?
b
n
?
满足
b
n
?2
?S
n?1
?S
n
?
S
n
?n
?
S
n?1
?S
n
?
n?N
*
.
(1)
若数列
?
a
n
?
为等差数列,且
b
n
?0
,求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)若
a
1
?1
,
a
2
?3
,且数列
?
a
2n?1
?
,
?
a
2n<
br>?
都是以2为公比的等比数列,求满足不等式
b
2n
?b
2n
?1
试卷第4页,总7页
S
n
?S
n?1
(n?2)
.
1
}的前
n
项和为
T
n
,若对任意的
n?N
*,不等式
4T
n
?a
2
?a
恒成立,求实数
a
的取
a
n
a
n?1
??
的所有正整
数n的集合.
nn
18.(本小题满分18分)已知数列
{a
n
}
,
a
n
?p?
?
q(p?0,q?0,p?q,
?
?R,
?
?0,n?N*)
.
(1)求证:数列
{an?1
?pa
n
}
为等比数列;
(2)数列
{an
}
中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列?试说明理由;
nn
(3)设
A?{(n,b
n
)|b
n
?3?k,n?N*}
,其中
k
为常数,且
k?N
?
,
B?{(n,c
n
)|c
n
?5
n
,n?N*}
,求
AB
.
19.(本题满分14分)在单调递增数列
{a
n
}
中,a
1
?2
,
a
2
?4
,且
a
2n?1
,a
2n
,a
2n?1
成等差数列,
a
2
n
,a
2n?1
,a
2n?2
成等比数列,
n?1,2,3
,?
.
(Ⅰ)(ⅰ)求证:数列
{a
2n
}
为等差数列;
(ⅱ)求数列
{a
n
}
的通项公式.
(Ⅱ)设数列
{
1
4n
,
n?N
*
. <
br>}
的前
n
项和为
S
n
,证明:
S
n
?
a
n
3(n?3)
20.(本小题满分12分)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对任意的正整数n,都有a
n
=4Sn
+1成立.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
1
3
(2)设b
n
=log
3
|a
n
|,数列{}
的前n项和为T
n
, 求证:T
n
<.
b
n
?b
n?2
4
21.(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题
4分,第(3)小题8分.
已知数列
?
a
n
?
是公差不为
0
的等差数列,
a
1
?
3
,
数列
?
b
n
?
是等比数列,且
b
1
?a
1,
b
2
??a
3
,b
3
?a
4
,
2
*
数列
?
b
n
?
的前
n<
br>项和为
S
n
,记点
Q
n
(b
n
,S
n
),n?N
.
(1)求数列
?
b
n
?
的通项公式;
(2)证明
:点
Q
1
、Q
2
、Q
3
、、Q
n
、
在同一直线
l
上,并求出直线
l
方程;
(3)若
A?S
n
?
1
?B
对
n?N
*
恒成立,
求
B?A
的最小值.
S
n
22.(本小题满分15分)已知数列<
br>?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足:
S
n
?t
?
S
n
?a
n
?
1
?
(
t
为常数,且
t?0,t?1
).
2(1)设
b
n
?a
n
?S
n
?a
n<
br>,若数列
?
b
n
?
为等比数列,求
t
的值;
(2)在满足条件(1)的情形下,设
c
n
?4a
n
?1<
br>,数列
?
c
n
?
的前
n
项和为
T<
br>n
,若不等式
12k
?2n?7
对任意的
n?N*
恒成立,求实数
k
的取值范围.
4?n?T
n
试卷第5页,总7页
23.(本题13分)已知数列
?
a
n
?
中
,
a
1
?t(t为常数,t?0且t?1)
,
a
2
?t
2
,当
n?N,n?2
时,
?
a
n?1
?(t?1)a
n
?ta
n?1
.
(1)求证
?
a
n?1
?a
n
?
为等比数列,并求数列
?
a<
br>n
?
的通项公式;
(2)若
t?2,
若
?
n?N
?
,
A?
111
??
?
??B
,试
求实数
A
、
B
的取值范围.
a
2
?a
1
a
3
?a
2
a
n?1
?a
n
24
.(本小题满分14分)给定正奇数
n
?
n?5
?
,数列
?
a
n
?
:
a
1
,a
2
,
...
,a
n
是1,2,…,
n
的一个排列,
定义E(a
1
,a
2
,…,
a
n
)
?|a1
?1|?|a
2
?2|?
...
?|a
n
?
n|
为数列
?
a
n
?
:
a
1
,<
br>a
2
,…,
a
n
的位差和.
(1)当
n?
5
时,求数列
?
a
n
?
:1,3,4,2,5的位差和;
(2)若位差和E(
a
1
,
a
2
,…,
a
n
)=4,求满足条件的数列
?
a
n
?
:
a
1
,
a
2
,…,
a
n
的个数;
2
n?1
(3)若位差和
E
?
a
1
,a
2
,
...
,a
n
?
?
,求满足条件的数列
?
a
n
?
:
a
1
,a
2
,...
,a
n
的个数.
2
25.(本小题满分13分) 若有穷数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,,a
m
(
m
是正整数)满足条件:
a
i
?a<
br>m?i?1
(i?1,2,3,,m)
,则称其为“对称
数列”.例如,
1,2,3,2,1
和
1,2,3,3,2,1
都是“对称数列”.
(Ⅰ
)若
{b
n
}
是25项的“对称数列”,且
b
13
,
b
14
,
b
15
,
的所有项和
S
;
(Ⅱ)若
{c
n
}
是50项的“对称数列”,且
c<
br>26
,c
27
,c
28
,
的前
n
项
和
S
n
,
1?n?50,n?N
.
26.(本题满分13
分)已知函数
?
,
b
25
是首项为1,公比为2的等比数列.求{b
n
}
,
c
50
是首项为1,公差为2的等差数列.
求
{c
n
}
f(x)?x
2
sinx
,各项均不相
等的有限项数列
{x
n
}
的各项
x
i
满足
|x
i
|?1
.令
F(n)?
?
x
i
?<
br>?
f(x
i
)
i?1i?1
nn
,
n?3<
br>且
n?N
,例如:
F(3)?(x
1
?x
2
?x
3
)?(f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
3
))
.
(Ⅰ)若
a
n
?f
?
?
?
,数列
?
a
n
?
的前n项和为S
n,
求
S
19
的值;
(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假,并说明理由。
①
存在数列
{x
n
}
使得
F(n)?0
;②如果数列
{x
n
}
是等差数列,则
F(n)?0
;
③如果数列{x
n
}
是等比数列,则
F(n)?0
。
27.(本
小题满分13分)已知等比数列
?
a
n
?
的公比
q?1,前n项和为
S
n
,S
3
?7
且
a
1
?3,3a
2
,a
3
?4
成等
试卷第6页,总7页
?
n
?
?
2
?
差数列,数列
?
b
n
?
的前n项和为
T
n
,6T
n<
br>?(3n?1)b
n
?2
,其中
n?N
?
。
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)求数列
?
b
n
?
的通项公式;
(3)设<
br>A?{a
1
,a
2
,,a
10
},B?{b
1
,b
2
,,b
40
}
,
C?AB
,求集
合
C
中的所有元素之和。
1
a
n
?1
.
2
28.数列
{a
n
}
的前
n
项和是
S
n
,且
S
n
?
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
2
a
n
3
1
(2)记
b
n
?log
3
,数列
{
.
}
的前n
项和为
T
n
,证明:
T
n
?
416
b
n
?b
n?2
29.已知数列
?
an
?
中,
a
1
?a,a
2
?t
(常数
t?0
),
S
n
是其前
n
项和,且
Sn
?
n
?
a
n
?a
1
?
.
2
(1)试确定数列
?
a
n
?
是否为等差数列,若
是,求出其通项公式;若不是,说明理由;
(2)令
b
n
?
Sn?2
S
n?1
?,证明:2n?b
1
?b
2
?????b
n
?2n?3
?
n?N
*
?
. S
n?1
S
n?2
a
1
1
?0,n?N
*
. ,
n?1
?
2
a
n?1
?1a
n
?1
30.(本题满分14分)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
(1)求证:数列
{
1
}
是等
差数列;
a
n
?1
(2)设
b
n
?
a<
br>n?1
3
?1
,数列
?
b
n
?
的前
n
项之和为
S
n
,求证:
S
n
?
.
a
n
4
试卷第7页,总7页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
参考答案
1.(1)具有(2)见解析(3)最小值为
147
【解析】试题分析:
(1)利用性质
P
的含义及特例可判断数集
?
1,3,4
?
不具有性质
P
,数集
?
1,2,3,
6
?
具有性质
(2)数集
A
具有性质
P
可得
a
n?1
?2a
n?2
,
a
n?2
?2a
n?3
,
P
.
将上述不
等式相加得
a
2
?
a
3
?2a
2
,
a
2
?2a
1
,
?n
?
n
a<
br>?
?
1n
a?2
?
?
1
a?
2a?
?
,
a
1
化简得
a
n
?2a1
?a
2
??a
n?
,即为所求.(3)由
a
1
?1
及性质
P
可得
a
2
?2a
1
?2
,从而易知
数集
A
的元素都是整数,构造
A?
?1,2,3,6,7,18,36,72
?
或者
A?
?
1,2,
4,5,9,18,36,72
?
,
此时元素和为
147
,然后再证
明
147
是最小的和.
试题解析:
(
1
)∵
3?1?1
,
∴数集
?
1,3,4
?
不具有性质
P
.
∵
2?1?1
,
3?1?2
,
6?3?3
,
∴数集
?
1,2,3,6
?
具有性质
P
.
(
2
)∵集合
A?
?
a
1
,a
2
,,a
n
?
具有性质
P:
即对任意的
k
?
2?k?n
?
,
?i
,
j
?
1?i?j?n
?
使得
a
k
?a
j
?a
i
成立,
又
1?a
1
?a
2
?a
n
,
n?2
,
∴
a
i
?a
k
,
a
j
?a
k
,
∴
a
i
?a
k?1
,
a
j
?a
k?1
,
∴
a
k
?a
i
?a
j
?2a
k?1
,
即
a
n?1
?2a
n?2
,
a
n?2
?2a
n?3
,
将上述不等式相加得
a
2
?
化简得
a
n
?2a
1
?a
2
?
(
3
)最小值为
147
.
首先注意到
a
1
?1
,根据性质
P
,得到
a
2
?2a
1
?2
,
所以易知数集
A
的元素都是整数,
构
造
A?
?
1,2,3,6,7,18,36,72
?
或者
A
?
?
1,2,4,5,9,18,36,72
?
,这两个集合具有性质
P
,
答案第1页,总45页
a
3
?2a
2
,
a
2
?2a
1
,
?a
n?1
?a
n
?2
?
a
1
?a
2
??a
n?1?
,
?a
n?1
.
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
此时元素和为
147
.
下面,证明
147
是最小的和.
假设数集
A?
?
a
1
,a
2
,
n
,a
n
?
(a
1
?a
2
??a
n
,n?2)
,满足
S?
?
a
i
?147
最
小(存在性
i?1
n
显然,因为满足
?
a
i?1
i
.
?147
的数集
A
只有有限个)
第一步:首先说明集合
A?
?
a
1
,a
2
,,a
n
?<
br>(a
1
?a
2
?
,
?a
n
,n?2)
中至少有
8
个元素:
由(
2
)可知,
a
2
?2a
1
,
a
3
?2a
2
,
又
a
1
?1
,
∴
a
2
?2
,
a
3
?4
,
a
n
?8
,
a
5
?16
,
a
6
?32
,
a
7
?64?72
,
∴
n?8
.
第二步:证明
a
n?1
?36
,
a
n?2
?18
,
a
n?3
?9
,
若
36?A
,设
a
t
?36
,
∵
a
n
?72?36?36
,为了使
S?
?
a
最小
,
i
i?1
n
在集合
A
中一定不含有元素
ak
,使得
36?a
k
?72
,
从而
a
n?1
?36
;
若
36?A
,根
据性质
P
,对
a
n
?72
,有
a
i
,
a
j
,使得
a
n
?72?a
i
?a
j
,
显然
a
i
?a
j
,
∴
a
n
?a
i
?a
j
?144
,
此时集合
A
中至少有
5
个不同于
a
n
,
a
i
,
a
j
的元素,
从而
S?an
?a
i
?a
j
?5a
1
?149
,
矛盾,
∴
36?A
,进而,
a
t
?36
,且
a
n?1
?36
.
同理可证:若
18?A
,则
a
n?2
?18
.
假设
18?A
,
∵
a
n?1
?36
,根
据性质
P
,有
a
i
,
a
j
,使得
a
n?1
?36?a
i
?a
j
,
答案第2页,总45页
??
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
显然
a
i
?a
j
,
∴
a
n?a
n?1
?a
i
?a
j
?144
,
此时集合
A
中至少还有
4
个不同于
a
n
,
a
n?1
,
a
i
,
a
j
的元素,
从而
S?a
n
?a
i?a
j
?a
n?1
?4a
1
?148
,矛盾,
∴
18?A
,且
a
n?2
?18
,
同理可证:若
9?A
,则
a
n?3
?9
.
假设
9?A
,
∵
a
n?2
?18
,根据
性质
P
,有
a
i
,
a
j
,使得
a
n?2
?18?a
i
?a
j
,
显然
a
i
?a
j
,
∴
a
n?a
n?1
?a
n?2
?a
i
?a
j
?144
,
此时集合
A
中至少还有
3
个不同于
a
n
,
a
n?1
,
a
n?2
,
a
i
,
a
j
的元素,
从而
S?an
?a
n?1
?a
n?2
?a
i
?a
j
?3a
1
?147
,矛盾,
∴
9?A
,且
a
n?3
?9
.
至此,我们得到
3a
n?1
?36
,
a
n?2
?18
,
a
n?3
?9
,
a
i
?7
,
a
j
?2
,
根据性质
P
,有
a
i
,
a
j
,
使得
9?a
i
?a
j
,我们需要考虑如下几种情形:
①
a
i
?8
,
a
j
?1
,此时
集合中至少还需要一个大于等于
4
的元素
a
k
,才能得到元素
8
,
则
S?148
;
②
a
i
?7
,
a
j
?2
,此时
集合中至少还需要一个大于
4
的元素
a
k
,才能得到元素
7
,则
??
S?148
;
③
a
i
?6
,
a
j
?3
,此时
集合
A?
?
1,2,3,6,9,18,36,72
?
,
S
最小
?147
;
④
a
i
?5
,
a
j
?4
,此时
集合
A?
?
1,2,4,5,9,18,36,72
?
,
S?147
.
综上所述,若
a
n
?72
,则数集
A
中所有元素的和的最小值是
147
.
2.(1)见解析(2)
不存在满足条件的实数
【解析】试题分析:(1)第(Ⅰ)问,先证明一个不等式
,再利用该不等式证明
答案第3页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
. (2)第(Ⅱ)问,先利用数学归纳法证明
,再利用该不等式证
明不存在实数M.
试题解析:(Ⅰ)证明:设
,令
,得到 .
当 时, , 单调递减;当
时, , 单调递增.
故 ,即
(当且仅当 时取等号).
故
,所以
.
(Ⅱ)先用数学归纳法证明
.
①当 时,
.②假设当 时,不等式
成立,那么当
时,
所以
,也成立.故对
都有
.
.
取
,
.
即
.
所以,对任意实数 ,取 ,且
,
,
则
.
故,不存在满足条件的实数 .
点睛:本题难点在于思路的找寻,本题难度较大. 第(Ⅰ)问,先证明一个不等式
,第
(Ⅱ)问,先利用数学归纳法证明
题整体分析的结果.
3.(1)当
n
为奇数时,
x
n
?2?
,之所以要证明这两个不等式,当然是
对试
4
?
?3
?
n
?1
?0
,即
x
n
<
2
;当
n
为偶数时,
x
n
?2?
4
?
?3
?
n
?1
(2)见解析.
?0
,
x
n
>
2
;
【解析】试题分析:(Ⅰ) 分当
n<
br>为奇数时和当
n
为偶数时两种情况,将
x
n
与2作差,变形<
br>即可判断
x
n
与
2
的大小关系;
(Ⅱ) 要证x
1
?2?x
2
?2?
只需证
x
n
?
2?
?x
n
?2?2
,
4
?
?3
?n
?1
?
1
,验证可知当
n?1
时,当
n?2
时不等式成立,
n?1
2
当
n
为偶数且
n?4
时,
答案第4页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
41
?<
br>2
??
1
?
要证
x
n
?2?
n?
n?1
,只需证
2?2
n
?3
n
?1
,即证
2?
??
?
??
?1
,
3?12
?
3
??
3
?
nn
?
2
??
1
?
令
f
?
n
?
?2?
??
???
,则
f
?
n
?
单调递减,即可证明;
?
3
??
3
?
当
n
为奇数且
n?3
时,要证
x
n
?2?
n
nn
41
,只需证
2?2
n
?3
n
?1
,
?
nn?1
3?
12
n
?
2
??
2
?
只需证
2?2
n
?3
n
,即证
2?
??
?1
,令
g<
br>?
n
?
?2?
??
,讨论单调性即可证明.
?
3
??
3
?
试题解析:Ⅰ)
当
n
为奇数时,
x
n
<
2
;当
n
为偶数时,
x
n
>
2
. 证明如下:
x
n?1?2?
?
?
x
n
?2
?
x
n
?1
,
两边同取倒数得:
x?1
13
??
n
???1
,
x
n?1
?2x
n
?2x
n
?2
?
1111
????3?
?
?
?
,
x
n?1
?24
?
x
n
?24
?
所以数列
?
?
11?
3
?
?
是以
?
为首项,
?3
为公比的等比数列,
4
?
x
n
?24
?
113
4
n?1
????
?
?3
?
,
x
n
?2?
,所以当
n
为奇数时,
n
x
n
?244
?
?3
?
?1
x
n
?
2?
4
?
?3
?
n
?1
?0
,即
x
n
<
2
;当
n
为偶数时,
x
n
?2?
4
?
?3
?
n
?1
?0
,
x
n
>
2
.
(Ⅱ)证明:因为
1
?<
br>1
?
1??
??
?
2
?
2
?
2
?
1
?
1?
??
n?1
2
?
1
?
?
??
?
??
?2
,
1
?
2
?
1?
2
?x
n
?2?2
,
n
要证
x
1
?2?x
2
?2?
只需证
x<
br>n
?2?
4
?
?3
?
n
?1
?1
,
n?1
2
答案第5页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
当
n?1
时,
x
1
?2?2
成立,当
n?2
时,
x
1
?2?x
2
?2?1?
当
n
为偶数且
n?4
时,
要证
x
n
?2?
1
?2
成立,
2
41
,
?
nn?1
3?12
只需证
2
?2
n
?3
n
?1
,即证
?
2
??1
?
2?
??
?
??
?1
,
?3
??
3
?
?
2
??
1
?
令
f
?
n
?
?2?
??
?
??
,则
f
?
n
?
单调递减,
f
?
n
?
max
?f
?
4
?
?1
,
?
3
??
3
?
当
n
为奇数且
n?3
时,
要证
x
n
?2?
nn
nn
41
,
?
3
n
?12
n?1
只需证
2?2
n
?
3
n
?1
,
只需证
2?2
n
?3
n
,
?
2
??
2
?
即证
2?
??
?1
,令
g
?
n
?
?2?
??
,
?
3
??
3
?
则
g
?
n
?
单调递减,
g
?
n
?
max
?g
?
3
?
?1
所以
x
n
?2?
,
nn
4
?
?3
?
n
?1
?
1
成立,
2
n?1
所以<
br>x
1
?2?x
2
?2??x
n
?2?2
成立
.
n?1
4.(1)
a
n
?2?3?1
(2)①
?
?1
,
?
?4
,
a
n
?2n?1<
br>.②
?
S
1
,S
4
,S
8
,S44
?
,
?
S
1
,S
12
,S24
,S
36
?
,
?
S
1
,S4
,S
20
,S
40
?
【解析】试题分析:
(1)利用等比数列定义证明,即寻找
a
n?1
?1
与
a
n
?1
比例关系:利
2
3a
n
?8a
n
?4
用
a
n?1
?
代入化简可得
a
n?1
?
1?3
?
a
n
?1
?
.最后说明各项非零.(2)①令a
n
?2
n?1
,2,3,根据等差数列性质得
2a
2
?a
1
?a
3
,2a
3
?a
2
?
a
4
,列出关于
?
,
?
的二元
2
一次方程组,解得
?
,
?
的值;再验证满足题意. ②先求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n
,
再讨论四项奇偶性:三个奇
数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论,
答案第6页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
直至确定. 2
?
3a
n
?2
??
a
n
?2
?
3a
n
?8a
n
?4
试题解析:解:(1)
当
?
?3
,
?
?8
时,
a
n?1
?
?
a
n
?2a
n<
br>?2
?3a
n
?2
,
?a
n?1
?1?3
?
a
n
?1
?
.
又
a
n
?1?0
,不然
a
1
?1?0
,这与
a
1
?1?2
矛盾,
?
?
a
n
?1
?
为2
为首项,3为公比的等比数列,
?a
n
?1?2?3
n?1
,
?a
n
?2?3
n?1
?1
.
(2)①设
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
?dn?d?1
,
由
a
n?1
?
2
?<
br>a
n
?
?
a
n
?4
2
得
a
n?1
?
a
n
?2
?
?
?
a
n
?
?
a
n
?4
,
a
n
?2
?
?
dn?d?3
??
dn?1
?
?
?
?
dn?d?1
?
?
?
?
dn?d?1
?
?4
,
2
?d
2
?n
2
?4d?d
2
n?d?3
??
?
?
d
2
n
2
?
?
2?
1?d
?
?
?
?
?
dn?
?
?
1?d
?
?
2
?
1?d
?
?
?4
对任意
n?N
*
恒成立.
令
n?1
,2,3,解得,
经检验,满足题意.
综上,
?
?1
,
?
?4
,
d?2
.
?
?1
,
?
?4
,
a
n
?2n?1
.
n
?
1?2n?1
?
2
?n
2
. ②由①
知
S
n
?
设存在这样满足条件的四元子列,观察到2017为奇数,这四项或
者三个奇数一个偶数、或
者一个奇数三个偶数.
1°若三个奇数一个偶数,设
S
1
,
S
2x?1
,
S
2y?1
,
S
2z
是满足条件的四项,
则
1?
?
2x?1
?
?
?
2y?1
?
?4z
2
?2017
,
2
2
?2x
2
?x?y
2
?y?z
2
?1007
,这与1007为奇数矛盾,不合题意舍去.
2°若一个奇数三个偶数,设
S
1
,
S
2x
,
S
2y
,
S
2z
是满足条件的四项,
答案第7页,总45页
??
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
22
则
1
2
?4x
2
?
4y?4z?2017
,
?x?y?z?504
.
222
由504为偶数知,
x
,
y
,
z
中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
1)若
x
,
y
,
z
中一个偶数两个奇数,不妨设
x?2x
1
,
y?2y
1
?1
,
z?2z
1
?1
,
2
则
2x
1
?y
1
2
?y
1?z
1
2
?z
1
?251
,这与251为奇数矛盾.
??
2)若
x
,
y
,
z
均为偶数,不妨设
x?2x
1
,
y?2y
1
,
z?2z
1
,
222
则
x
1
?y
1
?z
1
?126
,继续奇偶分
析知
x
1
,
y
1
,
z
1
中两奇数一个偶数,
222
不妨设
x
1
?2x
2
,
y
1
?2y
2
?1
,
z
1
?2
z
2
?1
,则
x
2
?y
2
?y
2
?
z
2
?z
2
?31
.
因为
y
2
?
y
2
?1
?
, z
2
?
z
2
?1
?
均为偶数,所以
x
2
为奇数,不妨设
0?y
2
?z
2
,
222
当
x
2
?1
时,
y
2
?y
2
?z
2
?z
2
?30
,
y
2
?y
2
?14
,检验得<
br>y
2
?0
,
z
2
?5
,
x
2
?1
,
222
当
x
2
?3
时,
y
2
?y
2
?z
2
?z
2
?22
,
y
2
?y
2
?10
,检验得<
br>y
2
?1
,
z
2
?4
,
x
2
?3
,
222
当
x
2
?5
时,
y
2
?y
2
?z
2
?z
2
?6
,
y
2
?y
2
?2
,检验得
y
2
?0
,
z
2
?2
,
x
2
?5
,
即
S
1
,
S
4
,
S
8
,
S
44
或者
S
1
,
S
12
,
S
24
,
S
36
或者
S
1
,
S
4
,
S
20
,
S
40
满足条
件,
综上所述,
?
S
1
,S
4
,S
8
,S
44
?
,
?
S
1
,S
12
,S
24
,S
36
?
,
?
S
1
,S
4
,S
20
,
S
40
?
为全部满足条件的四
元子列.
n
5.(1)a
n
?2
(2)见解析(3)
T
n
?
712n
?7
n
??4
99
【解析】试题分析:
(1)利用S
n
与
a
n
的关系,即
a
n
?Sn
?S
n?1
?
n?2
?
,可得数列
?
a
n
?
的递推式,知其为等
比数列,同时由
a
1
?S
1
求得首项,从而得通项公式
a
n
;
(2)在已知等
式
nb
n?1
?
?
n?1
?
b
n
?n?n
中两边同时除以
n
?
n?1
?
可证得结论; 2
(3)由(2)可求得通项
b
n
,从而得通项
c
n<
br>,最终得
P
n
?
?
4n?1
?
4
可
求得和
T
n
.
试题解析:
(1)当
n?1
时,
{
n?1
,利用错位相减法
S
n
?2a
n
?2
S
n?1
?2a
n?1
?2
?a
n
?2a
n
?2a
n?1
?a
n
?2a
n?1
答案第8页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
当
n?1
时,
S
1
?2a
1
?2
?a
1
?2
,
n
综上,
?
a
n
?
是公比为
2
,首项为
2
的等比数列,
a
n
?2
.
(2)
a
2
?4b
1
,
?b
1
?1
,
nb
n?1
?
?
n?1
?
b
n
?n
2
?n
,
?
b
n?1
b
n
??1
n?1n
综上,
?
?
b
n
?
?
是公差为
1
,首项为
1
的等差数列.
?
n
?
(3)由(2)知:
b
n
?1?n?1
?b
n
?n
2
n
?P
n
?c
2n?1
?c
2n
2n?1
??
??
2
?2
2n?1
2
2n
??
?
2
?2
2n
4
?
?
4
n?1
?
?2
2n?2
?
?
4n?1
?
?
4
n?1
T
n
?3?4
0
+7?4
1<
br>+11?4
2
+????
?
4n?1
?
?4
n?1
?4T
n
?3?4
1
?7?4
2
?11?4
3
????
?
?
4n?5
?
4
n?1
?
?
4n?1
?
?4
n
两式相减得:
?3T
n
??3?4
0
?4?4
1
?4?4
2
?
????4?4
n?1
?
?
4n?1
?
4
n
??3T
n
?3?4
?
?T
n
?
41?4
n?1
1?4
??
?
?
4n?1
?
?4
n
712n?7
n
??4
.
99
6.(1)
a
n
?n
(2)见解析
【解析】试题分析:(1)对递推关系式
进行变形,转化为一个常数列
?
?
a
n
?
?
,即得
数列
?
a
n
?
n
??
的通项公式;(2)①先对通
项进行放缩:
n
a
n
2
?
1
n
3
?
11
?
,再根据裂项相
n?1n?1
消法求和,即证得结论②先
倒序相加法求和,再利用基本不等式进行放缩求和,最后证明
和值与结果大小
试题解析:(Ⅰ) 当
n?2
时,
a
n
a
n?1
??
nn?1
?
a
1
?1
,
1
?
当
n?2
时,
a
n
?n
.又
a
1
?1
,
?
a
n
?n
,
n?N
*
.
(Ⅱ)①证明:当
n?1
时,
1?3
成立;
答案第9页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
当
n?2
时,
n
a
n
2
?
1<
br>n
3
?
1
n?n
2
?
1
n
?
n?1
??
n?1
?
??
111
?
?
?
?
?
?n
?
n?1
?
?
n
?
n?1
?
?
n?1?n?1
?
11
1
?
n?1?n?1
?
1
??
?
?
??
?
n?1n
?1
n?1
?
2n
?
n?1
?
123<
br>???
222
a
1
a
2
a
3
?n
a
n
2
1
?
?
11
?<
br>?
11
??
11
??
?1?
?
1?????
??
?
?
???
?
?
?
3
?
?<
br>24
?
?
35
??
46
??
1<
br>??
11
??
1
?
?
???
???
n
??
n?1n?1
??
n?2
?1?1?
111
???3
2nn?1
?
123
???
a
1
2
a
2
2
a
3
2
111
??
?
a
n
a
n?1
a
n?2
?
n
a
n
2
1
?3
111
???
nn?1n?2
11
?
nk?2n
k?1
②
?
a
nk?1
??
设
s?
111
???
nn?1n?2
?
1111
,则
s????
nk?2nk?1nk?1nk?2
?
11
?
,
n?1n
1
??
11
??
1
2s?
?
???
???
?
?
nnk?1
??
n?1nk?2
?
当
x?0,y?0
时,
?
x?y
?
?
1
??
11
??
1
?
?
???
???
?nk?2n?1
??
nk?1n
?
?
11
?
1
14
yx
,当且仅当
?
?
?2???4
,
?
??
xyx?y
xy
?
xy
?
x?y
时等号成立.
?
当
k?2,k?N
*
时, 2s?
4
?
k?1
?
4
?
k?1
?<
br>4
?
?
nk?n
?
??
,
1
n?nk?11?k
1?k?
n
?
s?
2
?
k?1
?
111
.即
???
k?1
a
n
a
n?1
a
n?2
?
1
a
n
k?1
?
2
?
k?1
?
k?1
.
点睛:
证明数列不等式,,常用方法为方缩法,经过放缩,将数列化为可求和,最后再比较和
值与结果大小即可
答案第10页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
7.(1)
a
3
?7
,
a
4
?29
,
a
5
?22
.(2)
前2018项中奇数的个数
t
的最大值是1346.(3)
详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)将
a
1
?1
,
a
2<
br>?2
代入递推关系求解
a
3
,a
4
,a
5<
br>的值即可;
(Ⅱ)讨论
a
1
,a
2
都是偶数时,
a
1
,a
2
都是奇数时,
a
1
是奇数,
a
2
是偶数时,
a
1
是偶数,
a
2
是奇数时四种情况即可得解;
(Ⅲ)由
a
1
是奇数,分析得前4项没有4的倍数,假设存在最小正整数
t
?
t?3
?,使得
a
t
是
4的倍数,则
a
t?1
,at?2
均为奇数,所以
a
t?3
一定是偶数,结合递推关系即可推出矛盾
,进而
得证.
试题解析:
(Ⅰ)
a
3
?5a
2
?3a
1
?7
,
a
4
?5a
3
?3a
2
?29
,
a
5
?a
4
?a
3
?22
.
所以
a
3
?7
,
a
4
?29
,
a
5
?22
.
(Ⅱ)(i)当
a
1
,a
2
都是偶数时,
a1
?a
2
是偶数,代入
5a
n?1
?3a
n?
2
得到
a
3
是偶数;
因为
a
2
?a3
是偶数,代入
5a
n?1
?3a
n?2
得到
a
4
是偶数;
如此下去,可得到数列
?
a
n
?<
br>中项的奇偶情况是偶,偶,偶,偶,…
所以前2018项中共有0个奇数.
(ii)当
a
1
,a
2
都是奇数时,
a
1
?a
2
是奇数,代入
a
n?1
?a
n?2
得到
a
3
是偶数;
因为
a
2
?a
3<
br>是偶数,代入
5a
n?1
?3a
n?2
得到
a
4
是奇数;
因为
a
3
?a
4
是偶数,代入5a
n?1
?3a
n?2
得到
a
5
是奇数;
如此下去,可得到数列
?
a
n
?
中项的奇偶情况是奇,奇,
偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,…
所以前2018项中共有1346个奇数.
(iii)当
a
1
是奇数,
a
2
是偶数时, <
br>理由同(ii),可得数列
?
a
n
?
中项的奇偶情况是奇,偶
,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,…
所以前2018项中共有1345个奇数.
答案第11页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
(iv)当
a
1
是偶数,
a
2
是奇数时, 理由同(ii),可得数列
?
a
n
?
中项的奇偶情况是偶,奇,
奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,…
所以前2018项中共有1345个奇数.
综上所述,前2018项中奇数的个数
t
的最大值是1346.
(Ⅲ)证明:因为
a
1
是奇数,
所以由(Ⅱ)知,
a
n
不可能都是偶数,只能是偶奇奇,奇偶奇,奇奇偶三种情况.
因为a
1
是奇数,且
a
2
?3a
1
,所以
a
2
也是奇数.
所以
a
3
?a
2
?a<
br>1
?2a
1
为偶数,且不是4的倍数.
因为
a
4<
br>?5a
3
?3a
2
?a
1
,
所以前4项没有4的倍数,
假设存在最小正整数
t
?
t?3
?
,使得
a
t
是4的倍数,
则
a
t?1
,a
t?2
均为奇数,所以
a
t?3
一定是偶数,
由于
a
t?1
?5a
t?2
?3a
t?3
,且
a
t
?a
t?1
?a
t?2
,
将这两个式子作和
,可得
3a
t?3
?4a
t?2
?a
t
.
因为
a
t
是4的倍数,所以
a
t?3
也是4的倍数,
与
t
是最小正整数使得
a
t
是4的倍数矛盾.
所以假设不成立,即对任意
n?N
*
,
a
n
不是4的倍数.
8.(1)
c
1
?0,c
2
??2,c
3
??4,c
n
??2n?2
(2)
?
?
1
(3)
d
1
?0,d
2
?2d
1
或d
1
?0
4
【解析】试题
分析:(1)根据定义,依次求出
c
1
,c
2
,c
3
的值,根据规律猜想数列
c
n
的通项
公式(2)先根据定义以及单调性得<
br>c
n
,再利用裂项相消法求和
根据变量分离法得
?
?
111
??????
,
c
2
?2c
3
?2c
n
?2
n?1n?1
,最后根据数列单调性确定最大值,即得
?
的取值范围
2
n
2
n
(3)先根据定义以及单调性分类讨论
c
n
,再比较
c
n
,c
n?1
大小与单调性是否一
致,进而确
定
d
1
、
d
2
应满足的条件
答案第12页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
试题解析:
答案第13页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
点睛:求解数列中的最大项或最小项的一般方法
先研究数列的单调性,可以用
{
数形结合求解..
9.(1)依题意
b?1
,
?
a
n?1
?1?
?
?
a
n
?1
?
?2
恒为常数;(
2)见解析;(3)见解析.
22
a
n
?a
n?1
an
?a
n?1
或
{
a
n
?a
n?1
a
n
?a
n?1
也可以转化为函数最值问题或利用
答案第14页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
【解析】试题分析
:(1)由
a
n?1
?1?
(2)先由
f
?
x?
?
a
n
2
?2a
n
?3?
?
a
n
?1
?
2
?2
,平方即可证明;
?
x
2
?2x?3?1
在
x?
?
0,1
?
上单调递减得
f
?
x
?
?
?
?
2?1,3
?1
?
,进
而得当
0?a
n
?1
时,
0
?a
n?1
?f
?
a
n
?
?1
,即当0?a
1
?1
时,
a
n?1
?1
与
a
n
?1
同号,
即
0?a
n
?1
,由a
n?2
?a
n
?
?
a
n?1
?a<
br>n?
a
2
n?1
?
1
2
??
an?
?a
1n?
2
n?1
?
1
,分析得
?2a
n?1
?3?a?2a
n?1
?3
a
2n?
?a
n2
?0,a
?n2
?
1
a
?n
,
?0
?
?
a
2n?1
?
单调递减,
?
a
2n
?
单调递增;
2
3
??
1
??
a?a?
n
??
n
?
13
?11
2
??
2
??
2
(3)由
a
n?
1
??a
n
?2a
n
?3??
,得
a
n?
1
?
与
a
n
?
异号,由
3
22
2
2
2
a
n
?2a
n
?3?
2
3
?
?
3
?
5
???
a?a?2?
?
2n
??
2n?1
??
11
?
?
1
?
2
?
?
2
?
2
?
??
??
a
2n?1
??a??a?
2n?1
??
?
2
?
2n?1
3<
br>??
2
3
?
?
2
?
2
22
??
?
?
3
?
?
2?
?
a
2n<
br>?2a
2n
?3?
??
a
2n?1
?2a
2
n?1
?3?
?
??
2
??
2
??
2??
,求和即可证得.
试题解析:
(1)依题意
b?1
,
a
n?1
?1?
2
1
?
?
a
2n
?1
?
4
?
a
n
2
?2a
n
?3
?
?
a
n
?1
?
2
?2
,平方得: ?
a
n?1
?1
?
?
?
a
n
?1
?
22
?2
恒为常数.
2
a
n
?2a
n
?3?1
,
(2)显然
a
n
?0
,
a
n?1
?
f<
br>?
x
?
?x
2
?2x?3?1
在
x?
?
0,1
?
上单调递减,
?
?f
?
x
?
?
?
?
2?1,3?1
?
,
故当
0?a
n
?1
时,
0?a
n?1
?
f
?
a
n
?
?1
,即当
0?a
1
?1
时,
a
n?1
?1
与
a
n
?1
同号
?0?a
n
?1
,
22
a
n?2
?a<
br>n
?a
n?1
?2a
n?1
?3?a
n?1
?2a
n?1
?3?
?
a
n?1
?a
n?1
?2
??
a
n?1
?a
n?1
?
a
2<
br>n?1
?2a
n?1
?3?a
2
n?1
,
?2a
n?1
?3
a
n?1
?a
n?1
?2?0,
a
n?2
?a
n
与
a
n?1
?a
n?1<
br>异号,且
a
3
?a
1
?0
,
?a
2n?2
?a
2n
?0,a
2n?1
?a
2n?1
?0
,
?
?
a
2n?1
?
单调递减,
?
a
2n
?
单调递增,
答案第15页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
(3)
3
??
1
??
a?a?
n
??
n
?
13
?
11
2
??
2
??
2
a
n?1
??a
n
?2a
n
?3??
,
?a
n?1
?
与
a
n
?
异号,
3
22
22
2
a
n
?2a
n
?3?
2
a
1
?
1111
?0
,
?a
2n?1
??0
,
a
2n
??0
,
?a
2n
??a
2n?1
,
n?N
*
.
2222
3
??
1
?
3
??
3
?
??
a?a?a?a?
2n
??
2n
??
2n
??
2n?1
?
1
?
1
?
2
??
2<
br>?
2
??
2
?
?
??
a
2n?1<
br>???a?
2n?1
?
3
?
2
3
??
2
3
?
?
22
2
??
a
2n
?
2a
2n
?3?
a
2n
?2a
2n
?3?
??
a
2n?1
?2a
2n?1
?3?
??
2?
2
??
2
?
2
5
??
2
?
??
1
?
2
?
?
?
?a?
?<
br>?
2
?
2n?1
2
?
3
?
?
?
2?
??
2
??
1
?
1
?
a
?
?
2n?1
?
.
4
?
2
?
?
?
1
?
n
?
1?
??
??
n?1
?
1
??
1
?
1
?
1111
?<
br>1
?
1
?
?
4
?
?
??
?
?
2
?
?
a
1
?
?
?
?
a
3
?
?
???
?
a
2n?
1
?
?
??·???
??
?
2
??
2?
2
?
2242
?
4
?
2
1?
1
3
??
4
3n?4
.
6
29
10.⑴见解析⑵
?
1,??
?
⑶
6
?a
1
?a
3
???a
2n?1
?
【
解析】试题分析:(1)根据题意,由数列的递推公式分析可得
b
n?1
与
a
n
的关系式,由等
差数列的定义分析可得答案;
(2)根据题意,求出数列
数列
?
c
n
?
的前
n
项和为
T
n
的表达式,当
n?N
*
且
n
为偶数时,
设
n?2m,m?N
*
,求出的
T
n
表达式,分析可得答案;
(3)由(2)的结论求出
S
2n
、S
n
,
即可
得
?
S
2n
?S
n
?
的表达式,设
1?
1
M
n
?S
2n
?S
n
?10?
??
n?1n?2
?
化的规律,分析可得答案.
试题解析:
⑴证明:
?
1
?
n
?
?
,由数列的函数特征分析数列
?
M
n
?
变
2n
?
2
答案第16页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
20
?<
br>4a
n
?42
?
2a?21
20
,
b<
br>n?1
????
n
38a?1
2a
n?1
?1
2?
n
?1
2
?
38a
n
?1
?
?
?
4a
n
?42
?
2a
n
?1
4a
n
?42
20
?b
n?1
?b
n
?
2a
n
?21
20
??1
,
2a
n?12a
n
?1
?
数列
?
b
n
?是公差为1的等差数列;
⑵由⑴可知,
b
1
?
20
?1
,故
b
n
?n
.
2a
1
?1因为
c
n
?b
n
b
n?1
cosn
?
,n?N
*
,
所以
T
n
?c
1
?c
2
?
??
?c
n
??b
1
b
2
?b
2
b
3
?b
3
b
4?b
4
b
5
?
*
?
?
?1
?
b
n
b
n?1
,
n
当
n??
*
且
n
为偶数时,设
n?2m,m?N
,
则
Tn
?T
2m
??b
1
b
2
?b
2b
3
?b
3
b
4
?b
4
b
5
??
?
?1
?
b
2m
b
2m?1
2m
?b
2
?
?b
1
?b
3
?<
br>?b
4
?
?b
3
?b
5
?
?
?2
?
b
2
?b
4
?
?b
2m
?
?b
2m?1
?b
2m?1
?
1
?m
?
?2m
2
?2m?n
2
?n
,
2
?b
2m
?
?4
?
1?2?
2
要使
T
n
?tn
对
n??
*
且
n
为偶数恒成立,
1
2
n?n?tn
2
对
n??
*
且
n<
br>为偶数恒成立,
2
11
即使
t??
对
n
为正偶数恒成立,
2n
只要使
11
?
11
?
????1
,
?t?1
,故实数
t
的取值范围是
?
1,??
?<
br>;
??
2n22
??
max
⑶由⑴得
b
n
?
20
101
?n
,
?a
n
??
,
2a
n
?1
n2
1
?
n
?
?
?
,
n
?
2?
111
???
nn?1n?2
?
?
1
?2n
,
?
?
2n
?
2
?
1
?S
n
?10
?
1??
?
2
?
1
?S
2n
?10
?
1??
?
2
设
M
n
?S
2n
?S
n
?10
?
1
?
1
??
n?1n?2
?
1
?
n
?
?,
2n
?
2
答案第17页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
1
?1
?M
n?1
?10
?
??
?
n?2n?3<
br>?
111
?
n?1
,
??
?
?
2
n2n?12n?2
?
2
11
?
1
?
1
?
M
n?1
?M
n
?10
?
??
?
?
2n?12n?2n?1
??
2
1
?
1101
?
1
?10
?
????
?
?
2n?12
n?2
?
2
?
2n?1
??
2n?2
?
2
?
当
n?1
时,
M
n?1
?M
n
?
101
??0
,即
M
1
?M
2
,
3?42
, 当
n?2
时,
M
n?1
?M
n
?0
,即
M
2
?M
3
?M
4
?
29
?
11
?
?
?
M
n
?max
?M
2
?10?
?
?
?
?1?
,
6
?
34
?
因此数列
?
S
2n
?S
n
?
的最大值为
29
.
6
【点睛】本题
考查数列与不等式的综合应用,涉及等差数列的判定与证明,其中证明(1)
的关键是分析得到
b
n?1
与
a
n
的关系式.
n
n为奇数
?
?
a
n
?
?
n
?1
2
?
?
2?3
n为偶数
(2)
m?2(3)
m?1
或
m?2
11.(1)
【解析】
试题
分析:(1)数列
?
a
n
?
通项分奇偶求:方法为待定系数法,注意
项数,由
可解得公差及公比,从而
S
5
?2a
4
?a
5
,a
9
?a
3
?a
4
a
2k
?a
2
q
k?1
?2?3
k?1
,
n
n为奇数
?
?
a
n
?
?
n
?1<
br>2
?
a
2k?1
?a
1
?(k?1)d?2k?1<
br>2?3
n为偶数
(2)由于数列
?
a
n
?
通项分
?
,因此
奇偶,因此从奇偶分别讨论:若
m?2k(k?
N*)
则
a
2k
a
2k?1
?a
2k?2
,解得
m?2
;若
m?2k?1(k?N*)
,即
a
2k?
1
a
k
?
2
a
?k2
,解得
k?1
,舍(3)先求和
S
2m?1
?(a
1
?a
3
?
...(a
2m?1
)?(a
2
?a
4
?...?a
2m?2
)
?3
m?1
?m
2
?1
,限定
S
2m
S?a
?
m?2
S
2m?1
S
2
m?1
m
2
S
2m
S
2m
2(m
2
?1)
?3?
m?1
?3
a,a,a
SS
3?m
2
?1
,而
2m?1
为正整数,即
2m?1
只能为
123
,
1
答案第18页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
分类讨论得
m?1
或
m?2
.
试题解析:(1)设
a
1
,a
3
,a
5
,...,a
2k?1
...
的公比为
q
,则
的公差为d.
a
2
,a
4
,a
6
,...,a
2k
,...a
4
?a
2
?q?2q,a
3
?a
1
?d?1?d
,a
9
?a
1
?4d
?
S
5
?2a
4
?a
5
?
a
4
?a
1
?a
2
?a
3
?
??
a?a?a
34
?
a
1
?4d?a
1
?d?2q
由
?
9
?
2q?4?d
?
d?2
?
?
?
?
?
2q?
3d
?
q?3
故
a
2k
?a
2
q
k?1
?2?3
k?1
a
2k?1
?a
1
?(k?1)d?2k?1
n
n为奇数
?
?
a
n
?
?
n
?1<
br>2
?
?
2?3
n为偶数
4分 故(2)由
a
m
a
m?1
?a
m?2
,若
m?2k(k?N*)
,则
a
2k
a
2k?1
?a
2k?2
即
2k?1?3?k?1
,即
m?2
若
m?2k?1(k?N*)
,即
k?1
(2k?1)?2?3?2k?1
即
a
2k?1
a
2k
?a
2k?1
2?3
k?1
?1?
2
2k?1
2?3
k?1
为正整数
2
?
2k?1
为正整数,即
2k?1?1
0
2?3?3
不合题意
k?1
即,此时式为
综上,
m?2
. 9分
(3)
若
又
S
2m
S
2m?1
为
?
a
n
?
中的一项,则
S
2m
S
2m?1
为正整数
S
2m?1
?(a
1
?a
3
?...(
a
2m?1
)?(a
2
?a
4
?...?a
2m?
2
)
答案第19页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
m(1?2m?1
)2(3
m?1
?1)
???3
m?1
?m
2
?1
23?1
2
S
2m
S
2m?1
?a2m
2(m?1)
???3?
?3
S
2m?1
S
2m?1
3
m?1
?m
2
?1
S
2m
a,a,a
?
a
?
S
故若
2m?1
为n
中的某一项只能为
123
2(m
2
?1)
3?
m?1
?1?
2
3?m?1
①若无解
2(m
2
?1)
3?
m?1
?2?3
m?1
?1?m
2<
br>?0
2
3?m?1
②若,显然
m?1
不符合题意,
m
?2
符合题意
m?12m?1
?
f(m)?3?1?mf(m)3?nl3
2,(?)m3nl3)f(
??
2m0?
m?3
当时,即,则
m1
?2
??
???
即
f(m)?3m?1ln3?2m
为增
函数,故
f(m)?f(3)?0
,即
f(m)
为增函数
m?12
故
f(m)?f(3)?1?0
,故当
m?3
时方程
3?1
?m?0
无解
即
m?2
是方程唯一解
2(m
2
?1)
3?
m?1
?3?m
2
?1
2
3?m?1<
br>③若即
m?1
综上所述,
m?1
或
m?2
. 16分
考点:等差数列及等比数列综合应用
13
A?,B?
22
,数列<
br>?
b
n
?
是等比数列;②3;12.(1)①(2)
?
?3
【解析】
试题分析:(1)①由
a
1
?
39
13
a
2
?
A?,B?
2
,
4
列出关于
A,B
两个独立条件,解出
22
,利用
a
n?S
n
?S
n?1
(n?2)
解出递推关系式
2an
?a
n?1
?n?1
,再根据
b
n
?an
?n
,构造
1
a
n
?n?[a
n?1
?(n?1)]
?
b
??
a
?
2
,从而得证数列
n
是等比数列;②从数列
n
是等差数列出发,将
d
2
d
n?(a
1
?)n?a
1
?d?An
2
?Bn
?1
2
条件转化为关于
n
恒等式:
2
,消去
a1
,
d
得出
A,B
关
B?1
系,即可求出A
的值;(2)本题实质求和
?
i?1
n
1?
11?
a
i
2
a
i
2
?1
,难点为配方:
答案第20页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
1?
11
11n(n?1)?111
??1????1??
22
a
n
a
n
n
2
(n?1)
2
n(n?1)nn?1
?1
,以下就简单了,一是裂项相消
求和,二是恒成立转化为最值求解
2
试题解析:(1
)
C?1
,
?a
n
?S
n
?An?Bn?1
,
①令
n?1
,可得
2a
1
?A?B?1
,即
A?B?2
,
令
n?2
,可得
a
1
?2
a
2
?4A?2B?1
,即
4A?2B?5
,
1313<
br>?A?,B??a
n
?S
n
?n
2
?n?1
22
,
22
, ①
13?a
n?1
?S
n?1
?(n?1)
2
?(n?1)?
1
22
当
n?2
时,, ②
①-②,得
2a
n
?a
n?1
?n?1
(n?2)
,
11
?a
n
?n?[a
n?1
?(n?1)]b
n
?b
n?
1
22
,即,
又
?
b
1
?a
1
?1?
1
?0
2
,
b
n
?0<
br>,
b
n
1
?
b
n?1
2
,
?
数列
?
b
n
?
是等比数列;
② 数列
?
设
?
a
n
?
是等差数列,
n(n?1)
d
2
,
a
n
?a
1
?(n?1)d,S
n
?na
1
?
a
n
?Sn
?An
2
?Bn?1
,
dd
?n
2
?(a
1
?)n?a
1
?d?An
2
?Bn?1
*
22
,
n?N
d
?
A?
?
2
?
d
?
?
?
B?a
1
?
2?
?
a
1
?d?1
?
?
,
?
B?1
?
A
a
1
?
ddd
?1a
1?1?d?
22
?
2
?3?
ddd
222
;
2
a?S?An?Bn
C?0
nn
(2)当时,
数列
?
a
n
?
是等差数列,
a
1
?1,
答案第21页,总45页
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
?
an
?1?(n?1)d,S
n
?n?
n(n?1)
d
2
,
dd
?n
2
?(1?)n?1?d?An
2
?
Bn
22
,
?d?1
,
?a
n
?n
,
1?
1111n(n?1)?111
??1????1??
22
a<
br>n
a
n
n
2
(n?1)
2
n(n?1)nn
?1
?1
111
??n?1?
a
i
2
a
i
2
?1
n?1
,
?
?
1?
i?1
n
,
n
31131
?
?
??
?
1?
2
?
2
?
?
??n?1?
n?1
i?1
a
i
a
i?1
n?1n?1
,
即
?
?n?1?
22
?
?n?1?
*
n?1
,
??n?N
,
n?1
,
2
f(x)?x?
x
, 令
2x
2
?2
f
?
(x)?1?
2
?
xx
2
,
?(n?1?
2
)
min
?3
n?1
,
?
当
x?2
时,
f(x)?0
,
?f(x)在
[2,??)
上是增函数,而
n?1?2
,
?
??3
.
考点:等比数列定义,裂项相消求和,数列最值
3
k
?1
2n?1
5
?
(k?N
?
).
13.(Ⅰ)
a
n
?
(Ⅱ)
(??,?].
(Ⅲ)存在,
n
k
?
(n
?N)
;
2
39
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由已知可得数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
的公式,再
利用
?
S
1
,(n?1)
a
n
?
?
求得数列
{a
n
}
的通项公式;
S?S,(n?2)
n
?1
?
n
2
(Ⅱ)分n为奇数与偶数先求出
T
n
,
由使
T
n
?tn
对
n?N
?
恒成立,通过分离参数
t转化
为求函数的最值,即可求得实数
t
的取值范围;
(Ⅲ)由
a
n
?
2n?1
知,数列
{a
n
}
中每一项
都不可能是偶数,假设存在,对q的每一个取
3
11
(x?1)
2
?
.
33
值:1,2,3,4逐一讨论即可获得结论.
试题解析:(Ⅰ)由
题意可知
f(x)?
所以
S
n
?
1112
1分
(n?1)
2
??n
2
?n(n?N
?
).
3333
答案第22页,总45页
编写高中数学的编辑器-高中数学 函数概念总结
高中数学必修4-4-怎样把高中数学 讲好
高中数学映射视频-高中数学解题小组应聘
早班车朱老师初高中数学-高中数学必修2定理总结
高中数学最简单的题目-高中数学公式及定理 公理汇总
课后反思高中数学-高中数学奇函数得公式是什么
高中数学面试试讲圆的一般方程视频-高中数学难背的公式
高中数学e等于多少-高中数学 必修1 教材全解
-
上一篇:高考压轴题得分技巧 前两问
下一篇:高等考试数学压轴题秒杀