简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-知识点与题型归纳

精编知识点



●高考明方向
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词与存在量词的意义．
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

★备考知考情
1.含逻辑联结词命题真假的判断，含全称量词、
存在量词命题的否定是近几年高考的热点．
2.常与集合、不等式、函数等相结合考查，
在知识的交汇点处命题．
3.命题主要以选择题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P7
知识点一 逻辑联结词
1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．
2．命题p且q、p或q、非p的真假判断

归纳拓展：
(1)p与q全真时，p且q为真，否则p且q为假；
即一假假真．
(2)p与q全假时，p或q为假，否则p或q为真；
即一真即真．
(3)p与非p必定是一真一假.

注意1：《名师一号》P8 问题探究 问题1
逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，
逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“交集”，
逻辑联结词中的“非”相当于集合中的“补集”，

注意2：《名师一号》P8 问题探究 问题2
命题的否定与否命题的区别：
（1）前者否定结论，后者否定条件及结论
（2）前者真假性与原命题必相反，
后者真假性与原命题关系不定

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注意3：(补充) “且”、“或”命题的否定
（1）
p?q
的否定为
?(p?q)?
?p??q

（2）
p?q
的否定为
?(p?q)?
?p??q


知识点二 全称量词与存在量词
1、全称量词、全称命题的定义
“ 一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，
“任给”，“凡”，“都”等词在逻辑中通常叫做全 称量
词，用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题，叫做全称
命题.
2.存在量词、特称命题的定义
“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”，
“对某个”，“有些”等词在逻辑中通常叫做存在量词，
用符号“
?
”表示.含有存 在量词的命题，叫做特称命题.
3.全称命题、特称命题的否定
（1）全称命题的否定
全称命题P：
?x?M,
（2）特称命题的否定
特称命题P：
?x?M,
p(x)
；
其命题否定┓P为：
?x?M,?p(x)
。
p(x)
；
其否定命题┓P为：
?x?M,?p(x)
。
即须遵循下面法则：
否定全称得特称，否定特称得全称.


二、例题分析
（一）含有逻辑联结词的命题的真假判定
例1.(1) 《名师一号》P7 对点自测2
设p，q是两个命题，则“p∨q为真，p∧q为假”的充要条
件是( )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为真
D．p为真，q为假




答案: C
解析 “p∨q”为真，则命题p、q中至少有一个为真，
“p∧q”为假，则命题p、q中至少有一个为假，则“p∨q
为真，p∧q为假”的充要条件是“p、 q中有且只有一个为
真”．

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例1.(2) 《名师一号》P8 高频考点 例1(1)
（2013湖北3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学 员各跳
一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在
指定范围”，则命题“至少有 一位学员没有降落在指定范
围”可表示为( )
A．(
?p
)∨(
?q
) B．
p
∨(
?q
)
C．(
?p
)∧(
?q
) D．




答案:A

例1.(3) 《名师一号》P8 高频考点 例1(2)
(2014·湖南卷)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命
题q：若x> y，则x
2
>y
2
.在命题：①p∧q；②p∨q；
③p∧(
?q
)；④(
?p
)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④





答案:C
注意：《名师一号》P8 高频考点 例1 规律方法
(1)“p∨q”、“p∧q”、“
?p
”形式命题真假的判断步骤：
①确定命题的构成形式；
②判断其中命题p，q的真假；
③确定“p∨q”、“p∧q”、“
?p
”形式命题的真假．
(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，
p或q形是“一真必真，全假才假”，
非p则是“与p的真假相反”．

（二）含有一个量词的命题的否定
例1.《名师一号》P8 高频考点 例2
写出下列命题的否定，并判断其真假：
1
(1)p：
?
x∈R，x
2
－x＋
≥0；
4
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：
?
x
0
∈R，x
2
0
＋2x
0
＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x使x
3
＋1＝0.




解析
p
∨
q

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1
(1)
?p
：
?
x
0
∈R，x
2
－x＋<0，假命题．
00
4
(2)
?q
：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)
?r
：
?
x∈R，x
2
＋2x＋2>0，真命题．
(4)
?s
：
?
x∈R，x
3
＋1≠0，假命题．

注意：《名师一号》P8 高频考点 例2 规律方法
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的
区别，否定全称命题和特称命题时，
一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，
存在量词改写为全称量词；
二是要否定结论．
而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

（三）由命题的真假确定参数的取值范围
例1.《名师一号》P9 高频考点 例3
给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax
2
>－ax
－1恒成立 ，命题q：关于x的方程x
2
－x＋a＝0有实数
根．若“p∨q”为真命题，“p∧ q”为假命题，则实数a的取
值范围为________．




解析
?
a>0，
若p为真命题，则a＝0或
?
2
即0≤a<4；
?
a－4a<0，
1
若q为真命题，则(－1)
2
－4a≥ 0，即a≤.
4
因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
所以p，q中有且仅有一个为真命题．
1
若p真q假，则4
若p假q真，则a<0.
?
1
?
综上，实数a的取值范 围为(－∞，0)∪
?
4
，4
?
.
??


注意：《名师一号》P9 高频考点 例3 规律方法
根据命题的真假求解参数的取值范围的关键是
先求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围，
如本例中，先求出命题p，q为真命题时参数a的
取值范围；
再根据含有逻辑联结词的命题的真值表，判断两个
命题的真假；
最后根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运
算，求解参数的取值范围，
如本例中，列出关于a的不等式组．

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解答题注意答题格式规范！

（四）利用逻辑关系判断命题真假
含逻辑联 结词的命题的真假判断，虽非高考命题的重
点，却是大家易错的高频点，其知识考查覆盖面广，考查方式多种多样，让人有一种“逻辑扑朔迷离，命题真假难
辨”的感觉，在备考中要格外注意．
例1.《名师一号》P9 特色专题 例1
对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观 众对结果作
如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非
第一名，而是第三名；丙： 中国非第三名，而是第一名．竞
赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，
则中 国足球队得了第________名．



【规范解答】 由上可知：甲 、乙、丙均为“
p
且
q
”
形式，所以猜对一半者也说了错误“命题” ，即只有一个
为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

【名师点评】 在一些逻辑问题中，当字面上并未出
现“或”“且”“非”字样时，应从语句的 陈述中搞清含
义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在
联系，从而解决问题．


课后作业
计时双基练P211 基础1-11、培优1-4
课本P8-9变式思考1、2、3；对应训练1
预习 第二章 第一节 函数及其表示