2020年湖南省高中数学竞赛试题

2020年湖南省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．定义集合运算:
A?B?
?
z|z?xy,x?A,y?B
?
.设
A?
?< br>2,0
?
，
B?
?
0,8
?
，则集合
A?B
的所有元素之和为
A．16 B．18
2．已知
?
a
n
?
是等比数列，
a
2
?2,a
5?
围是
A．
?
12,16
?


B．
?
8,16
?


C． 20

D．22
（ ）
1
?
，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?????a
n
a
n?1
?
n?N
?
的取值范
4

C．
?
8,
（ ）
?
32
?
?

?
3
?
D．
?
?
1632
?
,
?

?
33< br>?
3．5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概< br>率为 （ ）
A．
3

5
B．
1

15
C．
5

8
D．
50

81
4．已知
a
、
b
为非零的不共线的向量，设条件
M:
b?a?b
；条件
N:
对一切
x?R
，不
等式
a?xb?a?b
恒成立．则
M< br>是
N
的 （ ）
??

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分而且必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．设函数
f(x)
定义在
R
上，给出下述三个命题：
① 满足条件
f(x?2)?f(2?x)?4
的函数图象关于点
?
2,2
?
对称；
②满足条件
f(x?2)?f(2?x)
的函数图象关于直线< br>x?2
对称；
③函数
f(x?2)
与
f(?x?2)
在同一坐标系中，其图象关于直线
x?2
对称.其中，真命
题的个数是
A．0

B．1

C．2

D．3
（ ）


6．连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于
2 7
和
43
，
M
、
N
分别为
AB
、
CD
的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面

四个命题：
①弦
AB
、
CD
可能相交于点
M

③
MN
的最大值为5
其中真命题为
A．①③④ B．①②③
00
②弦
AB
、
CD
可能相交于点
N

④
MN
的最小值为1

C．①②④ D．②③④
0
（ ）
0
7．设
a?sin(sin2008)
，
b?sin(cos2008)
，
c?cos(sin2008)
，
d?cos(cos2008)
,
则
a,b,c,d
的大小关系是


A．
a?b?c?d

C．
c?d?b?a

32

B．
b?a?d?c

D．
d?c?a?b

（ ）
8．设函数
f(x)?x?3x?6x?14
，且
f(a)?1
，
f(b)?19
，则
a?b?
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
?2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9．在平面直角坐标系中，定义点
P
?
x
1
,y
1
?
、
Q
?
x
2
,y
2
?
之间的“ 直角距离”为
d(P,Q)?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
.
若
C
?
x,y
?
到点
A
?
1,3
?
、
B
?
6,9
?
的“ 直角距离”相等，其
中实数
x
、
y
满足
0?x?10
、
0?y?10
，则所有满足条件的点
C
的轨迹的长度之和
为 ．
22
10．已知集合
??
?
x,y
?
|x?y ?2008
，若点
P(x,y)
、点
P
?
(x
?< br>,y
?
)
满足
x?x
?
且
??
y ?y
?
，则称点
P
优于
P
?
. 如果集合
?
中的点
Q
满足：不存在
?
中的其它点优于
Q
，< br>则所有这样的点
Q
构成的集合为 ．
11．多项 式
1?x?x
2
?????x
100
??
的展开式在合并同 类项后，
x
3
150
的系数为 .（用
数字作答）
12．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面
上 ，且该六棱柱的体积为
9
，底面周长为3，则这个球的体积为 . < br>8
13．将一个
4?4
棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两 个黑色方格，则
有 不同的染法.（用数字作答）
14．某学 校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第
k
棵树种植在点
Pk
?
x
k
,y
k
?
处，其中
x
1
?1,y
1
?1
，当
k?2
时，

?
?
k?1
??
k?2
?
x?x?1?5?5
?
;
kk?1
?
???
?
?
5
??
5
?

?
?
y
k
?y
k?1
?
?
k?1
?
?
?
k?2
?
.
?< br>?
?
5
?
?
?
?
5
?
?< br>?
其中，
?
a
?
表示实数
a
的整数部分，例 如
?
2.6
?
?2
，
?
0.6
?
?0.
按此方案，第2020棵树
种植点的坐标为 .
三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分 14分）设实数
a,b?
?
?
,
?
?
，求证：

ba
??
???

ab
??
其中等号当且仅当
a?
?
,b?
?
或< br>a?
?
,b?
?
成立，
?
,
?
为正 实数.






16．（本小题满分14分 ）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者
获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的 概率为
21
，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠
33
军”的事件称为“爆出 冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．





< br>17．（本小题满分16分）已知函数
f(x)?ln
?
1?x
??x
在区间
?
0,n
?
n?N
令
a
n
?ln
?
1?n
?
?b
n
，
p
k
?
求证：
p
1
?p
2
?????p
n?


?
?
?
上的最小值为
b
n，
a
1
a
3
???a
2k?1
k?N
?
，
a
2
a
4
???a
2k
??
2a
n
?1?1.

x
2
y
2
??1
的切线18．（本小题满分18 分）过直线
l:5x?7y?70?0
上的点
P
作椭圆
259
PM
、
PN
，切点分别为
M
、
N
，联结
MN.

（1）当点
P
在直线
l
上运动时，证明：直 线
MN
恒过定点
Q
；
（2）当
MN
∥l
时，定点
Q
平分线段
MN.

参考答案

说明：
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准
适当档次给 分.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只
有一项是符合题目要求的.）
z
3
?0?0 ?0
，
z
1
?2?0?0
，
z
2
?2?8 ?16
，
z
4
?0?8?0
，1． 解：集合
A?B
的元素：
故集合
A?B
的所有元素之和为16. 选A.
1
a
1
1
3
2． 解: 设
?
a
n
?
的公比为
q
，则
q?
5
?
4
?
，进而
q?
.
a
2
28
2
2
所以，数列
?
a
n
a
n?1
?
是以
a
1
a
2
?8
为首项，以
q?
1
为公比 的等比数列.
4
a
1
a
2
?a
2
a< br>3
?????a
n
a
n?1
1
??
8
?
1?
n
?
4
?
32
?
?
?1 ?4
?n
.
1
3
1?
4
??
显然，8?a
1
a
2
?a
1
a
2
?a
2
a
3
?????a
n
a
n?1
?
32
. 选C.
3
5
3． 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为
3?243
种. 每个场馆至少有一
名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此
132
类的方法数为
C
3
?C
5
?A
2< br>?60
种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类
112
的方法数为
C
3
?C
5
?C
4
?90
种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为
P?
60?9050
?
.选D.
24381
4． 解：设
OA?a
，
OB?b
，则
xb
表示与
OB
共线的任一向量，
a?xb
表示点
A到直
线
OB
上任一点
C
的距离
AC
，而
a?b
表示点
A
到
B
的距离. 当
b?a?b
? ?
时，
AB?OB.
由点与直线之间垂直距离最短知，
AC?AB
， 即对一切
x?R
，不等式
a?xb?a?b
恒成立．反之，如果
AC ?AB
恒成立，则
?
AC
?
min
?AB
，故AB
必

为点
A
到
OB
的垂直距离，OB?AC
，即
b?a?b
. 选C.
5． 解：用
x?2< br>代替
f(x?2)?f(2?x)?4
中的
x
，得
f(x)? f(4?x)?4
.如果点
?
x,y
?

在
y?f (x)
的图象上，则
4?y?f(4?x)
，即点
?
x,y
?
关于点
?
2,2
?
的对称点
??
?
4? x,4?y
?
也在
y?f(x)
的图象上.反之亦然，故①是真命题.用x?2
代替
f(x?2)?f(2?x)
中的
x
，得
f (x)?f(4?x)
.如果点
?
x,y
?
在
y?f(x)
的图象上，
则
y?f(4?x)
，即点
?
x,y
?
关于点
x?2
的对称点
?
4?x,y
?
也在
y?f(x)
的图象上，
故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题 都是真命题.选D.
6． 解：假设
AB
．
CD
相交于点
N
，则
AB
．
CD
共面，所以
A
．
B．
C
．
D
四点共圆，
而过圆的弦
CD
的中点< br>N
的弦
AB
的长度显然有
AB?CD
，所以②是错的．容易证 明，
当以
AB
为直径的圆面与以
CD
为直径的圆面平行且在球心两侧 时，
MN
最大为５，故
③对．当以
AB
为直径的圆面与以
C D
为直径的圆面平行且在球心同侧时，
MN
最小为
1，故④对.显然是对的． ①显然是对的.故选Ａ．
7． 解：因为
2008?5?360?180?28
，所以，
0000
a?si n(?sin28
0
)??sin(sin28
0
)?0
；
b?sin(?cos28
0
)??sin(cos28
0
)?0
；
c?cos(?sin28
0
)?cos(sin28
0
)?0；
d?cos(?cos28
0
)?cos(cos28
0
)? 0
．
又
sin28?cos28
，故
b?a?d?c.
故选B.
32
3
8． 解：由
f(x)?x?3x?6x?14?
?
x?1
?
?3
?
x?1
?
?10
，令
g( y)?y?3y
，则
g(y)

3
00
为奇函数且单调递增.
而
f(a)?
?
a?1
?
?3
?
a?1
?
?10?1
,
f (b)?
?
b?1
?
?3
?
b?1
?
?1 0?19
,
33
所以
g(a?1)??9
,
g(b?1) ?9
,
g(?b?1)??9
,从而
g(a?1)?g(?b?1)
,
即
a?1??b?1
,故
a?b??2
.选D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9． 解：由条件得
x?1?y?3?x?6?y?9
①
当
y?9
时，①化为
x?1?6?x?6
，无解；
当
y?3
时，①化为
x?1?6?x?6
，无解；

当
3?y?9
时，①化为
2y?12?x?6?x?1
②
若
x?1
，则y?8.5
，线段长度为１；若
1?x?6
，则
x?y?9.5
，线段长度为
52
；
若
x?6
，则
y?3.5
，线 段长度为４．综上可知，点
C
的轨迹的构成的线段长度之和为
1?52?4?52?1
．填
52?1
．
10．解:
P
优于
P
?
，即
P
位于
P
?
的左上方，“不存在
?
中 的其它点优于
Q
”，即“点
Q
的左
上方不存在
?
中 的点”.故满足条件的点的集合为
????
?
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?2008,x?0且y?0
.填
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?2008,x?0且y?0
．
???
11．解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程
s?t?r?150
①
的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为
C
152
.

下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超 过100，不
妨设
s?100
.将方程①化为
2
(s?101)?t?r?49

记
s
?
?s? 101
，则方程
s
?
?t?r?49
的自然数解的组数为
C
51
.

因此，
x
150
212
的系数为
C
152
?C
3
C
51
?7651
.填7 651.
2
12．解：因为底面周长为3，所以底面边长为
33
1
，底面面积为
S?
.
8
2
又因为体积为
9
2，所以高为
3
.该球的直径为
1?
8
44
4
V ?
?
R
3
?
?
.填
?
.
33< br>3
2
?
3
?
2
?2
，球的体积
13 ．解：第一行染2个黑格有
C
4
种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染 的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有
C
4
种染法，第四行的染
法随 之确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一．第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染
法有2种，第 四行的染法随之确定.
2

因此，共有染法为
6?
?
1?6?4?2
?
?90
种.填90.
?
?
14．解：令
f(k)?
?
，则
??
?
5
??
5
?
?
k?5?1
??
k?5 ?2
??
k?1
??
k?2
??
k?1
??
k?2
?
f(k?5)?
?
?
?
?
?
1 ??
?
1??
?
?
?
?f(k)
??????555555
????????????
故
f(k)
是周期为5的函数.
计算可知：
f(2)?0
；f(3)?0
；
f(4)?0
；
f(5)?0
；
f(6 )?1
. 所以，
?
k?1
??
k?2
?
x2008
?x
2007
?1?5f(2008)
；
x
2 007
?x
2006
?1?5f(2007)
；…；
x
2< br>?x
1
?1?5f(2)
.
以上各式叠加，得
x
2 008
?x
1
?2007?5
?
f(2)?f(3)?????f( 2008)
?

?x
1
?2007?5
?
401< br>?
f(2)?f(3)?????f(6)
?
?f(2)?f(3)
?

?x
1
?2007?5?401?3
；
同理可得
y
2008
?402
.
所以，第2020棵树的 种植点为
?
3,402
?
.填
?
3,402
?.
三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．证明 ：由对称性，不妨设
a?b
，令
a
?t
，则因
?
? a?b?
?
，可得
b
?
a
?
?t??.
…………………………（3分） ?
b
?
设
f(t)?t?
1
?
?
1< br>?
?
?
f(t)?1?
，则对求导，得.…………（6分）
??
?t?
t
2
?
t
?
t
?
??
?
易知，当
t?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
t?
f(t)?0
时，，单调递减；当
f(t)
,1
?
?
1,
?
时，
f
?
(t)?0，
f(t)

?
?
?
?
?
?
?
单调递增. …………………………………………………………………（9分）
故
f(t)
在t?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
f
或
t?
处有最大值且
f
?
及
?
??
??
??
两者相等.
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
??

故
f(t)
的最大值为
??
1
??
?
，即
f (t)?t???
.………………（12分）
??
t
??
由
ba
??
a
?t
，得
???
，其中等号仅当
a?
?
,b?
?
或
a?
?
,b?
?
成 立.
ab
??
b
…………………………………………………………………… ……（14分）
16． 解：如果某方以
3:1
或
3:0
获胜，则 将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，
问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…… ……（3分）
?
1
?
乙胜五局的概率为
??
；…………… …………………………………（6分）
?
3
?
?
1
?2
乙胜四局负一局的概率为
C
??
?
；…………………………… …（9分）
?
3
?
3
1
5
4
5
?
2
?
2
?
1
?
乙胜三局负二局的概率为
C
5
??
?
??
.
……………………………（12分） < br>?
3
??
3
?
以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率 为
32
17
.
……………（14分）
81
17．解：（1 ）因为
f(x)?ln
?
1?x
?
?x
，所以函数的定义域 为
?
?1,??
?
，…（2分）
又
f
?
(x)?
1x
.……………………………………………（5分）
?1??
1 ?x1?x
当
x?
?
0,n
?
时，
f
?
(x)?0
，即
f(x)
在
?
0,n
?
n ?N
?
?
?
上是减函数，故
b
n
?f(n)?ln
?
1?n
?
?n.

a
n
?ln
?
1?n
?
?b
n
? ln
?
1?n
?
?ln
?
1?n
?
?n? n.
…………………………（8分）
?
2k?1
??
2k?1?
4k
2
?1
因为
??1
,所以
22
4k
?
2k
?
?
1?3?5?????
?
2k? 1
?
?
?
2k?1
??
2k?1
?
?1
?
1
.
1?33?55?7
????????
?< br>2?4?????
?
2k
?
?
2k?12k?1
2< br>2
4
2
6
2
?
2k
?
2
? ?
…………………………………………………………………………（12分）
又容易证明
2
1
?2k?1?2k?1
，所以
2k?1< /p>

p
k
?
a
1
a
3
???a< br>2k?1
1?3?5?????
?
2k?1
?
??
a
2
a
4
???a
2k
2?4?????
?
2k
?
1
2k?1
?2k?1?2k?1k?N
?
，
??
………………………………………………………………（14分）
p
1
?p
2
?????p
n
?
?
3?1?
??
5?3?????
??
2n?1?2n?1

?

?2n?1?1
?2a
n
?1?1
.
即
p
1
?p
2
?????p
n
?2a
n?1?1.
……………………（16分）
18．证明：（1）设
P
?< br>x
0
,y
0
?
．
M
?
x
1
,y
1
?
．
N
?
x
2
,y
2
?
. 则椭圆过点
M
．
N
的切线方程分
别为
x
1
xy
1
yxxyy
??1
，
2
?
2
?1
.…………………………………………（3分）
259259
因为两切线都过点
P
，则有
x
1
x
0
y
1
y
0
xxyy
??1
，
2 0
?
20
?1
.
259259
这表明
M
．
N
均在直线
x
0
xy
0
y
??1
①上.由两点决定一条直线知，式①就是直
259
线
MN
的方程 ，其中
?
x
0
,y
0
?
满足直线
l
的方程.…………………（6分）
（1）当点
P
在直线
l
上运动 时，可理解为
x
0
取遍一切实数，相应的
y
0
为
y
0
?
5
x
0
?10.

7
x
0
5x?70
x?
0
y?1?0
②
2563
代入①消去
y
0
得
对一切
x
0
?R
恒成立. …………………………………………………………（9分）
变形可得
x
0
?
?
x5y
??
10y
?
??1
?
?0

?
?
?
?
2563
??
9
?
?
x5y
?
25
?
63
?0,
对一切
x
0
?R< br>恒成立.故有
?

10y
?
?1?0.
?
9

c由此解得直线
MN
恒过定点
Q
?
?
259
?
,?
?
.……………………………（12分）
?
1410
?
x
0
5x
0
?70
4375
?1
63
（2）当
MN
∥
l
时，由式②知
25?
.

?.
解得
x
0
?
5335?7?70
533
代入②，得此时
MN
的方程为
5x?7y? ?0
③
35
将此方程与椭圆方程联立，消去
y
得
533
2
533128068
x?x??0.
…………………………………………（15分）
2571225
由此可得，此时
MN
截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点
Q
?
?
259
?
,?
?
的横坐标，即
14 10
??
?533
x?x
2
25
x?
1
? ?
7
?.

533
142
2?
25
代入③ 式可得弦中点纵坐标恰好为点
Q
?
?
259
?
,?
?
的纵坐标，即
1410
??
y?
5255331
?125533
?
9
??????.

??
7147?3 549
?
22
?
10
?
259
?
,??
平分线段
MN
.……………………………（18分）
1410
??
这就是说，点
Q
?