高中数学创设 实验式 问题情境-高中数学课堂教学有效性界定
.
第二讲:函数的单调性
一、定义:
1.设函数
y?f
(x)
的定义域为
I
,如果对于定义域
I
的某个区间
D的任意两个自
变量的值
x
1
,x
2
,当
x1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2),
那么就说
f(x)
在区间
D
上是增
函数.区间D
叫
y?f(x)
的单调增区间.
注意:增函数的等价式子:
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
难点突破:(1)所有函数都具有单调性吗?
(2
)函数单调性的定义中有三个核心①
x
1
?x
2
②
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
③
函数
f(x)
为
增函数,那么①②③中任意两个作为条件,能不能推出第三个?
2. 设函数
y?f(x)
的定义域为<
br>I
,如果对于定义域
I
的某个区间
D
的任意两个自
变
量的值
x
1
,x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
),
那么就说<
br>f(x)
在区间
D
上是减
函数.区间
D
叫
y
?f(x)
的单调减区间.
注意:(1)减函数的等价式子:
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
f
(x
1
)?f(x
2
)
?
0
;
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?<
br>0
;
x
1
?x
2
(2)若函数
f(x)
为增函数,且
x
1
?x
2
,
则f
(
x
1
)
?f
(
x
2
)
.
题型一:函数单调性的判断与证明
.
.
例1.已知函数
f(x)
的定义域为
R
,如果对于属于定义域某个区间
I
上
的任意两
个不同的自变量
x
1
,x
2
都有
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
?0.
则( )
x
1
?x
2
A.
f(x)
在这个区间上为增函数
B.
f(x)
在这个区间上为减函数
C.
f(x)
在这个区间上的增减性不变
D.
f(x)
在这个区间上为常函数
变式训练:定义在
R<
br>上的函数
f(x)
对任意
0?x
2
?x
1
都
有
f(x
1
)?f(x
2
)
?1
,且函
x
1
?x
2
数
y?f(x)
的图象关于原点对称,若
f(2)?2,
则不等式
f(x)?x?0
的解集为___.
例3.证明:函数
f
(
x
)
?x
3
?x
在
R
上是增函数.
易错点:
①
②
③
a
变式训练:讨论
f
(
x
)?
x
?(a?0)<
br>的单调性.并作出当
a?1
时函数的图象.
x
.
.
变式训练:已知
f(x?1)?x
2
?2x,
判断函数<
br>g(x)?
义证明.
f(x)
并用定
在(0,1)上的单调性,
x
.
.
题型二:函数的单调区间
难点突破:(1)函数在某个区间上是单调函数,那么它在整个定义域上也是单
调函数吗?
(2)函数
f(x)?
例1.(图像法)求下列函数的单调区间
(1)
f(x)?|x?1|?|x?2|
. (2
)
f
(
x
)
??x
2
?
2|
x<
br>|
?
3
.
(3)
f
(
x
)
?
|
?x
2
?
4x?
5|
.
易错点:①区间端点的
确认
②多个单调区间的写
法
1
的单调减区间是
(??,0)?(0,??)
上吗?
x
.
.
例2.(直接法)求函数
f(x)?
例3.(复合函数)(2017全国二)函数
f(x)?ln(x
2
?2x?8)
的单调递增区间是
( )
A.
(??,?2)
B.
(??,?1)
C.
(1,??)
D.
(4,??)
变式训练:求下列函数的单调区间.
(1)
y?
.
1?x
的单调区间.
1?x
易错点:
1
(2)
y?x
2
?5x?6
2
x?x?3
.
(3)
y?1?
题型三:抽象函数的单调性问题 <
br>例1.设函数
f(x)
是实数集
R
上的增函数,令
F(x)?
f(x)?f(2?x)
.
(1)
证明:
F(x)
是
R
上的增函数;
(2) 若
F
(
x
1
)
?F
(
x
2
)
?
0,
求证:
x
1
?x
2
?2
.
例2定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件:
①对任意正数
a,b
,都有
f(a)?f(b)?f(ab)
;
②当
x?1
时,
f(x)?0
;
.
1
3?2x?x
2
.
③
f(2)??1
.
(1)求
f(1)
的值;
(2)使用单调性的定义证明:函数
f(x)
在
(0,??)
上是减函数;
(3)求满足
f(3x?1)?2
的
x
的取值集合.
题型四:函数单调性的应用
(1)利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
①正向应用:
.
.
②逆向应用:
3
?
例1.
f
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递减,那么
f
?
a
2
?a?<
br>1
?
与
f
?
??
的大小关系是__________
.
?
4
?
变式训练:已知函数
f(x)满足
f(1?x)?f(1?x),
且对任意的
x
1
,
x
2?
1(
x
1
?x
2
)
,有
f(x1
)?f(x
2
)
1
?0.
设
a?f(?),
b?f
(2),
c?f
(3),
则
a,b,c的大小关系_________.
x
1
?x
2
2
(2)利用函数的单调性解不等式
例2.设
f(x
)
是定义在
[?1,1]
上的增函数,且
f(x?2)?f(1?x)
成立,求
x
的取值
围.
<
br>变式训练.①设
f(x)
是定义在
[?3,3]
上的偶函数,当
0?x?3
时,
f(x)
单调递减,
易错点:
.
.
若
f(1?2m)?f(m)
成立,求
m
的取值围.
②(2015全国二)设函数
f(x)?ln(1?x)?
的取值围是( )
1
11111
A.
(
,1)
B.
(??,)?(1,??)
C.
(?,)
D.
(??,?)?(,??)
3
33333
1
,则使得f(
x)?f(2x?1)
成立的
x
2
1?x
?
2<
br>?x
,x≤0
,则满足
f
?
x?1
?
?f<
br>?
2x
?
的
x
的取值围
③(2018全国一)设函数
f
?
x
?
?
?
1
,x?0
?
是( )
A.
?
??,?1
?
B.
?
0,??
?
C.
?
?1,0
?
D.
?
??,0
?
(3)根据函数的单调性求参数的取值围
例1.如果函数
f
(
x<
br>)
?
2
x
2
?
4(1
?a
)
x?
1
在区间
[3,??)
上是增函数,则实数
a
的取值
围是( )
A.(1,2) B.(0,2) C.(0,1)
D.
?
?2,??
?
.
.
变式训练:如果函数
f
(
x
)
?x
2
?
2(1
?a
)
x?
2
在区间[??,4)
上是减函数,数
a
的取
值围.
?
(2b?1)x?b?1,x?0,
例
2.若函数
f(x)?
?
2
在
R
上为增函数,则实数
b
的取值围是
?
?x?(2?b)x,x?0
__________.
例3.若函数
y?|x?a|
在区间
(??,4]
上是减函数,数
a
的取值围.
.
易错点:
易错点:
.
第三节:函数的奇偶性
一、知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定
义 图象特点 备注
函数
f(x)
是奇函
关于原点
奇函数 对
D
的任意
一个
x
,都有
?x
∈
D
,且
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,则这个函数叫做奇函数
★★设函数
y?f(x)
的定义域为
D
,如果
数且在
x?0
处有
中心对称
定义,则
f(0)?0
设函数<
br>y?f(x)
的定义域为
D
,如果对
D
★关于
y偶函数 的任意一个
x
,都有
?x?D
,且
f
?
?x
?
?f
?
x
?
,则这个函数叫做偶函数
轴对称
例1(2014全国二)偶函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?2
对称,
f(3)?3
,则
f(?1)?
_________
__.
例2(2017全国二)
已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数,当
x?(??,0)
时,
f(x)?2x
3
?x
2
,则
f(2)?
_______
___.
(x?1)
2
?sinx
例3(2012全国二)设函数
f(x)?
的最大值为
M
,最小值为
m
,
2
x?1
则
M
+
m
=______.
2. 函数的图象
(1)平移变换:“上加下减,左加右减”
例4(2010全国二)设偶函数
f(x
)
满足
f(x)?2
x
?4(x?0)
,则
{x|f(x?
2)?0}?
( )
A.
{x|x??2或x?4}
B.
{x|x?0或x?4}
.
.
C.
{x|x??2或x?2}
D.
{x|x??2或x?4}
(2)对称变换
x轴对称
?????y??f(x)
;
①
y?f(x)?
关于
y轴对称
?????y?f(?x)
;
②
y?f(x)?
关于
?????y??f(?x)
;
③
y?f(x)?
关于原点对称
y?x对称
④
y?a
x
(a?0且a?1)?
关于
?????y?log
a
x(a?0且a?1)
;
⑤奇函数的图象关于坐标原点对称;偶函数的额图象关于
y
轴对称.
(3)翻折变换
x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去
????????????
y
?
|f(x)|
. ★★①
y
?
f(x)
?
保留
?
|lgx|,0?x?10
?
例5(2010全国二)已
知函数
f(x)?
?
1
, 若
a,b,c
均不相等,且?x?6
?
?
2
f(a)?f(b)?f(c),
则
a
?b?c
的取值围是( )
A.
(1,10)
B.
(5,6)
C
(10,12)
D.
(20,24)
例6(2011全国二)已知函数
y?f(x)
的周期为2,当
x?[?1,1]
时
f(x)?x
2
,那
么函数
y?f(x)
的图象与函数
y?|lgx|
的图象的交点共有(
)
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
y轴右边图象,并作其关于y轴对称的图象(去掉原f(x)在y轴左侧的图象)
??????
??????????????y?f
(|
x
|)
. ★★★②
y?
f
(
x
)
?
保留
例7(2011全国二)下列函数中,既是
偶函数又在
(0,??)
单调递增的函数是( )
A.
y?x
3
B.
y?|x|?1
C.
y??x
2
?1
D.
y?2
?|x|
例8(2010大纲)直线
y?1
与曲线
y?x
2
?|x|
?a
有四个交点,则
a
的取值围是
____________.
(4)函数图象的几种对称关系
.
.
★①
f(
x),x?R
满足
f(a?x)?f(a?x)?y?f(x)
图象关于直线
x?a
为轴对称;
例9(2018全国二)已知
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数,满足
f(1?x)?f(1?x)
,若
f(1)
=2,则
f(1)?f(2)?f(3)?...?f(50)?
( )
A.﹣50 B.0 C.2
D.50
a?b
为轴对称;
2
b?a
③函数
y?f(a
?x)
与函数
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
2
1
如:
y?f(x)
和
y?f(1?x)
的图
象,关于直线
x?
为轴对称.
2
②
f(a?x)?f(b?x)?
f(x)
图象关于
x?
例10(2015全国二)已知函数
f
(x
)
?ax
3
?
2
x
的图像过点(-1,4)
,
则
a
=________.
二、真题演练
1.(2014全国
一)设函数
f(x),g(x)
的定义域为
R
,且
f(x)
是奇函数,
g(x)
是
偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.
f(x)g(x)
是偶函数 B.
|f(x)|g(x)
是奇函数
C.
f(x)|g(x)|
是奇函数 D.
|f(x)g(x)|
是奇函数
?
2
x?1
?2,x?1
2.(2015全国一)已知函数
f(x)?
?
错误!未找到引用源。,且<
br>?log(x?1),x?1
2
?
f(a)??3
,则
f(6
?a)
=( )
A.-
7531
B.-
C.- D.-
4444
3.(2015全国一)设函数
y?
f(x)
的图像关于直线
y??x
对称,且
f(?2)?f(?4)?1,则
a?
( )
A.-1 B.1
C.2 D.4
4.(2017全国一)函数
y?
sin2x
的部分图像大致为( )
1?cosx
.
.
5.(2017全国一)已知函数
f(x)?lnx?ln(2?x)
,则( )
A.
f(x)在(0,2)单调递增
B.
f(x)在(0,2)单调递减
C.
y?f(x)的图像关于直线x?1对称
D.
y?f(x)的图像关于点(1,0)对称
6.(2017全国三)函数
y?1?x?
sinx
的部分图像大致为(
)
2
x
A. B.
C. D.
二、课后作业
1.若奇函数
f(x)
在
?<
br>3,7
?
上是增函数且最大值为5,那么
f(x)
在
?
?7,?3
?
上是( )
A.增函数且最小值是
?5
B.增函数且最大值是
?5
C.减函数且最大值是
?5
D.减函数且最小值是
?5
2.若
f
(
x
)?
(
m?
1)
x
2
?
2
mx?
3
是偶函数,则
f(x)
在
?
?4,?1
?
上(
)
A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性
D.单调性由
m
的值确定
3.已知函数
f
?
x
?
?a?
.
1,
若
f
?
x
?
为奇函数,则
a?
__
______.
x
2?1
.
4.函数
f(x)?
ax?b12
是定义在上的奇函数,且,求函数
f(x)
的
f()?
(?1,1)
25
1?x
2
解析式___________.
第四节:函数的零点
一、知识梳理
★零点:方程
f
(x)?0
的解;函数
f(x)
图象与
x
轴交点的横坐标.
函数
F(x)?f(x)?g(x)
的零点是函数
f(x)
与函数
g(x)
图象交点的横坐标.
零点存在定理:函数
f(x)
在定义域
?
a,b
?
上连续,若
f(a)?f(b)?0
,则
f(
x)
在定
义域
?
a,b
?
上一定存在零点.
例(
2011全国二)在下列区间中,函数
f
(
x
)
?e
x?
4
x?
3
的零点所在的区间为
( )
1
A.
(?,0)
4
11113
B.
(0,)
C.
(,)
D.
(,)
44224
二、真题演练
1.(2017全国三)已知函数
f(x)?x<
br>2
?2x?a(e
x?1
?e
?x?1
)
有唯一零点
,则
a
=( )
1
A.
?
2
.
1
B.
3
C.
1
2
D.1
.
?
e
x
,x?
0
2.(2018全国一)已知函数
f(x)?
?
,
g(x)?f(
x)?x?a
,若
g(x)
存在两
?
lnx,x?0
个零点
,则
a
的取值围是__________.
三、课后作业
1.关于
x
的方程
x
5
?x?
1
?
0
的根所在大
致区间为( )
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(3,4)
D.
(4,5)
?x
5
?bx
3
?cx?(其中
7b,c为常数,x?R)
2.已知
f(x)
,若
f(?2)
?10,
则
f(2)
=________.
.