高中数学什么时候-高中数学六字顺口溜
2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题(每小题6份,共60分,本题共10小题,要求直接将答案写在横线上)
1.
已知集合
x?5
A?{x?R|x|?2|?1}
,
B?{x?R|?0}<
br>,则
2?x
A?B
= ;
2.图1是
一个算法流程图,若输入
n
3.设圆
x
2
?1,
则最终输出
的数据是 ;
?y?1
的一条切线与
2
x
轴、
y
轴分别交于点
A
、
B
,则
|AB|
的最
小值为 ;
?
2
2?x
,x?2
4
.已知函数
f(x)?
?
,若关于
x
的方程
?
l
og
3
(x?1),x?2
f(x)?m
有两个不同的实根,则实数
m
的取值范围是
用区间形式表示)
5.设
f(x)是定义在R上的奇函数,
f(1)?2
,当
x?0
时,
f(x)
是增函数,且对
任意的
x
、
y?R
,都有
f(x?
y)?f(x)?f(y)
,则函数
f(x)
在敬意[-3,-2]
上的最大
值是
6.对于
n?N
?
,
若
n?2?
1
是3的整数倍,则
n
被6除所得余数构成的集合是 。
n
7.如图2,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两个动点,且CD∥AB,若半圆的半径为<
br>1,则梯形ABCD周长的最大值是
8.如图3,在△ABC中,AB=3,AC=5,若O为
△ABC的外心,则
AO?BC
的值是
9.一个含有
底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为1,且每个小球都与
半球的底
面和球面相切,则该半球的半径R=
10.把长为
a
的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为
二、解答题(每小题20分,共60分)
11.设
0?
?
?
?
,
?
?
?
?2
?
,
若对任意的
x?R
,等式
cos(x?
?
)?sin(x?
?
)
+
2cosx?0
恒成立,试求
?
、
?
的值。
- 1
-
- 2 -
12.如图4,已知两点
A(?5,0)
、
B(5,0)
,
?ABC
的内切圆的圆心在直线
x?2
上移动。
(1).求点
C
的轨迹方程;
(2).过点
M(2,0)
作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于
P
、
Q
两点,且
MP?MQ
=0,求证:直
线
PQ
必过定点。
13.已知函数
f(x)?
16x?7
4x?4
,数列{
a
n
}、{
b
n
}满足
a
1
?0
,
b
1
?0
,
a
n
?f(a
n?1
)
,
b
n
?f(b
n?1
)
,
n?2,3
?.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1).求
a1
的取值范围,使得对任意的正整数
n,
都有
a
n?1
?a
n
(2).若
a
1
?3,b
1
?4
,
求证:
0?b
n
?a
n
?
1
8
n?1
,
n?1,2,3?.
-
3 -
第二试
一、数列
{a
n
}
满足<
br>a
1
?4,a
n?1
a
n
?6a
n?1?4a
n
?8?0
,记
b
n
?
6
a<
br>n
?2
,n?N
?
(1)求数列
{b
n<
br>}
的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求数
列
{a
n
?b
n
}
前
n
项和
S<
br>n
二、如图,PA、PB为圆O的两条切线,切点分别为A、
B,过点P的直线交圆O于C、D两点,交弦AB于点Q,
求证:
PQ
三、设
(x?1)
p
2
?PC?PD?QC?QD
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?(x?3)?x?a
1
x
qnn?1
?a
2
x<
br>- 4 -
n?2
?
?
?a
n?1
x?a
n
,
p,q?N
?
.
(1).若
a1
?a
2
,求证:
3n
是完全平方数;
p,q)
,使得
a
1
?a
2
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:存在无穷多个正整数对
(
四、(1)证明:对任意的
x?0,y?0
有
1
1?x
?
1
1?y
?
1
(1?y)
2
?
(x?y)
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:
C
0
n
?
3
0
0
3?1
?C?
1
n
3
1
1<
br>3?1
?C?
2
n
3
2
2
3?1
?
??C?
n
n
3
n
n
3?1
?
3?2n
nn
n
3?2
.
- 5 -
参考答案
1.已知集合
A?{x?R||x?2|?1}
,
B?{x?R|
x?5
2?x
?0}
,则
A?B
=
;
2.图1是一个算法流程图,若输入
n?1,
则最终输出的数据是
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.设圆
x
22
?y?1
的一条切线与
x
轴、
y
轴分别交于点
A
、
B
,则
|AB|
的最小值为 ;
?
2
2?x
,x?2
4.已知函数
f(x)?<
br>?
,若关于
x
的方程
f(x)?m
有两个不同的实根,则实数
m
的
?
log
3
(x?1),x?2
取值范围是
用区间形式表示)
5.设
f(x)
是定义在R上的奇函数,
f(
1)?2
,当
x?0
时,
f(x)
是增函数,且
对任意的<
br>x
、
y?R
,都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
,则函
数
f(x)
在敬意[-3,-2]上的最大值是
6.
对于
n?N
?
,
若
n?2?1
是3的整数倍,则
n
被6除所得余数构成的集合是 。
n
- 6 -
7.如图2,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两个动点,且CD∥A
B,若半圆的半径为1,
则梯形ABCD周长的最大值是
8.如图3,在△ABC中,AB=3,AC=5,若O为
△ABC的外心,则
AO?BC
的值是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9.一个含有底面的半球形容器
内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为1,且每个小球都与
半球的底面和球面相切,则
该半球的半径R= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
- 7 -
10.把长为
a
的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为
二、解答题(每小题20分,共60分)
11.设
0?
?
?
?
,
?
?
?
?2
?
,
若对任
意的
x?R
,等式
cos(x?
?
)?sin(x?
?)
+
2cosx?0
恒成立,试求
?
、
?<
br>的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
- 8
-
12.如图4,已知两点
A(?5,0)
、
B
(5,0)
,
?ABC
的内切圆的圆心在直线
x?2
上移动。
(1).求点
C
的轨迹方程;
(2).过点
M(2,0)
作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于
P
、
Q
两点,且
MP?MQ
=0,求证:直线
PQ
必过定点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
13.已知函数
f(x)?
16x?7
4x?4
,数列{
a
n
}、{
b
n
}满足
a
1<
br>?0
,
b
1
?0
,
a
n
?f(a<
br>n?1
)
,
b
n
?f(b
n?1
)
,
n?2,3?.
(1).求
a
1
的取值范围,使得对任
意的正整数
n,
都有
a
n?1
?a
n
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2).若
a
1
?3,b
1
?4,
求证:
0?b
n
?a
n
?
1
8
n?1
,
n?1,2,3?.
- 9 -
- 10 -
第二试
一、数列
{a
n
}
满足
a
1
?4,a
n?1
a
n
?6an?1
?4a
n
?8?0
,记
b
n
?
6
a
n
?2
,n?N
?
(1)求数列
{
b
n
}
的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)求数列
{a
n
?b
n
}
前
n
项
和
S
n
二、如图,PA、PB
为圆O的两条切线,切点分别为A、B,过点P的直线交圆O于C、D两点,交弦AB于点Q,
求证:
PQ
2
?PC?PD?QC?QD
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
- 11 -
三、设
(x?1)
p
?(x?3)?x
?a
1
x
qnn?1
?a
2
x
n?2
?<
br>?
?a
n?1
x?a
n
,p
、
q?N
?
.
(1).若
a
1
?a
2
,求证:
3n
是完全平方数;
(2)证明:存在无穷多个正整数对(p,q),使得
a
1
?a
2
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
四、(1)证明:对任意的
x?0,y?0
有
1
1
?x
?
1
1?y
?
1
(1?y)
2
?(x
?y)
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:
C
0
n
?
3
0
0
3?1
?C?
1
n
3
1
1
3?1
?C?
2
n
3
2<
br>2
3?1
???C?
n
n
3
n
n
3
?1
?
3?2
n
nn
n
3?2
.
- 12 -
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
- 13 -