【高中数学】新人教版必修二高中数学6

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

【高中数学】新人教版必修二高中数学
6



3.3.1 两条直线的交点坐标
整体设计
教学分析

本节课从知识内容来说 并不是很难，但从解析几何的特点
看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，
以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应
该围绕两直线一般方程的系 数的变化来揭示两直线方程联立解的情
况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解 的
情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几
何的直观定义深入到准确 描述这三类情况.在教学过程中，应强调用
交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的 一致
性.

三维目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两 直线不同位置的对
立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证
统一的观 点.

2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，
注意学生语言 表述能力的训练.

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者 易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!” 原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡 读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是 要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓 ，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理
解，培养转化能力.

4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，
以及运动变化的相互联系的观 点.

重点难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交
直线求交点.

教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况
的理解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学
生观察这两条直线的位置关系.

课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一
次方程的解的关系， 那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线
的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的 看法.

思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节
课我们就来研 究这个问题.

推进新课

新知探究

邴原少孤，数岁时， 过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡 其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。2 9

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少 一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其 义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+ C2=0,如何判断这
两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方
程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

?
3x?4y?2?0,
(ⅰ); (ⅱ); (ⅲ).
?
?< br>2x?y?2?0
?
2x?6y?3?0,
?
2x?6y?0,
??
1111

??
y?x?y?x?
??
3232??
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关
系？

④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图
形有什么特点？求出图 形的交点坐标.

讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看
下表，并填空.

几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线上
直线l
1
与l
2
的交点A
代数表示
A(a，b)
l：Ax+By+C=0


②学生进行分组讨论 ，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其
方程所组成的方程组的关系.

设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐
标一定是这两个方程的唯一公共 解,那么以这个解为坐标的点必是直

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰 ：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然 曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记 ，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。 余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交 点,就要看这两条直线方
程所组成的方程组是否有唯一解.
?
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0,
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0

(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;

(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;

(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

?
l
1
、l
2
相交,
?
唯一解
转化
?
?
直线l1、l2联立得方程组
?
无穷多解?
?
l
1
、l2
重合,

?
无解
?
?
?
l
1
、l
2
平行.
(代数问题) (几何问题)

③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ)≠;( ⅱ);(ⅲ)≠.
34
2?632?6
1
??
?

21
1
?1
1
1
?1
1
32
3
2
一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，
l2:A2x+B2y+C2=0(A1 B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

?
A
1
B
1唯一解???l
1
l
2
相交,
?
A
2
B
2
?
?
A
1
B
1
C
1
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?
?
无穷多解????l
1
l
2
重合,

方程组.< br>??
A
2
B
2
C
2
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
?
?
A BC
?
无解?
1
?
1
?
1
?l
1
l
2
平行.
?
A
2
B
2
C
2
?
注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，
重在应用.

(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，
两条直线的位置关系很容易确定.

④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图 形，经过
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得 学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰 ：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须 要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上 口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心 到，眼到，口到。

观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经
过同一点.

(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.

(c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集
合.

应用示例

例1 求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.

解:解方 程组得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，
2).
?
?
3x?y?2?0,

?
2x?y?2?0,
变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方
程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0 .

解:解方程组x-2y+2=0,

2x-y-2=0,得x=2,

y=2,所以l1与l2的交点是(2,2).

设经过原点的直线方程为y=kx, 把点(2,2)的坐标代入以上方程,
得k=1,所以所求直线方程为y=x.

点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方
程也可应用两点式.

例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.

(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.

邴原少孤，数岁时， 过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡 其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。5 9

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少 一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其 义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

活动：教师让学 生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理
是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.
< br>5
?
x?,
?
?
x?y?0,
?
3
解:(1)解方程组得
?

?
?
3x?3y?10?0,
?
y?
5
.
?
3
?
所以l1与l2相交,交点是(, ).
(2)解方程组
?
?
3x?y?4?0,
?
6x?2y ?1?0,
55

33
(1)
(2)

①×2-②得9=0,矛盾,

方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.

(3)解方程组
?
?
3x?4y?5?0,
?
6x?8y?10?0,
(1)
(2)

①×2得6x+8y-10=0.

因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1
与l2重合.

变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.

(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.

(2)l1:( -)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.
3
2
3
2

(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.

答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).

例3 求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程.

解法一：∵直线2x＋ 3y＋5=0的斜率为-，∴所求直线斜率为-.
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原 曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻 然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字， 不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说， 自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

又直线过点A(1，－4)，由直 线方程的点斜式易得所求直线方程为2x
＋3y＋10=0.
22

33解法二：设与直线2x＋3y＋5=0平行的直线l的方程为2x＋3y
＋m=0，∵l经过点A( 1，－4),

∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋
3y＋10=0.

点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常
采用的解题技巧.一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的
斜率.因此，与直 线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋
m=0，其中m待定.经过点A(x0，y0 )，且与直线Ax＋By＋C=0平行的
直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0.

变式训练

求与直线2x＋3y＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的
直线方程.
5

6
答案：2x+3y-1=0.

知能训练

课本本节练习1、2.

拓展提升

问题：已知a为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于
一点，求证:交点不可能在第一象限及x轴上.< br>
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵
坐标的范围.

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有 亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟 有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字 字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远 不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到 ，口到。

a?1
?
x??,
2
?
ax?y?1? 0,
?
?a?1
a?1
解:解方程组,得.若＞0，则a＞1.
?< br>
?
2
?
x?y?a?0
?
y?
a?1.
a?1
?
a?1
?
当a＞1时，－＜0，此时交点在第二象限 内.
a?1

a?1
a
2
?1
又因为a为任意实数 时，都有a2+1≥1＞0，故≠0.

a?1
因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，

a?1a
2?1
,
所以交点不可能在x轴上，交点(－)不在x轴上.

a?1a?1
课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研 究两直线的位
置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同
学们的数形结 合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要
求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直 线不同位置的对
立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证
统一的观点 .当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的
训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加 深对解析法的理解，培
养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，
以 及运动变化的相互联系的观点.

作业

课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.

设计感想

本节课从知识内容来说并 不是很难，但从解析几何的特点
看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，< br>邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲 也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰：无钱资。师曰：童子苟有 志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字 响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不 忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到， 口到。

以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应
该围绕两 直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情
况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方 程Ax＋By＋C=0中A、
B、C就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.

仅此学习交流之用

谢谢

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感 。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳!”原曰 ：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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