高考压轴题得分技巧 前两问

高考数学压轴题常考题型 20 组 类 型
1二次函数
2复合函数
3创新性函数
4抽象函数
5导函数（极值，单调区间）--不等式
6函数在实际中的应用
7函数与数列综合
8数列的概念和性质
9Sn与an的关系
10创新型数列
11数列与不等式
12数列与解析几何
13椭圆
14双曲线
15抛物线
16解析几何中的参数范围问题
17解析几何中的最值问题
18解析几何中的定值问题
19解析几何与向量
20探究性问题




1

1、已知函数：
f(x)?
x?1?a
(a?R且x?a)

a?x
（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.
1
,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；
2
x?1?a 2a?x?1?a
?2?
解：（Ⅰ）证明：
f(x)?2?f(2a?x)?

a?xa?2a?x
x?1?aa?x?1x?1?a?2a?2x?a?x?1
?? 2???0

a?xx?aa?x
（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+
∴结论成立
?(a?x)?11
??1?

a?xa?x
1111
?1?a?x??,?2???1
当
a?? x?a?1时?a?1??x??a?
222a?x
1
?3??1???2
即
f(x)值域为[?3,?2]

a?x
（Ⅱ）证明：
f(x)?

2、已知函数
f(x)?
1
3
4
x?ax?b(a,b?R)
在
x?2
处取 得的极小值是
?
.
33
(1)求
f(x)
的单调递增区间；
(2)若
x?[ ?4,3]
时，有
f(x)?m?m?
2
10
恒成立，求实数
m
的取值范围.
3
?
f
?
(2)?4?a?0
?
a??4
?
2
解：(1)
f
?
(x)?x?a< br>，由题意
?
，
?
84
?
f(2)??2a?b??
?
b?4
?
33
?
令
f
?
(x) ?x
2
?4?0
得
f(x)
的单调递增区间为
(??,?2 )
和
(2,?)
.
(2)
f(x)?
1
3x?4x?4
，当
x
变化时，
f
?
(x)
与< br>f(x)
的变化情况如下表：
3
- 4

(-4，-2) -2
2)
0
(-2,2
)
0
(2,33

x

f
?
(x)

?

单调
递增
?

单调
递减
?

单调
递增
f(x)


?
4

3
28

3
1
?
4

3
所以
x?[?4,3]
时，
f( x)
max
?
求得
m?(??,?3]?[2,??)
.



28101028
22
?
.于是
f(x)?m ?m?
在
x?[?4,3]
上恒成立等价于
m?m?
，
33 33
2

3、函数
f(x)
的定义域为R，并满足以下条件： ①对任意
x?R
，有
f(x)?0
；②对任意
x
、
y?R
，有
f(xy)?[f(x)]
y
；③
f(
1
3
)?1.
则（1）求
f(0)
的值；（2）求证：
f(x)在R上是单调增函数；
（3）若
a?b?c?0,且b
2
?ac，求证：
f(a)?f(c)?2f(b).

解：解法一：（1）令
x ?0,y?2
，得：
f(0)?[f(0)]
2
?f(0)?0?f(0)? 1

（2）任取
x
1
、
x
2
?(??,? ?)
，且
x
1
?x
2
. 设
x
1< br>1
?
3
p
1
,x
2
?
1
3
p
2
,
则
p
1
?p
2

f(x
1
)?f(
1
p
1
1
1
1
)?f(x
2
)?f(p
12
)?[f()]
p
?[f() ]
p
2

3333
?f(
1
3
)?1,p
1
?p
2
?f(x
1
)?f(x
2
)?f (x)
在R上是单调增函数
（3）由（1）（2）知
f(b)?f(0)?1

?f(b)?1

a
?f(a)?f(b?
c
)?[f(b)]
b

b
c
aca?c
f(c)?f(b?
c
)?[f(b)]
b
………11分
?f(a)?f(c)?[f(b)]
b
?[f (b)]
b
?2[f(b)]
b

b
而
a?c2b
a?c?2ac?2b
2
?2b?2[f(b)]
b
?2[f(b) ]
b
?2f(b)

?f(a)?f(c)?2f(b)
……15分
解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有
f(xy)?[f(x)]
y

?f(x)?f(x?1)?[f(1)]
x
∴当
x?0
时
f(0)?[f(1)]
0
∵任意x∈R，
f(x)?0

?f(0)?1

（2）
?f(
1
)?1,?f(1)?f(3?
1
33
)?[f(
1
3< br>)]
3
?1

?f(x)?[f(1)]
x
是R上单调增函数 即
f(x)
是R上单调增函数；
（3）
f(a)?f(c)?[f(1) ]
a
?[f(1)]
c
?2[f(1)]
a?c

而
a?c?2ac?2b
2
?2b?2[f(1)]
a?c
?2[ f(1)]
2b
?2f(b)
?f(a)?f(c)?2f(b)

4、已知函数
f(x)?x
4
?4x
3
?ax
2
? 1
在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；
解：（1）
f(x) 在
?
0，1
?
上单调递增，在
?
1，2
?
上单调递减，?当x?1时，f(x)取得极大值，

∴
f

(x)? 0,即（4x
3
?12x
2
?2ax)|
x?1
?0
，∴
a?4
，
（2）设点A（x
0
,f(x
0
))是f(x)上的任一点，它关于x?1的对称点的坐标为B（2?x
0
,f(x
0
)),

∵
f(2?x
0
)?f(x
0
) ?x?1是y?f(x)的图象的一条对称轴。



3

23
5、某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 10x(单位：万元), 成本
函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1)
– f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）
(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
32
解：(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x + 45x + 3240x – 5000 (x?N且x?[1, 20]); 2分
2
MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x + 60x +3275 (x?N且x?[1, 20]). 4分
2
(2) P`(x) = – 30x + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x?N且x?[1, 20]) 7分
当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,
当 12 ∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 10分
即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 11分
2
(3) 由MP(x ) = – 30( x – 1) + 3305 (x?N且x?[1, 20]).
∴当1< x ? 20时，MP (x)单调递减. 12分
MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1

?
6、设函数
f(x)
定义在
R
上，对任意的< br>m,n?R
，恒有
f(m?n)?f(m)?f(n)
，且当
x?1< br>时，
f(x)?0
。
?
求：
f(1)
的值，并判断
f(x)
的单调性；
解：（1）在
f(m?n)?f(m)?f(n)
中令
m?n?1
，得f(1)?0
； 设
x
1
?x
2
?0
，则所以，
f(x
1
)?f(x
2
?

7、设f(x)
是定义域在
[?1,1]
上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均 小于零.
（l）求证
f(x)
在
[?1,1]
上是减函数； （ll）如果
f(x?c)
，
f(x?c)
的定义域的交集为空集，求实 数
c
的取值范围；
解：（1）∵奇函数
f(x)
的图像上任意两点连线的斜率均为负
2
x
1
x
?1
，从而有
f(
1
)?0
< br>x
2
x
2
x
1
x
)?f(x
2)?f(
1
)?f(x
2
)
所以，
f(x)
在
R
?
上单调递减
x
2
x
2
∴对于 任意
x
1
、x
2
?[?1，1]
且
x
1< br>?x
2
有
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
从而
x
1
?x
2
与
f(x
1
)?f(x
2
)
异号
x
1
?x
2
，1]
上是减函数 ∴
f(x)
在
[?1
，c?1]

f(x?c
2< br>)
的定义域为
[c
2
?1
（2）
f(x?c)
的定义域为
[c?1
，c
2
?1]
∵ 上述两个定义域的交集
22
为空集则有：
c?1?c?1
或
c?1?c?1
解得：
c?2
或
c??1

故c的取值范围为
c?2
或
c??1




4

2*
8、已知函数f（x）＝ax＋bx＋c，其中a∈N，b∈N，c∈Z。
（1 ）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值； 22
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x＋1）恒成立，且存在x
0< br>，使得f（x
0
）<2（x
0
＋1）成立，求c
的值。 解：（1）由函数f（x）的图像开口向上，对称轴x＝－b2a<－1知，f（x）在[－1，1]上为增 函数，
故f（1）＝a＋b＋c＝2，f（－1）＝a－b＋c＝－4，
∴b＝3，a＋c＝－1。又b>2a，
故a＝1，c＝－2。∴f（x）＝x＋3x－2，最小值为－174。
（2）令x＝1，代 入不等式4x≤f（x）≤2（x＋1）得f（1）＝4，即a＋b＋c＝4，从而b＝4－a－c。又4x≤f （x）
恒成立，得ax＋（b－4）x＋c≥0恒成立，故△＝（b－4）－4ac≤0，∴a＝c。又 b≥0，a＋c≤4，∴c＝1或c
＝2。当c＝2时，f（x）＝2x＋2，此时不存在满足题意的x
0
。当c＝1时满足条件，故c＝1。


9、 对于函数
f(x)?ax
2
?(b?1)x?b?2(a?0)
，若存在实数
x0
，使
f(x
0
)?x
0
成立，则称
x
0
为
f(x)
的不动
点．
（1）当
a?2,b??2
时，求
f(x)
的不动点；
（ 2）若对于任何实数
b
，函数
f(x)
恒有两个相异的不动点，求实数
a
的取值范围；
解：
f(x)?ax
2
?(b?1)x?b?2(a?0)
，
（1）当
a?2,b??2
时，
f(x)?2x
2
?x?4
． 设
x
为其不动点，即
2x
2
?x?4?x
，则
2x
2
?2x?4?0
．所以
x
1
??1,x
2< br>?2
，即
f(x)
的不动点是
?1,2
.
（2）由
f(x)?x
得
ax
2
?bx?b?2?0
.
由 已知，此方程有相异二实根，所以
?
a
?b?4a(b?2)?0
，即
b
2
?4ab?8a?0
对任意
b?R
恒成立．
22
22
2
2
??
b
?0,?16a
2
?32a?0
，
?0?a?2
．







5

10、已知函数
f
?
x
?
?ax?4x?2，若对任意
x
1
，
x
2
?R
且
x1
?x
2
，都有
f
?
2
?
x
1
?x
2
?
f
?
x
1
?
?f?
x
2
?
．
?
?
2
?
2
?
（Ⅰ）求实数
a
的取值范围；

2
?
x
1
?x
2
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
x
1
?x
2
?< br>x
1
?x
2
?
ax
1
2
?bx1
?c?ax
2
2
?bx
2
?c
??
解：（Ⅰ）∵
f
?

?a
?
?b
?
?c ?
?
?
??
2
2
?
2
?
?
2
??
2
?
??
a
2
?
x
1< br>?x
2
?
?0
，
4
∵
x
1?x
2
，∴
a?0
．∴实数
a
的取值范围为
?
0,??
?
．

11.在R上定义运算
?:p?q??
1
2
。记
f
1
?
?
?
?
?
?2c
，
f
2
?
?
?
?
??2b
，
?
p?c
??
q?b
?
?4bc（b、c为实常数）
3
?
?R
.令
f
?
??
?f
1
?
?
?
?f
2
?
?
?
.
（Ⅰ）如果函数
f
?
?
?
在
?
?1
处有极值
?
,试确定b、c的值；
4
3
（Ⅱ）求曲线
y?f
?
?
?
上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
1
2
1
x?3c
?
?
x?3b
?
?4bc??x
3
?bx
2
?cx?bc
∴
f
?< br>?
x
?
??x
2
?2bx?c

?
33
4
（Ⅰ）由
f
?
x
?
在
x?1
处有极值
?
，可得
3
解：∵
f
?
x
?
?f
1
?
x
?
?f
2
?
x
?
??
?f
?
?
1
?
??1?2b?c?0?
b?1
?
b??1
?
或
?

?14
，解得
?
c??1c?3
??
?
f
?1
?
??
3
?b?c?bc??
3
?
，c?? 1
，则
f
?
?
x
?
??x
2
?2 x?1??
?
x?1
?
?0
，此时
f
?
x
?
没有极值； 若
b?1
2
，c?3
，则
f
?
?
x
?
??x?2x?3??
?
x?1
??< br>x?3
?
。 若
b??1
2
当
x
变化时，< br>f
?
x
?
、
f
?
?
x
?< br>的变化情况如下表：
x

f
?
(x)

f(x)

?3
?

?
??，
?

单调递减

?3

0
?
?3，1
?

+
1

(1，??)

0

极大值
?
?

4

单调递减
3
极小值-12 单调递增
∴当
x?1
是，
f
?
x
?
有极大值
?


4
，c?3
即为所求。 ，故
b??1
3
6

（Ⅱ）设曲线
y?f
?
x
?
在
x?t< br>处的切线的斜率为
c
，
2
∵
f
?
?
x
?
??x?2bx?c
，∴
?t
2
?2bt?c?c< br>，即
t
2
?2bt?0
。解得
t?0
或
t? 2b
。
若
t?0
，则
f
?
0
?
?bc
，得切点为
?
0,bc
?
，切线方程为
y?cx?b c
；
若
t?2b
，则
f
?
2b
?
?
若
?
4
4
3
4
??
b?3bc
，得切点为
?
2b,b
3
?3bc
?
，切线方程为
y?cx?bc?b
3
。
3
33
??
1
3x?bx
2
?cx?bc?cx?bc?x
3
?3bx
2
?0
，解得
x
1
?x
2
?0
，
x
3
?3b
，
3
则此时切线
y?cx?bc
与曲线
y?f
?
x
?
的公共点为
?
0,bc
?
，
?
3b,4bc
?
；
(2)若
?
1
3
4
x?bx
2
?cx?bc?cx?bc?b
3
?x
3
?3bx
2
?4b
3
?0
，
33
?
解得
x
1
?x
2
?2b
，
x
3< br>??b
，此时切线
y?cx?bc
4
3
4
3
?
2b,b?3bc
b
与曲线
y?f
?
x
?
的公共点为
?
??
，
3
3
??
4
3??
?b,b
?
。
?
3
??
综合可知，当< br>b?0
时，斜率为c的切线与曲线
y?f
?
x
?
有且 只有一个公共点
?
0,0
?
；当
b?0
，斜率为c的切线< br>4
3
4
3
????
2b,b?3bc?b,b
?。
0,bc
y?fx3b,4bc
与曲线
??
有两个不同的公 共点，分别为
??
和
??
或
??
，
?
33
????














7

12．设函数
f
?
x
?
?
x?
11
[x]?[??[x]?[???
xx
1
x
(x?0)
,其中
[x?
表示不超过
x
的最大整数,如
[2]=2,[]?0, [1.8]?1
.
1
3
(Ⅰ)求
f()
的值; (Ⅱ) 若在区间
[2,3)
上存在x,使得
f(x)?k
成立,求实数k的取值范围 ;
3
2
32
?
313
32
23
?.
解:(Ⅰ)因为
[]?1,[]?0
,所以
f()?
2
[
3
]?[
2
]?[
3
]?[
2
]?1
12< br>23
2323
1
(Ⅱ)因为
2?x?3
,所以
[x] ?2,[]?0
,
x
1111
则
f(x)?(x?)
. 求导得
f
?
(x)?(1?
2
)
,当
2?x?3
时,显然有
f
?
(x)?0
,
3x3x
510
所以
f(x)
在区间
[2,3)
上递增, 即可得
f(x)
在区间
[2,3)
上的值域为
[,)
,
69
在区间
[2,3)
上存在x,使得
f(x)?k
成立, 所以
k?
5

6
13. 设f(x)是定义在R上的偶函数，其 图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,
f(
x
1
+
x
2
)=f(
x
1
)·f(
x
2
),且f( 1)=a>0.
1
］,都有
2
1
11
lim
(l na
n
).
)、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+ ),求
n??
24
2n
1
xxx
解：(1)因为对x1,x 2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=
f(?)?f()< br>≥0,x∈［0,1］
2
222

2
又因为f(1)=f(+ )=f()·f()=［f()］2，f()=f(+)=f()·f()=［f（）］
222222 44444
1
11
1
又f(1)=a>0∴f()=a
2
, f()=a
4

24
(1)求f(
证明：(2)依题意设y=f(x )关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)x∈R∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
解：(3)由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］
1
1
1111
)=f(n·)=f(+(n－1) )=f()·f((n－1)·)
2
2n
2n2n2n2n
1
1< br>11111
=……=f()·f()·……·f()=［f()］=a
2
，∴f ()=a
2n
.
2n2n2n2n2n
1
111
又∵f(x)的一个周期是2 ∴ f(2n+)=f(),因此an=a
2n
，∴
lim
(lna
n< br>)?
lim
(lna)?0.

n??n??
2n2n2n
∵f(




8

14. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有
（1）判断f(x)的单调性；（2）设，
，若
A?B为空集
，试确定a的取值范围。
解：（1）在
在
因为当时，
中，令
，所以当时
中，令


，得，因为，所以。
，且当x>0时，0而，所以
又 当x=0时，
设
所以
所以
，所以，综上可知，对于任意
，则

在R上为减函数。
，均有。
（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以
即有，又，根据函数的单调性，有


由
A?B?
?
，所以直线












与圆面无公共点。因此有，解得。
9

15. 已知函数
f(x)?e
x
?kx，x?R

（Ⅰ）若
k?e
，试确定函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ ）若
k?0
，且对于任意
x?R
，
f(x)?0
恒成立，试 确定实数
k
的取值范围；
解：（Ⅰ）由
k?e
得
f(x) ?e
x
?ex
，所以
f
?
(x)?e
x
? e
．
由
f
?
(x)?0
得
x?1
，故
f(x)
的单调递增区间是
(1，??)
，
由
f
?
(x)?0
得
x?1
，故
f(x)
的单调递减区间是< br>(??，1)
．
（Ⅱ）由
f(?x)?f(x)
可知
f(x)
是偶函数．
于是< br>f(x)?0
对任意
x?R
成立等价于
f(x)?0
对任意< br>x≥0
成立．由
f
?
(x)?e
x
?k?0
得
x?lnk
．
①当
k?(0，1]
时，
f
?< br>(x)?e
x
?k?1?k≥0(x?0)
．此时
f(x)
在
[0，??)
上单调递增．
故
f(x)≥f(0)?1?0
，符合题意．
②当
k?(1，??)时，
lnk?0
．当
x
变化时
f
?
(x)，f (x)
的变化情况如下表：
x

(0，lnk)

lnk

(lnk，??)

f
?
(x)

?

0

?

f(x)
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在
[0，??)
上，
f(x)≥f(lnk) ?k?klnk
．
依题意，
k?klnk?0
，又
k?1，?1? k?e
．综合①，②得，实数
k
的取值范围是
0?k?e
．














10

2
x
3
2
16、设
f(x)?
，对任意 实数
t
，记
g
t
(x)?t
3
x?t
< br>33
（Ⅰ）求函数
y?f(x)?g
8
(x)
的单调区间；（ Ⅱ）求证：（ⅰ）当
x?0
时，
f(x)?g
t
(x)
对任 意正实数
t
成立；
（I）解：
y?
x
3
3
?4x?
16
3
．
由
y
?
?x
2?4?0
，得
x??2
．因为当
x?(??，?2)
时，
y
?
?0
，
当
x?(?2，2)
时，
y
?
?0
，当
x?(2，??)
时，
y
?
?0，
故所求函数的单调递增区间是
(??，?2)
，
(2，??)
，单调递减区间是
(?2，2)
．
（II）证明：（i）方法一：
x) ?g
x
3
2
令
h(x)?f(
t
(x)?
3
?t
3
x?
2
3
t(x?0)
，则
2< br>h
?
(x)?x
2
?t
3
，
当
t ?0
时，由
h
?
(x)?0
，得
1
1
x? t
3
，当
x?(x
3
，??)
时，
h
?< br>(x)?0
，
所以
h(x)
在
(0，??)
内的最 小值是
1
h(t
3
)?0
．故当
x?0
时，
f(x)≥g
t
(x)
对任意正实数
t
成立．
方法二：
2
22
?
11
对任意固定的
x?0
，令
h (t)?g
t
(x)?t
3
x?
3
t(t?0)
， 则
h
?
(t)?
3
3
t(x?t
3
)，
由
h
?
(t)?0
，得
t?x
3
．当
0?t?x
3
时，
h
?
(t)?0
；当
t?x
3
时，
h
?
(t)?0
，
所以当
t?x
3
时，
h(t)
取得最大值
h(x
3
)?
1
3
x
3
．因此当
x?0
时，
f(x)≥ g(x)
对任意正实数
t
成立．











11

17、 已知
f(x)?
2x?a
x
2
?2
(x?R)
在区间
[?1,1]
上是增函数。
（1）求实数
a
的值组成的集合A；
解：（1）∵
f(x)?
2x?a
x
2
?2
(x?R)

∴
f
?
(x)?
2(x
2
?2)?(2x?a) ?2x
(x
2
?2)
2
??
2(x
2
?a x?2)
(x
2
?2)
2

∵
f(x)
在
[?1,1]
上
?
∴
f
?
(x)
??
2(x
2
?ax?2)
(x
2?2)
2
?0
对
?x?[?1,1]
恒成立
即
?x?[?1,1]
，恒有
x
2
?ax?2?0
成立
设
g(x)?x
2
?ax?2
∴
?
?g(?1)?a?1?0??1?a?1
?
g(1)??a?1?0?A?[?1,1]< br>



18、已知函数
f(x)?ln(e
x
?a)(a?0)
。
（1）求函数
y?f(x)
的反函数
y?f
?1
(x)
和
f(x)
的导函数
f
?
(x)
；
解：（1）
y?ln(e
x
?a)

e
x
?a?e
y

e
x
?e
y
?a

x?ln(e
y
?a)

∴
f
?1
(x)?ln(e
x
?a)
∵
y?ln(e
x
?a)
∴
f
?
(x)?
e
x
e
x
?a












12

19、 已知函数
f
?
x
?
与函数< br>y?a
?
x?1
??
a?0
?
的图像关于直线
y?x
对称．
（1）试用含
a
的代数式表示函数
f
?< br>x
?
的解析式，并指出它的定义域；
（2）数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，当
n?2
时，a
n
?a
1
．数列
?
b
n
?
中，
b
1
?2
，
S
n
?b
1
?b
2
??b
n
．点
S
??
P
n
?< br>a
n
,
n
?
n
??
?
n?1,2, 3,?
?
在函数
f
?
x
?
的图像上，求
a
的值；
?
1
的直线
l
n
，则
l
n
在ｙ轴上的截距为
?
b
n
?1
?
?
n? 1,2,3,?
?
，求数列
43
（3）在（2）的条件下，过点
P< br>n
作倾斜角为
?
a
n
?
的通项公式．
解： （1）由题可知：
f
?
x
?
与函数
y?a
?
x?1
?
x
2
?
a?0
?
互为反函数，所以，< br>f
?
x
?
??1
，
?
x?0
?
a
2
S
n
??
?
（2）因为点
P
n
?
a
n
,
n
??
?
n?1 ,2,3,?
?
在函数
f
?
x
?
的图像上，所以，
S
n
?
a
n
?1

?
n?1,2,3,?
?
(*)
na
2
a< br>在上式中令
n?1
可得：
S
1
?
1
?1，又因为：
a
1
?1
，
S
1
?b
1< br>?2
，代入可解得：
a?1
．所以，
f
?
x
?
?x
2
?1
，
a
(*)式可化为：
S
n
2
?a
n
?1
?
n?1,2,3,?
?
①
n
S
n
S
?x?a
n
，
?
n ?1,2,3,?
?
，在其中令
x?0
，得
y?
n
?a
n
，又因为
l
n
在ｙ轴上
nn
（3）直线l
n
的方程为：
y?
的截距为
1
?
b
n
?1
?
，所以，
S
n
?a
n
=
1
?
b
n
?1
?
，结合①式可得：
b
n< br>?3a
n
2
?3a
n
?2
②
33
n
22
由①可知：当自然数
n?2
时，
S
n
?na
n
?n
，
S
n?1
?
?
n?1
?
a
n?1
?n?1
，
两式作差得：b
n
?na
n
?
?
n?1
?
a
n?1
?1
．
22
结合②式得：
?
n?3
?< br>a
n
?3a
n
?
?
n?1
?
an?1
?1

?
n?2,n?N
?
③
22
在③中，令
n?2
，结合
a
1
?1
， 可解得：
a
2
?1或2
，
又因为：当
n?2
时，
a
n
?a
1
，所以，舍去
a
2
?1
，得
a
2
?2
．
同上，在③中，依次令
n?3,n?4
，可解得：
a
3
?3
，
a
4
?4
．
猜想：
a
n
?n
?
n?N
?
．下用数 学归纳法证明．

13

（1）
n?1,2,3
时，由已知条件及上述求解过程知显然成立． 22
（2）假设
n?k
时命题成立，即
a
k
?k
?
k?N,且k?3
?
，则由③式可得：
?
k?2
?a
k?1
?3a
k?1
?ka
k
?1

把
a
k
?k
代入上式并解方程得：
a
k?1
k< br>2
?k?1
??或k?1

k?2
k
2
? k?1k(k?1)?1k
2
?k?1
由于
k?3
，所以，
?

??0
，所以，
a
k?1
??
k?22?kk ?2
符合题意，应舍去，故只有
a
k?1
?k?1
．
所以，
n?k?1
时命题也成立．
综上可知：数列
?
a< br>n
?
的通项公式为
a
n
?n
?
n?N
?



20、已知函数
f
?
x
?
?
横坐标为
1
．
2
1
4
x
? 2
?
x?R
?
，点
P
1
?
x
1< br>,y
1
?
，
P
2
?
x
2
, y
2
?
是函数
f
?
x
?
图像上的两个点， 且线段
P
1
P
2
的中点
P
的
⑴求证：点< br>P
的纵坐标是定值；
解：⑴由题可知：
x
1
?x
2
?2?
1
?1
，所以，
2
12
114
x
?4
x
?4
y
1
?y
2
?f
?< br>x
1
?
?f
?
x
2
?
?
x
??
4?24
x
?24
x
?24
x
?2< br>12
?
1
??
2
4
x
?4
x
?44
x
?4
x
?41
?
x?x
??
4 ?24
x
?4
x
?424
x
?4
x
?4< br>2
1212
12
?

?
12
??
1 2
?
点
P
的纵坐标
y
P
?












y
1
?y
2
1
?
是定值，问题得证．
24

14

21、已知函数
f(x)?ln(1?x)?x
，数列
{a
n
}
满足：
a
1
?
（1）求证：
ln(1?x) ?x
；（2）求证数列
{
解：（1）由
f(x)?ln(1?x)?x
得
f
?
(x)?
1
，
ln2?lna
n?1?a
n?1
a
n
?f(a
n?1
a
n
)

2
1
}
是等差数列；
a
n
?1
1x
?1??

1?x1?x
当
?1?x?0
时，
f
?
(x)?0
，即
y?f(x )
是单调递增函数；当
x?0
时，
f
?
(x)?0
即
y?f(x)
是单调递减函数；
且
f
?
(0)?0，即
x?0
是极大值点，也是最大值点
f(x)?ln(1?x)?x?f(0 )?0?ln(1?x)?x
，当
x?0
时取到等号。
（2）由
l n2?lna
n?1
?a
n?1
a
n
?f(a
n? 1
a
n
)
得
2a
n?1
?a
n?1
a
n
?1
，
a
n?1
?
1
，
2?a
n
故
a
n?1
?1?


a?1
11111
?1?
n
??1{}??2
，公差为
?1
， 即数列是等差数列，首项为
2?a
n
2?a
n
an?1
?1a
n
?1a
n
?1a
1
?1
a
n
?11
?1?
.数列
{b
n
}
中，
b
n
?a
n
·
lga
n
. 22、已知< br>a?0
，且
a?1
，数列
{a
n
}
的前n
项和为
S
n
，它满足条件
S
n
a
求 数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
；
a
n
?11
a(a
n
?1)a(a
1
?1 )
?1?
，∴
S
n
?
解：
?
当
n?1
时，
a
1
?S
1
??a
. S
n
a
a?1a?1
a(a
n
?1)a(a
n ?1
?1)
当
n
≥2时，
a
n
?S
n?S
n?1
=
??a
n
，∴
a
n
?a
n
(n?N
*
)

a? 1a?1
此时
b
n
?a
n
·
lga
n?a
n
·
lga
n
=
n
·
a
n
lga
，
∴
T
n
?b
1
?b
2
?
……
b
n
=
lga(a?2a
2
?3 a
3
?
……+
na
n
).

设
u
n
?a?2a?3a?
……+
na
， ∴(1?a)u
n
?a?a?a?
……
a?na
nn
23 23
n?1
a(a
n
?1)
??na
n?1
， < br>a?1
na
n?1
a(a
n
?1)na
n?1
a(a
n
?1)
?.
∴
T
n
?lga
·
[?].
∴
u
n
?
22
a?1(a?1)a?1(a?1)




15

23、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?8,a
4
?2
且满足
a
n?2
?2a
n ?1
?a
n

n?N
*

⑴求数列
?
a
n
?
的通项公式；⑵设
S
n
?|a
1< br>|?|a
2
|???|a
n
|
，求
S
n；
⑶设
b
n
=
有
T
n
?

解：（1）由题意，
a
n?2
?a
n?1
?a
n? 1
?a
n
，
?{a
n
}
为等差数列，设公差为d
，
由题意得
2?8?3d?d??2
，
?a
n?8?2(n?1)?10?2n
.
（2）若
10?2n?0则n?5
，
n?5时,S
n
?|a
1
|?|a
2
|???| a
n
|
?a
1
?a
2
???a
n
?
1
(n?N
*
),T
n
?b
1
?b2
???b
n
(n?N
*
)
，是否存在最大的整数m
，使得对任意
n?N
*
，均
n(12?a
n
)
m
成立？若存在，求出
m
的值；若不存在，请说明理由。
32
8?10?2n
?n?9n?n
2
,

2n?6
时，
S
n
?a
1
?a
2
??? a
5
?a
6
?a
7
??a
n
?S
5
?(S
n
?S
5
)?2S
5
?S
n?n
2
?9n?40

故
S
n
?

9n?n
2
n
2
?9n?40

n?5

n?6
（3）
?
b
n
?
11111
??(?)

n(12?a
n
)2n(n?1)2nn? 1
n
1111111111
.

?
T
n
? [(1?)?(?)?(?)?
?
?(?)?(?)]
?
2(n?1)
222334n?1nnn?1
m
nm
?
对任意
n?N
*
成立，即对任意
n?N
*
成立，
32
n?116
1
nm1
?
(n?N
*
)
的最小值是
，
? ?,
?m
的最大整数值是7。
2
n?1162
m
.
即存在最大整数
m?7,
使 对任意
n?N
*
，均有
T
n
?
32
若T
n
?









16

24、数列
?
a
n
?
的各项均为正数，
S
n
为其前
n
项和，对于任意
n?N*
，总有
a< br>n
,S
n
,a
n
成等差数列.
2
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式；
(Ⅱ)设数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
T< br>n
，且
b
n
?
ln
n
x
2
，求证:对任意实数
x?
?
1,e
?
（
e
是常数 ，
e
＝2.71828
???
）和任
a
n
意正整数
n
，总有
T
n
?
2；
（Ⅰ）解：由已知：对于
n?N
*
，总有
2S
2
2
n
?a
n
?a
n
①成立∴
2S
n?1
?a
n?1
?a
n?1
（n ≥ 2）②
①--②得
2a
22
n
?a
n< br>?a
n
?a
n?1
?a
n?1
∴
a
n
?a
n?1
?
?
a
n
?a
n ?1
??
a
n
?a
n?1
?

∵
a
n
,a
n?1
均为正数，∴
a
n
?a
n ?1
?1
（n ≥ 2） ∴数列
?
a
n
?
是公差为1的等差数列
又n=1时，2S
2
1
?a
1
?a
1
， 解得
a
1
=1 ∴
a
n
?n
.(
n?N
*
)
（Ⅱ ）证明：∵对任意实数
x?
?
1,e
?
和任意正整数n，总有
b
ln
n
x
n
?
a
2
≤
1n
2
.
n
∴
T
1
1
2
?
1
2
2
???
1
n
?
n
2
?1?
111
1?2
?
2?3
???
?
n?1< br>?
n

?1?1?
1
2
?
1
2?
1
3
?
?
?
111
n?1
?
n
?2?
n
?2
















17

25、在直角坐标平面上有一点列
P
1
(x
1
, y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)?,Pn
(x
n
,y
n
)?
，对一切正整数
n
，点
P
n
位于函数
y?3x?
135
的图象上，且
P
n
的横坐标构成以
?
为首项，
?1
为公差的等差数列< br>?
x
n
?
。
4
2
⑴求点
P
n
的坐标；
⑵设抛物线列
c
1
,c
2
,c
3
,?,c
n
,?
中的每一条的对称轴都垂直于
x
轴，第
n
条抛物线
c
n< br>的顶点为
P
n
，且过点
D0,n
2
?1)
， 记与抛物线
c
1
n
(
n
相切于
D
n
的直线的斜率为
k
n
，求：
k
?
1
???
1
。
1
k
2
k
2
k
3
kn?1
k
n
解：（1）
x
5
n
??
2
?(n?1)?(?1)??n?
3
2

?y
135 35
n
?3?x
n
?
4
??3n?
4
,? P
n
(?n?
2
,?3n?
4
)

（2）
?cc
2n?3
2
12
n
的对称轴垂直于
x
轴，且顶点为
P
n
.
?
设
n
的方程为：
y?a(x?
2
)?
n?5
4
,

把
D< br>2
n
(0,n?1)
代入上式，得
a?1
，
?cn
的方程为：
y?x
2
?(2n?3)x?n
2
?1
。
k1
n
?y
'
|
x?0
?2n?3
，
?
k
?
1111
(2n?1)(2n?3)
?
2
(< br>2n?1
?
2n?3
)

n?1
k
n
?
1
k
?
1
???
1
?
1
[(
1
?
1
7
)?(
1
7
?
1
9
)?
?
?(
1
2n?1
?
1
2n?3
)]
=
11111
2
(
5
?
2n?3)?
10
?
1
k
2
k
2
k
3
k
n?1
k
n
254n?6
























18

v
x
2
26.已知双曲线
c:?y
2
? 1,
设过点
A(?32,0)
的直线l的方向向量
e?(1,k)
当 直线l与双曲线C的一条渐近线
2
m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；证明：当
k
>
2
时，在双曲线C的右支上不存在点Q使之到直线l的
2
距离 为
6
。
解：（1）双曲线C的渐近线
m:
x
2
? y?0
，即
x?2y?0

?
直线
l
的方程
x?2y?32?0

?

直线
l
与m的距离
d?
32
1?2
?6

?

（2）证法一：设过原点且平行于
l
的直线
b:kx?y?0,
< br>则直线
l
与
b
的距离
d
?
32k
， 当
1?k
2
k?
2
2
时，
d?6
。 又双曲线C的渐近线为
x?2y?0
，
?
双曲线C的右支在直线
b
的右下方，
?
双曲线C右支上的任意点到直线
l
的距离大于
6
。
故在双曲线C的右支上不存在点Q
(x
0
,y
0)
到到直线
l
的距离为
6

证法二：假设双曲线C 右支上存在点Q
(x
0
,y
0
)
到直线
l
的距离为
6
，
?
kx
0
?y
则
??
0
?32k
?
2
?6　　　(1)
?
1?k

?
?
x
22
0
?2y
0
?2　 　　　　　(2)
由（1）得
y
0
?kx
0
?32k?6? 1?k
2
，
t?32k?6?1?k
2

当
k?
2
时，
t?32k?6?1?k
2
2
2k
2< br>?1
2
?0
：
t?32k?6?1?k?6?
3k
2
?1?k
2
?0

将
y
222
0
?kx
0
?t
代入（2）得
(1?2k)x
0
?4 tkx
0
?2(t?1)?0
， （*）
?
k?
2
2
，
t?0
?
1?2k
2
?0,?4kt?0, ?2(t
2
?1)?0.

∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，故在双 曲线C的右支上不存在点Q
(x
0
,y
0
)
到直线
l
的距离为
6





19

27. 如图，在平面直角坐标系
xOy
中，过
y
轴正方 向上一点
C(0，c)
任作一直线，与抛物线
y?x
2
相交于
A，B
两
点．一条垂直于
x
轴的直线，分别与线段
AB
和 直线
l:y??c
交于点
P，Q
．
（1）若
???
OA
?
?
???
OB
?
?2
，求
c的值；
y
（2）若
P
为线段
AB
的中点，求证：
QA
为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
C
P
B
A
O
解：（1）设直线
AB
的方程为
y?kx?c
，
如
x
Q
l
将该方程代入
y?x
2
得
x
2
?kx?c?0
．
令
A(a，a
2
)
，
B(b，b
2
)
，则
ab??c
．
因为
???
OA
?
?
???
OB
?
?ab ?a
2
b
2
??c?c
2
?2
，解得
c? 2
，
或
c??1
（舍去）．故
c?2
．
（2） 由题意知
Q
?
?
a?b
，?c
?
?
，直线
AQ
的斜率为
k?
a
2
?ca
2
AQ?
2
?
a?
a?b
?
?ab
a?b
? 2a
．
xOy
22
又
y?x
2
的导数为
y
?
?2x
，所以点
A
处切线的斜率为
2a
，
y
因此，
AQ
为该抛物线的切线．
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设
Q(x
0
，?c)
．
若
AQ
为该抛物线的切线，则
k
AQ
?2a
， < br>又直线
AQ
的斜率为
k
a
2
?ca
2
?ab
a
2
C(0，c
AQ
?
a?x
?
，所以
?ab
?2a
，
0
a?x
0
a?x
0
得
2ax?a
2
a?b
0
?ab
，因
a?0
，有
x
0
?
2
．
故点
P
的横坐标为
a?b
2
，即
P
点是线段
AB
的中点．





y?x


A，B
20

????????????
28、已知向量
OA?(2,0)
，< br>OC?AB?(0,1)
，动点
M
到定直线
y?1
的距离等于
d
，并且满足
????????????????????
OM?AM?k? (CM?BM?d
2
)
，其中
O
是坐标原点，
k
是 参数。
（1）求动点
M
的轨迹方程；
（2）当
k?
?? ???
1
时，若直线
AC
与动点
M
的轨迹相交于
A
、
D
两点，线段
AD
的垂直平分线交
x
轴
E
，求
|EM|
的
2
取值范围；
解：（1）设
M (x,y)
，则由
???
OA
?
?(2,0)
，
? ??
OC
?
?
???
AB
?
?(0,1)
且
O
是原点，
得
A(2,0)
，
B(2,1)
，
C(0,1)
，从而
OM
?????
?(x,y)
，
????
AM
?
?(x?2,y)
，
CM
??????(x,y?1)
，
????
BM
?
?(x?2,y?1)< br>，
d?|y?1|
，根据
????
OM
?
?
????
AM
?
?k(
????
CM
?
?
????
BM
?
?d
2
)

得
(x,y) ?(x?2,y)?k[(x,y?1)?(x?2,y?1)?|y?1|
2
]
，
即
(1?k)x
2
?2(k?1)x?y
2
?0
为 所求轨迹方程。
（2）当
k?
1
2
时，动点
M
的 轨迹方程是
(x?1)
2
?2y
2
?1
，即
y2
?
1
2
?
1
2
(x?1)
2
，
∵
AC
的方程为
x
2
?
y
1
?1
，∴
y?1?
x
2
代入
(x?1)
2
?2y
2
?1
，
∴
(x?1)
2
?2(1?< br>x
)
2
?1
，∴
x?2x?1?2?2x?
x
2
2
?1
，∴
3x
2
2
2
?8x?4? 0
，
∴
x?
2
3
或
x?2
，∴
D(
2
3
,
2
3
)
。
∴
AD< br>的中点为
(
41
14
3
,
3
)
，∴ 垂直平分线方程为
y?
3
?2(x?
3
)
，
令< br>y?0
得
x?
7
6
，∴
E?(
7
6
,0)

∴
|
????
EM
?
|?(x?
7
6
)
2
?y
2
?
1
2
(x?
4
3
)
2
?
17
36
，
∴
17
6
?|
????
EM
?
|?
76
（
0?x?2
）


21