浙江省宁波市镇海区高中数学竞赛模拟试题(一)

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（一）
一、填空题
1 、已知函数
f(x)?ln(1?a
2
x
2
?ax)?1

(a?0)
，则
1
f(lna)?f(ln)?
_________ ___.
a







2 、
A
,
B
两点分别在抛物线
y?6x
和
⊙C:(x ?2)?y?1
上，则
AB
的取值范围是
____________.








3、若
tan
?
?3tanβ
?
0?
?
?
?
?
222
?
?
?
?
?
，则
?
??
的最大值为____________.
2
?







4、已知△
ABC
等腰直角三角形，其中 ∠
C
为直角，
AC
=
BC
=1，过点
B
作 平面
ABC
的垂线
DB
，
使得
DB
=1，在
DA
、
DC
上分别取点
E
、
F
，则△
B EF
周长的最小值为____________.









5、已知函数
f(x)?x?3x，对任意的
m?
?
?2,2
?
，
f(mx?8)?f( 2)?0
恒成立，则正
．
3x
实数
．．
x
的取值范 围为____________.



1

6、已知向量
a,b,c
满足
|a|:|b|:|c|?2:k:3(k?N
*
)
，且
b?a?2 (c?b)
，若
?
为
a,c
的夹
角，则
cos?
的值为____________.








7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则 该容器棱长最小值为
____________.








8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左 边第一个小球开始向右数小球，无
论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为_______ _____.







二、解答题
9.(本小题满分14分)在△
ABC
中，内角
A,
B
,
C
对边的边长分别是
a
,
b
,
c
，向量
p?
?
sinA?sinC,sinB
?
，向量
q?(a?c,b?a)
，且满足
p?q
.
(Ⅰ)求△
ABC
的内角
C
的值；
(Ⅱ)若
c< br>=2，2sin2
A
+sin(2
B
+
C
)=sin
C
，求△
ABC
的面积.










2

10.（本小题满分14分）已知数列
?
a
满足：
a
2n
?
1
?2,a
n?1
?a
n
?2a
n
.
(1)求证：数列
?
lg(a
n
?1)
?< br>是等比数列，并求
?
a
n
?
的通项公式;
(2)若
b
1
n
?
a
?
1
?2
，且数列< br>?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
，求证：
S
n
?1
.
n
a
n

















11.(本小题满分14分)设f(x)?e
x
?ax?a
.（e是自然对数的底数）
(Ⅰ)若
f(x)?0
对一切
x??1
恒成立，求
a
的取值范围；
(Ⅱ)求证：
(
2015
2016
)
1008
?e
?
1
2
.













3

12.(本小题满分15 分)设正数
x
,
y
满足
x?y?x?y
，求使
x? λy?1
恒成立的实数
?
的
最大值.


















3322
x
2
1?y
2
?1
及点
P(1,)
，过点
P
作直线< br>l
与椭圆
C
交13.(本小题满分15分)已知椭圆
C:
2< br>2
于
A
、
B
两点，过
A
、
B
两点分别作
C
的切线交于点
Q
.
(1)求点
Q
的轨迹方程；
(2)求△
ABQ
的面积的最小值.










4

数学竞赛模拟试卷（1）答案
1.【解析】
f(x)?f(?x)?ln(1?a
2
x
2
?ax)?ln(1?a
2
x
2
? ax)?2?ln(1?a
2
x
2
?a
2
x
2)?2?2
.
2.【解析】由于
AB?AC?1
，则只需要考虑
AC
的范围.
，??
?
. 故
AB
的取值范围为
?
1
3 .【解析】
tan
?
α?
?
?
?
AC?(x?2)
2
?y
2
?(x?2)
2
?6x?x
2
? 2x?4?(x?1)
2
?3,又x?0,故AC
min
?2，
2< br>tan
?
?tan
?
2tan
?
??
1?t an
?
tan
?
1?3tan
2
?
2
1< br>?3tan
?
tan
?
?
3
?
?tan
36
ππ
?
?
0
?β?α?，?
0
?α?
?
?
.?α?β?
.

226
4.【解析】由题意可知，
?CDB?
之和为
?
4
，且∠
BDA
与∠
CDA
?
.如图，将侧面
BDA
和侧面
CDB
分别折起至面
B
1
DA
2
和
B
2
DC
，且与侧面
ADC
位于同一个平面上.则△
BEF
周长的
最小值即面
AB
1
DB
2
C
上两点
B
1
,B
2
之间的线段长.
由前面的分析可知，
?B
1
DB
2
??B
1
DA??ADC??CDB
2
?
ππ
3
π
??
，
244
?
2
?
2
?
由余弦定理可得，
BB?BD
2
?BD
2
?2BD?BD?cos?BDB?1?1?2?
?
??
? 2?2.

?
12121212
??
所以，△
BEF
周长的最小值为
2?2
.
5

5.【解析】
f (x)?x?3x
为奇函数且为增函数
f(mx?8)?f(2)?0
等价于
3x
f(mx?8)??f(2
x
)?f(?2
x
)
即mx?8??2
x
即
mx?2
x
?8?0
对任意的m?
?
?2,2
?
成
x
?
?
0?x? 2
?
2x?2?8?0
立即
?
，所以
?
，即0<< br>x
<2
x
0?x?4
?
?
?
?2x?2? 8?0
2
121
2
4
2
4
6.【解析】由
b?a?2(c?b)
得
b?a?c
所以
b?a?c?a?c
， < br>33999
40241664
2
又
|a|:|b|:|c|?2:k: 3
，所以
k??cos
?
?[,]
，又
k?N
*< br>，所以
k
=2，所以
9999
1
cosα
的值为?
.
6
7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第 3层6个，即每一条
棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心 到四面
体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角
的余弦值为
66
?4?26
. ，故容器棱长的最小值为
4?2?3?33
8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为
11
；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；如果只23
1
有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为；以此类推，可 知将
4
10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论 数几
个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为
1
；
6
法2：直接从10个小球入手分类讨论.
9.【解析】(Ⅰ)由题意
p? q
，所以，
?
a?c
??
sinA?sinC
?
?
?
b?a
?
sinB?0
.
由正弦定理，可得
?
a?c
??
a?c
?
?
?
b?a
?
b?0
.整理得
a?c?b?ab
.
222
a
2
?b
2
?c
2
1
π
?
，又
C?
?
0
，?
?
，所以，
C?
……6分 由余弦定理可得，
cosC?
2ab2
3
(Ⅱ)由
2sin2A?sin
?< br>2B?C
?
?sinC
可得，
4sinAcosA?sin
?
B?π?A
?
?sin
?
B?A
?
.
整 理得，
4sinAcosA?sin
?
B?A
?
?sin
?
B?A
?
?2sinBcosA
.
当
cosA?0
时，
A?
π
23
π
，此时，
b?2cot?
.所 以△
ABC
的面积为
33
2
123
bc?
当
cosA?0
时，上式即为
sinB?2sinA
，有正弦定理可得
b=2
a
，又
23
2343
a
2
?b
2
?ab?4
，解之得，
a?
，
b?
，所以△
ABC
的面积为
33
123
S
△ABC
?absinC?
.
23
123
综上所述，△
ABC
的面积为
S
△ ABC
?absinC?
. ……14分
23
2
2
10. 【解析】(1)由已知得
a
n?1
?a
n
?2a
n
，
a
n?1
?1?
?
a
n
?1
?
，
因为
a
1
?2
，所以
a
n
?1?1< br>，两边取对数得
lg
?
1?a
n?1
?
?2lg?
1?a
n
?
，
S
△ABC
?
6

即
lg
?
1?a
n?1
?
?2，故
?
lg
?
a
n
?1
??
为以lg 3为首项，2为公比的等比数列，
lg
?
1?a
n
?
n? 1
n?1
即
lg
?
a
n
?1
?
? 2lg3
，即
a
n
?3
2
?1
. ……5分
11
?
11
?
?
，
?
?
???
a
n?1
2
?
a
n
a
n
?2
?
?
1
112
1
?
?
??
所 以，即
b
n
?2
?
……10分
?
??
，
a
n
?2a
n
a
n?1
aa
n?1
??
n
1
??
1
故
S
n
?2
?
?
2
n
……14分
?
，故
S
n
?1
.
?
2
3?1
?
n?1
112?3
2
11
1
??
1?
2
n
?
2
n
?2(
2
n?1
?
2
n
)
，则
S
n
?2
?
?< br>2
n
法2：
b
n
?
2
n
?
?1
.
2
3?13?13?13?13?1
3?1
??
e
x
?
x??1
?
， 11.【解析】(Ⅰ)
f(x)?0?
?
x?1
?
a?e?a?
x?1
xe
x
x e
x
e
x
?0
得
x
>0. 令
h(x)?
，则
h
?
(x)?
，由
h
?
(x)?22
(x?1)(x?1)
x?1
??
?
上单调递增，
h
(
x
)在(-1,0)单调递减.所以
h(x)?h(0)?1
?
x??1
?
，由所以
h
(
x
)在
?
0，
x
?1
此得：
a?1
.又
x
=-1时，?
x?1
?
a?e
即为
0?a?e
，此时
a< br>取任意值都成立.
综上得：
a?1
. ……8分
11
1< br>??
?
2015
1008
20151
20162016
2
)?e??e?1??e
(Ⅱ)
(
.
2
x
由 (Ⅰ)知，当
a
=1时
f(x)?0
对一切
x??1
恒成立 ，即
e?x?1
(
x
=0时取等号).
2
(2)法1：由
a
n?1
?a
n
?2a
n
两边取倒数得
1
?
?
12015
1008
1
2016
?e)?e< br>2
. 取
x??
，得
1?
.即证得：
(
20 162016
2016
x
33
12【解析】由正数
x
,y
满足
x?y?x?y
，知
x?y?0
.令
t??1< br>.
y
1
……14分
不
2
等式
x?λy? 1
22
等价于
x
3
?y
3
x
?
λ y
?
x?y
22
，等价于
x
3
?y
3
x
2
y?y
3
x
2
y?y
3
2
λy
??x?
，等价于
λ
?

?
x?y
?
y
2
x?yx?y
x
2
?y
2
t
2
?1
t
2
?122
?
等价于
λ
?
.因为
f(t)??2?(t?1)??2?2(t?1)??2?22
，
2
xy?yt?1
t?1t?1t?1
2
等号仅当t?1?
，即
t?1?2
时成立，
t?1
所以，实数
?
的最大值为
2?22
. ……15分
13.【解析】(1)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),Q(x
0
,y
0
)
， < br>xx
xxxx
则
QA:
1
?y
1
y?1过
Q
，有
10
?y
1
y
0
?1
；……①
QB:
2
?y
2
y?1
，有
222x
2
x
0
xx
1
?y
2
y
0
?1
，……②故直线
AB:
0
?y
0
y?1
过点
P(1,)
，则有
222
7

x
0
y
0
……5分
??1?x
0
?y
0
?2
……③故
Q
的轨迹方程为
x
+
y
=2.
22
22
),B(1,?),Q(2,0)
(2)对直线
AB，当斜率不存在时，即为
x
=1，此时
A(1,
22
12

S
△ABQ
??2?1?

22
11
斜率存在 时，设直线
AB:y??k(x?1)?y?kx??k
.
22
?
x
2
?2y
2
?2
3
?
222
联立，消掉
y
得
(2k?1)x?2k(1?2k)x?(2k?2k?)?0
. ?
1
2
?
y?kx??k
2
?
2k(2k?1 )
?
x?x?
?
12
2k
2
?1
?
于是有
?
3

2
2k?2k?
?
2
?< br>x
1
x
2
?
2
2k?1
?
x
4k2
又①-②，得到
0
?ky
0
?0
与③式联立，可解 得
Q(
……10分
,)
.
22k?11?2k

8