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2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题与答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 12:33
tags:高中数学联赛试题

高中数学什么时候-高中数学六字顺口溜

2020年9月22日发(作者:康恺)


2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题(每小题6份,共60分,本题共10小题,要求直接将答案写在横线上)
1. 已知集合
x?5
A?{x?R|x|?2|?1}

B?{x?R|?0}< br>,则
2?x
A?B
= ;
2.图1是 一个算法流程图,若输入
n
3.设圆
x
2
?1,
则最终输出 的数据是 ;
?y?1
的一条切线与
2
x
轴、
y
轴分别交于点
A

B
,则
|AB|
的最
小值为 ;
?
2
2?x
,x?2
4 .已知函数
f(x)?
?
,若关于
x
的方程
?
l og
3
(x?1),x?2
f(x)?m
有两个不同的实根,则实数
m
的取值范围是
用区间形式表示)
5.设
f(x)是定义在R上的奇函数,
f(1)?2
,当
x?0
时,
f(x)
是增函数,且对
任意的
x

y?R
,都有
f(x? y)?f(x)?f(y)
,则函数
f(x)
在敬意[-3,-2]
上的最大 值是
6.对于
n?N
?
,

n?2? 1
是3的整数倍,则
n
被6除所得余数构成的集合是 。
n
7.如图2,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两个动点,且CD∥AB,若半圆的半径为< br>1,则梯形ABCD周长的最大值是
8.如图3,在△ABC中,AB=3,AC=5,若O为
△ABC的外心,则
AO?BC
的值是
9.一个含有 底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为1,且每个小球都与
半球的底 面和球面相切,则该半球的半径R=
10.把长为
a
的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题(每小题20分,共60分)
11.设
0?
?
?
?
,
?
?
?
?2
?
,
若对任意的
x?R
,等式
cos(x?
?
)?sin(x?
?
)
+
2cosx?0
恒成立,试求
?

?
的值。








- 1 -




- 2 -





12.如图4,已知两点
A(?5,0)

B(5,0)

?ABC
的内切圆的圆心在直线
x?2
上移动。
(1).求点
C
的轨迹方程;
(2).过点
M(2,0)
作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于
P

Q
两点,且
MP?MQ
=0,求证:直
线
PQ
必过定点。













13.已知函数
f(x)?
16x?7
4x?4
,数列{
a
n
}、{
b
n
}满足
a
1
?0

b
1
?0

a
n
?f(a
n?1
)

b
n
?f(b
n?1
)

n?2,3 ?.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1).求
a1
的取值范围,使得对任意的正整数
n,
都有
a
n?1
?a
n

(2).若
a
1
?3,b
1
?4 ,
求证:
0?b
n
?a
n
?












1
8
n?1

n?1,2,3?.


- 3 -


第二试
一、数列
{a
n
}
满足< br>a
1
?4,a
n?1
a
n
?6a
n?1?4a
n
?8?0
,记
b
n
?
6
a< br>n
?2
,n?N
?

(1)求数列
{b
n< br>}
的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求数 列
{a
n
?b
n
}

n
项和
S< br>n













二、如图,PA、PB为圆O的两条切线,切点分别为A、 B,过点P的直线交圆O于C、D两点,交弦AB于点Q,
求证:
PQ




















三、设
(x?1)

p
2
?PC?PD?QC?QD
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?(x?3)?x?a
1
x
qnn?1
?a
2
x< br>- 4 -
n?2
?
?
?a
n?1
x?a
n
,
p,q?N
?
.


(1).若
a1
?a
2
,求证:
3n
是完全平方数;
p,q)
,使得
a
1
?a
2
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明:存在无穷多个正整数对
(















四、(1)证明:对任意的
x?0,y?0


1
1?x
?
1
1?y
?
1
(1?y)
2
? (x?y)
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:
C

















0
n
?
3
0
0
3?1
?C?
1
n
3
1
1< br>3?1
?C?
2
n
3
2
2
3?1
? ??C?
n
n
3
n
n
3?1
?
3?2n
nn
n
3?2
.


- 5 -


参考答案
1.已知集合
A?{x?R||x?2|?1}

B?{x?R|
x?5
2?x
?0}
,则
A?B
= ;

2.图1是一个算法流程图,若输入
n?1,
则最终输出的数据是 ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3.设圆
x
22
?y?1
的一条切线与
x
轴、
y
轴分别交于点
A

B
,则
|AB|
的最小值为 ;

?
2
2?x
,x?2
4.已知函数
f(x)?< br>?
,若关于
x
的方程
f(x)?m
有两个不同的实根,则实数
m

?
log
3
(x?1),x?2
取值范围是 用区间形式表示)

5.设
f(x)
是定义在R上的奇函数,
f( 1)?2
,当
x?0
时,
f(x)
是增函数,且
对任意的< br>x

y?R
,都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
,则函 数
f(x)
在敬意[-3,-2]上的最大值是

6. 对于
n?N
?
,

n?2?1
是3的整数倍,则
n
被6除所得余数构成的集合是 。
n

- 6 -



7.如图2,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两个动点,且CD∥A B,若半圆的半径为1,
则梯形ABCD周长的最大值是

8.如图3,在△ABC中,AB=3,AC=5,若O为
△ABC的外心,则
AO?BC
的值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

9.一个含有底面的半球形容器 内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为1,且每个小球都与
半球的底面和球面相切,则 该半球的半径R= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 7 -



10.把长为
a
的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题(每小题20分,共60分)
11.设
0?
?
?
?
,
?
?
?
?2
?
,
若对任 意的
x?R
,等式
cos(x?
?
)?sin(x?
?)

+
2cosx?0
恒成立,试求
?

?< br>的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


- 8 -



12.如图4,已知两点
A(?5,0)

B (5,0)

?ABC
的内切圆的圆心在直线
x?2
上移动。
(1).求点
C
的轨迹方程;
(2).过点
M(2,0)
作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于
P

Q
两点,且
MP?MQ
=0,求证:直线
PQ
必过定点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


13.已知函数
f(x)?
16x?7
4x?4
,数列{
a
n
}、{
b
n
}满足
a
1< br>?0

b
1
?0

a
n
?f(a< br>n?1
)

b
n
?f(b
n?1
)

n?2,3?.

(1).求
a
1
的取值范围,使得对任 意的正整数
n,
都有
a
n?1
?a
n
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2).若
a
1
?3,b
1
?4,
求证:
0?b
n
?a
n
?
1
8
n?1

n?1,2,3?.


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- 10 -


第二试
一、数列
{a
n
}
满足
a
1
?4,a
n?1
a
n
?6an?1
?4a
n
?8?0
,记
b
n
?
6
a
n
?2
,n?N
?

(1)求数列
{ b
n
}
的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)求数列
{a
n
?b
n
}

n
项 和
S
n





二、如图,PA、PB 为圆O的两条切线,切点分别为A、B,过点P的直线交圆O于C、D两点,交弦AB于点Q,
求证:
PQ

2
?PC?PD?QC?QD
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m



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三、设
(x?1)
p
?(x?3)?x ?a
1
x
qnn?1
?a
2
x
n?2
?< br>?
?a
n?1
x?a
n
,p

q?N
?
.
(1).若
a
1
?a
2
,求证:
3n
是完全平方数;
(2)证明:存在无穷多个正整数对(p,q),使得
a
1
?a
2
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


四、(1)证明:对任意的
x?0,y?0


1
1 ?x
?
1
1?y
?
1
(1?y)
2
?(x ?y)
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:
C
0
n
?
3
0
0
3?1
?C?
1
n
3
1
1
3?1
?C?
2
n
3
2< br>2
3?1
???C?
n
n
3
n
n
3 ?1
?
3?2
n
nn
n
3?2
.

- 12 -







w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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